Ch.1 1계 미분방정식(First-Order Differential Equations)

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Div. Electronics and Information Eng.,  CBNU

1-1. 기본개념(Basic concepts and ideas)

■ 미분방정식(differential equation):

미지함수의 도함수(derivative)를 포함하는 방정식

예) 미지함수 [eqn: y(x)]에 대한 미분방정식

(1)     [eqn: y`'=cos`x``,]

(2)     [eqn: y`''+4`y=0``,]

(3)     [eqn: x`^2 y`'''y`'+2`e`^x y`''=(x`^2 +2`)`y`^2]

■ 상미분방정식(ordinary differential equation):

독립변수(independent variable)가 1개인 방정식

예) [eqn: { d`y } over { d`x } = cos`x]

† 편미분 방정식(partial differential equation):

♠ 2개 이상의 독립변수와 이들의 편미분성분이 포함된 미분방정식

♠ 상미분방정식에 비하여 복잡하므로 11장에서 다루어짐

예) [eqn: { partial^2 u } over { partial x^2 } ``+`` { partial^2 u } over { partial y^2 } ``=`` 0]

■ 계(order):

미분방정식에 포함된 도함수 중 제일 많이 미분된 숫자

예)  (1)     [eqn: y'=cosx,] ∀ 1계 미분방정식

(2)     [eqn: y''+4`y=0,] ∀ 2계 미분방정식

(3)     [eqn: x^2 y'''y'+2e^x y''=(x^2 +2)y^2]  ∀ 3계 미분방정식

■ 1장에서 다룰 내용:

1계 (상)미분방정식

First-order (ordinary) differential equation

♠ 1계 미분방정식: 미지의 함수([eqn: y]), 도함수([eqn: y']), 그리고 변수([eqn: x])의 함수들로만 구성됨

∀ [eqn: F(x, y, y') = 0], 또는 [eqn: y'=f(x, y)]

■ 해의 개념(Concept of Solution)

♠  A solution of a given first-order differential equation, [eqn: F(x,y,y') = 0], on some open interval [eqn: a<x<b], is a function [eqn: y = h(x)] that has a derivative [eqn: y' = h'(x)] and satisfies [eqn: F(x,y,y') = 0] for all x in that interval.

♠ 주어진 1계 미분방정식 [eqn: F(x,y,y') = 0]의 해는 1차 도함수 [eqn: y' = h'(x)]가 존재하고 [eqn: F(x,y,y') = 0]를 만족시키는 함수 [eqn: y = h(x)]와 같다. 즉 해는 미분방정식을 만족하고 미분가능한 함수이어야 한다.

♠  양함수 형태의 해(explicit solution, 현시적 해): [eqn: y ``=`` f`(x)]

예) [eqn: x`y^' ``=`` 2y] 의 해 ∀ [eqn: y ``=`` x^2]

♠  음함수 형태의 해(implicit solution, 암시적 해): [eqn: F( x`,`y ) ``=`` 0]

예) [eqn: y ` y^' ``=`` -x] 의 해 ∀ [eqn: x^2 ``+`` y^2 ``=`` 1]

◎ Ex 1. [eqn: y=x^2``]이 [eqn: xy' = 2y] 의 양함수 해

[eqn: y=x^2``] ∀ [eqn: y'=2x]      미분가능

[eqn: xy' = 2x^2 = 2 y]	주어진 미분방정식 만족

◎ Ex 2. [eqn: x^2 + y^2 - 1 = 0 ~(y>0, -1<x<1)] 가 [eqn: yy' = -x] 의 음함수 해

[eqn: x^2 + y^2 - 1 = 0] ∀ [eqn: 2x + 2yy' = 0]	미분가능

[eqn: 2x + 2yy' = 0] ∀	[eqn: yy' = -x]            주어진 미분방정식 만족

■ 일반해, 특수해, 특이해

일반해(general solution)

미분방정식을 만족하는 해가 임의의 적분상수 [eqn: c] 를 포함

예) [eqn: y^' ``=`` cos`x] 의 해 [eqn: y ``=`` sin`x ``+`` c]

특수해(particular solution)

적분상수 [eqn: c] 가 특정조건에 의하여 특정한 값으로 결정된 경우

예) [eqn: y^' ``=`` cos`x] 의 해 중 [eqn: y ``=`` sin`x ``+`` 2]

특이해(singular solution)

일반해로 표현불가능한 해

예) [eqn: y'^2 - xy' + y = 0] 의 일반해는  [eqn: y = c(x-c)]

[eqn: y = 1over4 x^2] 도 만족하는 해지만 일반해로 표현불가능 ∀ 특이해

■ 응용, 모델링, 초기값 문제 (Applications, Modeling, Initial Value Problems)

♠ 자연계의 많은 물리적 현상들을 미분방정식으로 표현하여 해석

♠ 모델링: 자연계의 현상 ∀ 수학적인 형태로 변형

♠ 초기값 문제: 주어진 조건을 이용하여 일반해로부터 특수해를 구함

◎ Ex 4. 실험적으로 방사능 물질은 현재의 양에 비례하는 속도로 분해된다. t=0일 때

2그램인 방사능 물질 양의 변화는?

Step 1: 모델링

- 분해속도는 현재 양에 비례 :	[eqn: dy over dt PROPTO y ~~~RARROW ~~~ dy over dt = k y]	미분방정식

- t=0일 때 2그램 :	[eqn: y(0) = 2]	초기조건

Step 2: 미분방정식의 일반해를 구함

∀ [eqn: y= ce^kx``]: 일반해

Step 3: 초기조건을 적용하여 특수해를 구함

[eqn: y(0) = c e^0 = c = 2] ∀  [eqn: y = 2 e^kx ``]: 특수해

Step 4: 결과가 맞는지 체크

[eqn: y = 2 e^kx ``] ∀ [eqn: y' = 2k e^kx `` = k cdot 2e^kx = ky]: 미분방정식

[eqn: y(0) = 2 e^0 = 2]: 초기값

※ Problem Set 1.1: 2, 4, 6, 13, 19

1-2. [eqn: y'=f(x, y)] 의 기하학적 의미: 방향장

■ 방향장(Direction Fields):

미분방정식이 [eqn: y' = f(x,y)] 같은 양함수 형태로 표시되는 경우

∀ [eqn: f(x_o , y_o )]은 좌표[eqn: (x_o , y_o )] 에서의 해곡선 [eqn: y] 의 기울기

∀ 각 좌표의 [eqn: f(x_o , y_o )]를 구하고 그 값만큼의 기울기를 가진 작은 선요소(lineal

element)들을 그래프 상에 표시

∀ 선요소들의 방향을 따라 선을 그리면 대략적인 해곡선의 모양을 알 수 있음

∀ 매우 복잡한 해를 갖거나 양함수 형태의 해가 존재하지 않는 미분방정식에서 대략

적인 해곡선의 형태를 판단하는데 사용할 수 있음

1-3. 변수분리형 미분방정식(Separable Differential Equations)

■ 변수분리법: 미분방정식의 왼쪽은 [eqn: y], 오른쪽은 [eqn: x] 만으로 구성되도록 조작

[eqn: g(y)y' = f(x)]    [eqn: RARROW ~~~ g(y)dy = f(x) dx]   [eqn: ( because y' = dy over dx )]

■ 해법: 미분방정식의 양변을 [eqn: x] 로 적분하면 변수분리한 식의 왼쪽은 [eqn: y] 오른쪽은

[eqn: x] 로 적분한 결과가 나옴

[eqn: g(y)y' = f(x)]     [eqn: RARROW ~~~ int g(y) dy = int f(x) dx + c]  [eqn: (because dy over dx dx = dy)]

∀ 변수분리를 할 경우 양변을 적분하여 쉽게 해를 구할 수 있음

◎ Ex 1. 미분방정식 [eqn: 9yy' + 4x = 0] 을 풀어라.

1. 변수분리 (왼변에 [eqn: y], 오른변에 [eqn: x] )

2. 적분 (왼변은 [eqn: y] 로, 오른변은 [eqn: x] 로)

3. 정리

[eqn: 9yy' + 4x = 0] ∀ [eqn: 9yy' = -4x] ∀ [eqn: 9y {dy} over dx = - 4x] ∀ [eqn: 9y {dy} over dx ``dx = - 4x ``dx]

∀  [eqn: 9y {dy}= - 4x ``dx] (변수분리)

∀  [eqn: int 9y ``dy= - int 4x ``dx + c*] ∀ [eqn: 9 over 2 y^2 = - 2 x^2 + c*] (적분)

∀  [eqn: x^2 over 9 + y^2 over 4 = c]	[eqn: (c=c*/18)] (정리)

◎ Ex 2. 미분방정식 [eqn: y' = 1+y^2] 을 풀어라.

[eqn: y' over {1+y^2 } = 1]   ∀  [eqn: { dy`/dx } over {1+y^2 } = 1]  ∀ [eqn: dy over {1+y^2 } = dx]  (변수분리)

∀  [eqn: int 1 over {1+y^2 } dy` = int dx + c]  ∀  [eqn: arctan y = x + c]	(적분)

∀  [eqn: y = tan(x+c)]  (정리)

◎ Ex 5. 초기값문제 [eqn: y' = -2xy, ~~~y(0) = 1] 을 풀어라.

[eqn: y' over y = -2x]   ∀  [eqn: {dy`/dx} over y = -2x]   ∀  [eqn: dy over {y } = -2x`dx]   (변수분리)

∀ [eqn: int 1 over {y } dy` = - int 2x `dx + c]   ∀  [eqn: ln |y`| = -x^2 + c*]    (적분)

∀  [eqn: y = e^{-x^2 + c*} = c e^-x^2`]  (정리)

[eqn: y(0) = c e^0 = c = 1]   (초기값 적용)

∀  [eqn: y = e^-x^2`]

■ 변수분리형으로 변환 (Reduction to Separable Form)

변수분리를 할 수 없는 미분방정식을 새로운 함수를 도입하여

분수분리가 가능한 형태로 변환함

♠[eqn: y' = g(y/x)] 와 같은 형태의 미분방정식이 있다고 하자. 예) [eqn: ( y over x )^3], [eqn: cos( y over x )]

이 상태로는 변수분리가 되지 않으므로 다음과 같이 새로운 함수 [eqn: u] 를 도입한다.

[eqn: u = y/x]  ∀ [eqn: y=ux]  ∀  [eqn: y' = (ux)' = u'x + u] ( [eqn: u] 를 도입)

[eqn: y' = g(y/x) ~~RARROW~~ u'x + u = g(u) ~~ RARROW ~~ u' x = g(u)-u] ∀ [eqn: {du} over { g(u)-u } = dx over x] (변수분리)

∀∀	[eqn: int 1 over { g(u)-u } du = int 1 over x dx + c]  (적분)

◎ Ex 6.  [eqn: 2xyy' = y^2 - x^2] 을 풀어라.

[eqn: 2xyy' = y^2 - x^2 ~~~ Rarrow ~~`~ y' = 1 over 2 ( y over x - x over y )]

∀ [eqn: y = u`x`, ~~ u = y/x`, ~~ y' = u'x + u = 1 over 2 (u - 1 over u )]

∀ [eqn: u'x = - 1 over 2 (u + 1 over u ) = - {u^2 + 1 } over 2u ~~Rarrow ~~ du over dx 2u over {u^2 +1} = - 1 over x]

∀ [eqn: int 2u over {u^2 +1} du = - int 1 over x dx + c*]

∀ [eqn: ln | {u^2 +1} | = - ln | x`| + c* = ln 1 over {|x`|} + ln |c`| = ln LEFT | c over x RIGHT | ~~~ ( c = e^c* )]

∀  [eqn: u^2 +1 = c over x ~~~ Rarrow ~~~ left ( y over x right )^2 + 1 = c over x ~~~ Rarrow ~~~ x^2 + y^2 = cx]

∀  [eqn: left ( x- c over 2 right )^2 + y^2 = c^2 over 4]

♠[eqn: v = ay + bx + k] 와 같은 함수를 도입하여 문제를 해결할 수도 있음

◎ Ex 7.  [eqn: (2x - 4y + 5) y' + x- 2y +3 = 0] 을 풀어라.

[eqn: v = x-2y ~~~Rarrow~~~ dv over dx = 1 - 2 dy over dx ~~~Rarrow~~~ y' = 1 over 2 ( 1- v')]

∀ [eqn: (2x - 4y + 5) y' + x- 2y +3 = 0 ~~~ Rarrow ~~~ (2v+5) (1-v') over 2 = -v-3]

∀ [eqn: (2v+5) (v') = 4v+11 ~~~Rarrow ~~` 2v+5 over 4v+11 dv over dx = 1]

∀ [eqn: 4v+10 over 4v+11 dv over dx = {4v+11-1} over 4v+11 dv = 2 dx ~~~Rarrow ~~~ (1 - 1 over 4v+11 ) dv = 2 dx]

∀ [eqn: v - 1 over 4 ln | 4v + 11 | = 2x + c*]

∀ [eqn: 4x + 8y + ln | 4x - 8y + 11 | = c]

※ Problem Set 1.3: 2, 4, 6, 12, 18

1-4. 모델링: 변수분리형 미분방정식( Modeling: Separable Equations )

■ 모델링(Modeling, 모형화):

물리적인 시스템 등을 수학적인

모델(함수, 방정식, 미분방정식 등)로 표현하는 것

♠ 이 절에서는 변수분리형 미분방정식으로 표현되는 시스템을 모델링해본다.

◎ Ex 1. 40파운드의 소금이 용해된 200갤런의 물이 있다. 매분 갤런당 2파운드의 소금이 용해된 5갤런의 물이 탱크로 유입되어 잘 혼합된 후 동일한 양의 물이 빠져나간다. 임의의 시간에서 소금의 양 [eqn: y(t)]를 구하라.

Step 1: 모델링

♠  소금의 변화량 (dy/dt = y') = 소금의 유입량 - 소금의 유출량

소금의 유입량 = 5 gal/min × 2 lb/gal = 10 lb/min

소금의 유출량 = 5 gal/min × y/200 lb/gal = y/40 lb/min

∀  [eqn: y ' = 10 - y/40 = 1 over 40 ( 400 - y )]: 소금의 양에 관한 미분방정식

♠  초기조건,  y(0) = 40

Step 2: 미분방정식의 일반해를 구함

[eqn: y ' = 1 over 40 ( 400 - y ) ~~~ Rarrow ~~~ y' over y-400 = - 1 over 40 ~~~ Rarrow ~~~ dy over y-400 = - 1 over 40 dt]     (변수분리)

[eqn: int 1 over y-400 dy = - int 1 over 40 dt + c*]   ∀ [eqn: ln |y-400 | = - 1 over 40 t + c*]    (적분)

[eqn: ln |y-400 | = - 1 over 40 t + c* ~~~ Rarrow ~~~ y-400 = e^ {-t/40}` e^c** = c`e^{-t/40}]     (정리)

Step 3: 초기조건을 적용하여 특수해를 구함

[eqn: y(0) = 400 + c`e^0 = 400 + c = 40 ~~~Rarrow~~~ c = -360]

[eqn: y = 400 - 360 e^{-t/40}]   (특수해)

※ Problem Set 1.4: 13, 14

1-5. 완전 미분방정식, 적분인자

(Exact Differential Equations, Integrating Factors)

■ 완전(exact) 미분방정식

[eqn: M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0]: 완전 미분방정식

when, [eqn: M(x,y) dx + N(x,y) dy ~= ~ du ~= ~partialu over partialx dx + partialu over partialy dy]

와 같이 미분방정식이 함수 [eqn: u( x, y )] 의 미분형태로 표현될 때.

즉, [eqn: M(x,y) = ~partialu over partialx], [eqn: N(x,y)= partialu over partialy]와 같이 표현될 때.

♠  완전 미분방정식이라면,

[eqn: du ~ = ~ 0]  ∀  [eqn: u(x,y) = c] 이 되어 해를 쉽게 구할 수 있다.

■  완전 미분방정식의 필요충분조건

[eqn: partialM over partialy = partialN over partialx]

[eqn: M(x,y) = partialu over partialx]  ∀  [eqn: partialM over partialy = partial over partialy left ( partialu over partialx right ) = { partial^2 u} over {partialx` partialy}]

[eqn: N(x,y) = partialu over partialy]  ∀ [eqn: partialN over partialx = partial over partialx left ( partialu over partialy right ) = { partial^2 u} over {partialx` partialy}]

∀ ∀ [eqn: partialM over partialy = partialN over partialx] (완전 미분방정식 판별법)

■  완전 미분방정식의 해법

[eqn: M(x,y) = partialu over partialx]   ∀   [eqn: u(x,y) = int M(x,y) dx + k(y) = c]

[eqn: N(x,y) = partialu over partialy]   ∀   [eqn: u(x,y) = int N(x,y) dy + l(x) = c]

◎ Ex 1. [eqn: (x^3 + 3xy^2 ) dx + (3x^2 y + y^3 ) dy = 0] 의 해를 구하라.

Step 1: 완전 미분방정식인지 판별

[eqn: M(x,y) = x^3 + 3xy^2]  ∀  [eqn: partialM over partialy = 6xy] ,  [eqn: N(x,y) = 3x^2 y + y^3]   ∀  [eqn: partialN over partialx = 6x y]

∀∀  [eqn: partialM over partialy = partialN over partialx] : 완전 미분방정식

Step 2: 미분방정식의 해를 구함

[eqn: u(x,y) = int M (x,y) dx + k(y) = int (x^3 + 3x y^2 ) dx + k(y) = 1 over 4 x^4 + 3 over 2 x^2 y^2 + k(y)]

[eqn: k(y)]를 구하기 위하여

∀  [eqn: partialu over partialy = 3 x^2 y + dk over dy = N = 3x^2 y + y^3]   ∀  [eqn: dk over dy = y^3 ~~~Rarrow ~~~ k~ = y^4 over 4 + c*]

∴  [eqn: u(x,y) = 1 over 4 ( x^4 + 6x^2 y^2 + y^4 ) = c]

Step 3: 검증

[eqn: du over dx = 1 over 4 ( 4 x^3 + 12x y^2 +12x^2 y y' + 4 y^3 y ') = 0]    ∀  [eqn: (x^3 + 3xy^2 ) + (2x^2 y + y^3 ) y' = 0]

∀  [eqn: (x^3 + 3xy^2 )dx + (2x^2 y + y^3 ) dy = 0]

■  완전 미분방정식 형태로 변환 (Reduction to Exact Form):

완전 미분방정식이 아닌 방정식에, 어떤 함수 [eqn: F(x,y)]를

곱하여 완전 미분방정식을 만듬

[eqn: P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0]   ∀  [eqn: F(x,y)P(x,y) dx + F(x,y)Q(x,y) dy = 0]

■  적분인자 (Integrating Factors)

완전 미분방정식을 만드는 함수 [eqn: F(x,y)]

예) [eqn: -y dx + x dy ~= ~0] 는 완전 미분방정식이 아니다.

(∵	[eqn: M = -y , ~~N = x, ~~~~partialM /partialy = -1, ~~~ partialN/ partialx = 1 ~~~Rarrow]  not exact)

그러나 방정식에 [eqn: 1/ x^2]을 곱하면

∀  [eqn: - y over x^2 dx + 1 over x dy ~= ~0]

∀  [eqn: M = - y over x^2 , ~~N = 1 over x]

∀  [eqn: partialM over partialy = - 1 over x^2 , ~~~ partialN over partialx = - 1 over x^2]   ∀ Exact!!

[eqn: Therefore 1 over x^2]은 [eqn: -y dx + x dy ~= ~0]의 적분인자

■  적분인자를 구하는 방법 (How to Find Integrating Factors)

[eqn: FP `dx + FQ` dy = 0] 이 완전미분방정식이면

∀  [eqn: partial over partialy (FP) = partial over partialx (FQ)]

∀  [eqn: partialF over partialy P + F partialP over partialy = partialF over partialx Q + F partialQ over partialx]

∀  [eqn: F_y P + F P_y = F_x Q + F Q_x]  [eqn: ( F_x = dF/dx , F_y = dF/dy , ...)]

† 완전 미분방정식을 만드는 [eqn: F(x,y)]를 찾는 것은 매우 어렵다.

† 따라서 하나의 변수(x 또는 y)에만 의존하는 적분인자를 구하는 것이 쉽다.

♠ [eqn: x] 만의 함수인 적분인자 [eqn: F(x)]를 구하는 법

적분인자 [eqn: F]가 [eqn: x] 만의 함수이므로 [eqn: F_y = dF/dy = 0] 이다.

∀ [eqn: F_y P + F P_y = F_x Q + F Q_x]  ∀ [eqn: FP_y = F'Q + FQ_x ~~~ ( F_x = F' )]

양변을 [eqn: FQ] 로 나누면

∀ [eqn: P_y over Q = F' over F + Q_x over Q] ∀ [eqn: 1 over F dF over dx = 1 over Q left ( partialP over partialy - partialQ over partialx right )]

Let's set [eqn: R(x) = 1over Q left ( partialP over partialy - partialQ over partialx right )].

∀	[eqn: 1 over F dF over dx = R(x)]   ∀  [eqn: ln | F`| = int R(x) dx + c]   ∀   ∴ [eqn: F(x) = exp ( int R(x) dx )]

♠ [eqn: y] 만의 함수인 적분인자 [eqn: F(y)]를 구하는 법

[eqn: F(x)]를 구하는 것과 마찬가지 방법으로

[eqn: tilde R (y) = 1over P left ( partialQ over partialx - partialP over partialy right )], [eqn: F(y) = exp ( int tilde R (y) dy )]

◎ Ex 5. [eqn: 2 sin (y^2 ) dx + xy cos (y^2 ) dy = 0, ~~y(2) = sqrt {pi /2 }] 의 적분인자를 구하고 해를 구

하라.

Step 1: 완전 미분방정식인지 판별

[eqn: P = 2 sin (y^2 ) , ~~~ Q = xy cos (y^2 )]

∀  [eqn: P_y = 4y `cos(y^2 ) neq Q_x = y`cos(y^2 )]: 완전 미분방정식이 아님

Step 2: 적분인자 [eqn: F(x)] 구하기

[eqn: R = 1 over Q ( P_y - Q_x ) = 1 over { xy cos (y^2) } left [ 4y` cosy (y^2 ) - y cos (y^2 ) right ] = 3y over xy = 3 over x]

∀  [eqn: int R(x) = int 3 over x dx = 3 ln |x`|]

∀  ∴ [eqn: F(x) = exp ( int R dx ) = exp (3 ln |x`| ) = exp ( | x^3 | ) = x^3]

[eqn: F(x) = x^3] 이 적분인자가 맞는지 확인해보자.

[eqn: FP dx + FQ dy = 2x^3 sin (y^2 ) dx + x^4 y cos (y^2 ) dy = 0]

[eqn: partial over partialy left [ 2x^3 sin (y^2 ) right ] = 4x^3 y cos (y^2 ) = partial over partialx left [ x^4 y cos (y^2 ) right ]]: Exact !!

Step 3: 일반해 구하기

[eqn: u_x = 2x^3 sin (y^2 ), ~~~u_y = x^4 y cos (y^2 )]

∀  [eqn: u = x^4 over 2 sin (y^2 ) + k(y)],   [eqn: u_y = x^4 y sin (y^2 ) + dk over dy],  [eqn: dk over dy = 0, ~~~ k = c*]

∀  ∴  [eqn: u = x^4 over 2 sin (y^2 ) = c] : 일반해

Step 4: 특수해 구하기

초기조건 [eqn: y(2) = sqrt {pi /2 }]를 일반해 [eqn: u (x, y)]에 삽입하면

∀  [eqn: 8 sin ( pi / 2 ) = 8 = c]

∀	[eqn: x^4 sin (y^2 ) = 16] : 특수해

※ Problem Set 1.5: 7, 20, 32, 34

1.6 선형미분방정식, Bernoulli 방정식

(Linear Differential Equations, Bernoulli Equation)

■ 선형미분방정식

방정식내에서 미지의 함수 [eqn: y]와 그의 도함수[eqn: y']의

관계가 선형인 미분방정식

예)

[eqn: y' + p(x) y = r(x)]: 선형미분방정식

[eqn: y' + p(x) y = r(x) y^2]: 비선형미분방정식

♠ 제차(homogeneous), 비제차(nonhomogenous) 미분방정식

[eqn: y' + p(x) y = 0]          ∀  1계 제차 선형미분방정식

[eqn: y' + p(x) y = r(x) ~ neq ~ 0]  ∀  1계 비제차 선형미분방정식

♠ 제차 미분방정식의 해법

[eqn: y' + p(x) y = 0]   ∀   [eqn: dy over dx = - p(x) y]  ∀  [eqn: dy over y = - p(x) dx]

∀	[eqn: ln | y`| = - int p(x) dx + c*]

∀	[eqn: y = c e^ { - int p(x) dx }]

♠ 비제차 미분방정식의 해법

[eqn: y' + p(x) y = r`]	∀ [eqn: (py - r) dx + dy = 0]  ∀  [eqn: Pdx + Qdy = 0]

[eqn: P = (py-r )],   [eqn: Q = 1]  ∀  완전 미분방정식 아님.

†  적분인자 [eqn: F ( x )] 를 찾아라.

[eqn: R = 1 over Q ( partialQ over partialx - partialP over partialy ) = p]  ∀  [eqn: 1 over F dF over dx = p]   ∀  ∴ [eqn: F = e^{ int p` dx }]

†  원래의 비제차 미분방정식에 [eqn: F] 를 곱하면

[eqn: e^{ int p` dx } (y ' + py ) = e^ { int p` dx } r]   ∀	[eqn: e^{ int p` dx } y ' + y left ( e^ {int p` dx } right ) ' = left ( e^{ int p` dx } y right )' = e^ { int p` dx } r]

∀  [eqn: e^{ int p` dx } y right = int { e^ { int p` dx } r } ``dx + c]

∀  ∴  [eqn: y right = e^-h `left [ int { e^ { h } r } ``dx + c right ]]     where [eqn: h = int p` dx]

◎ Ex 1.  [eqn: y' - y = e^2x] 의 해를 구하라.

[eqn: p = -1],  [eqn: r = e^2x `],  [eqn: h = int p `dx = - x]

∀  ∴ [eqn: y right = e^-h `left [ int { e^ { h } r } ``dx + c right ] = e^x `left [ int { e^ { -x } e^ { 2x } } ``dx + c right ] = e^x [ e^x + c ] = e^2x + ce^x]

♠  1계 선형미분방정식의 경우에 따른 해를 정리하면 다음과 같다.

♠ [eqn: y^' ``=`` 0 ~```~~~~~~ RARROW ~~~ y ``=``c]

♠ [eqn: y^' ``+`` a`y ``=`` 0 ~~ RARROW ~~~ p`y``=`` c]

♠ [eqn: y^' ``=`` h ``~~~~~~~ RARROW ~~~ y ``=`` c ``+`` int `h`dx]

♠ [eqn: y^' ``+`` a`y ``=`` h ~~ RARROW ~~~ p`y ``=`` c ``+`` int `p`h`dx],  [eqn: p(x) ``=`` e^{ int`a(x)`dx }]

■ 선형미분방정식으로의 변환, Bernoulli Equation

† Bernoulli 방정식:	[eqn: y' + p(x)y = g(x) y^a]  (a: 임의의 실수)

a=0 or 1이면 선형, 아니면 비선형

† 비선형 Bernoulli 방정식인 경우 선형미분방정식으로 변환가능

[eqn: y' + p(x)y = g(x) y^a]  ∀ [eqn: y' = g(x) y^a - p(x)y]

Set	[eqn: u = y^1-a]

∀	[eqn: u' = (1-a) y^{-a} y' = (1-a) y^{-a} (g y^a - py)]

∀	[eqn: u' = (1-a) (g - py^ {1-a} ) = (1-a) (g - p u )]

∀   [eqn: u' + (1-a) pu = (1-a) g]   : u에 관한 선형미분방정식

◎ Ex 5. Verhulst 방정식이라 불리는 특수한 Bernoulli 방정식 [eqn: y' - Ay = - By^2] 의

해를 구하라.

[eqn: y' + p(x)y = g(x) y^a] 과 비교하면  ∀  [eqn: a = 2]  ∀  [eqn: u = y ^{-1}]

∀  [eqn: u ' = - y ^{-2} y' = - y^{-2} ( Ay - By^2 ) = - (A y^{-1} - B) = -(Au - B)]

∀	[eqn: u' + Au = B]  ([eqn: u] 에 관한 선형미분방정식)

∀	[eqn: p = A],  [eqn: r = B],  [eqn: h = int p `dx =A x]

∀	[eqn: u right = e^-h `left [ int { e^ { h } r } ``dx + c right ] = e^{-Ax}`` [ B over A e^Ax + c ] = ce^{-Ax} +B/A]

∀	∴ [eqn: y = 1 over u = 1 over { (B/A) + ce^{-Ax} }] (Verhulst 방정식의 해)

■  입력과 출력

선형 비제차 미분방정식  [eqn: y' + p(x) y = r(x)] 에서

[eqn: r(x)] : 입력 (input), [eqn: y(x)] : 출력 (output) 이라 한다.

위 방정식의 해 [eqn: y (x)`` = ``e^-h ` int { e^ { h } r } ``dx `+` c `e^-h] 에서 알 수 있듯이

전체출력 = 입력에 대한 응답 + 초기값에 대한 응답

※ Problem Set 1.6: 6, 7, 19, 31

1.7 모델링: 전기회로

(Modeling: Electric Circuits)

† 모델링은 물리적인 시스템 등을 수학적인 모델로 표현하는 작업

† 전기회로의 동작은 선형미분방정식으로 표현할 수 있다.

† 회로이론에 대한 지식이 필요하므로 생략!

1.8 곡선의 직교절선 (Orthogonal Trajectories of Curves)

† 직교절선(orthogonal trajectory): 주어진 곡선에 직교하는 곡선

† [eqn: y = g(x)] 곡선에 수직하게 교차하는 직교절선 구하기

♠ 1단계 : 주어진 곡선을 해곡선으로 하는 미분방정식을 구한다.

[eqn: y' = f(x,y)]

♠ 2단계 : 직교절선의 미분방정식은

∀ [eqn: y' = - 1 over f(x,y)]

♠ 3단계 :	직교절선 미분방정식의 해를 구하면 이 해가 직교절선이 된다.

1.9 해의 존재성과 유일성, Picard의 반복법

(Existence and Uniqueness of Solutions, Picard Iteration)

† 미분방정식의 일반해가 항상 존재하는 것은 아니다.

† 초기값 문제의 특수해가 항상 존재하는 것도 아니다.

예)

♠ [eqn: LEFT | y' RIGHT | + LEFT | y ~ RIGHT | = 0], [eqn: y ( 0 ) = 1] ∀ 만족하는 해가 없다.

♠ [eqn: y' = x], [eqn: y ( 0 ) = 1] ∀ 만족하는 해가 하나 있다. ∀ [eqn: y = x^2 over 2 + 1]

♠ [eqn: xy' = y-1], [eqn: y ( 0 ) = 1] ∀ 만족하는 해가 무수히 많다. ∀ [eqn: y = 1 + cx]

[eqn: y' = f(x,y)],  [eqn: y(x_o ) = y_o] 와 같은 초기값 문제가 있을 때,

■  해의 존재성 (어떤 경우에 하나 이상의 해를 갖는가?)

[eqn: LEFT | x - x_o RIGHT | < a, ~ LEFT | y - y_o RIGHT | < b] 로 정의되는 사각형내의 모든 점 [eqn: (x,y)]에서

♠  [eqn: f(x,y)]가 연속이고

♠  [eqn: LEFT | f ( x, y ) RIGHT | <= K] (발산하지 않음) 이면

∀  ∴ 최소한 하나 이상의 해를 갖는다.

[eqn: y' = f(x,y)],  [eqn: y(x_o ) = y_o] 와 같은 초기값 문제가 있을 때,

■  해의 유일성 (어떤 경우에 해가 최대 하나만 존재하는가?)

[eqn: LEFT | x - x_o RIGHT | < a, ~ LEFT | y - y_o RIGHT | < b] 로 정의되는 사각형내의 모든 점 [eqn: (x,y)]에서

♠  [eqn: f(x,y)], [eqn: partialf over partialy] 가 연속이고 발산하지 않으면, 즉

♠  [eqn: LEFT | f ~ RIGHT | <= K], [eqn: LEFT | partialf over partialy ~ RIGHT | <= M] 이면

∀  ∴ 최대 하나의 해를 갖는다. 해의 존재성 정리와 연결하여

생각하면 이 초기값 문제는 정확하게 하나의 해를 갖게 된다.

이 정리의 증명은 강의의 범위를 넘어서므로 생략.

■ 초기값 문제를 위한 Picard의 반복법

Picard의 반복법은 초기값 문제 [eqn: y' = f(x,y)],  [eqn: y(x_o ) = y_o] 에 대한

근사해를 제공한다.

[eqn: y' = f(x,y)],  [eqn: y(x_o ) = y_o]

♠ 양변을 적분하면 [eqn: y = y_o + int from x_o to x f``[x,y(t)] dt]

♠ [eqn: y(t) = y_o] 라고 가정하여 근사해 [eqn: y_1 (x)]를 구한다. ∀ [eqn: y_1 (x ) = y_o + int from x_o to x f``(t, y_o ) dt]

♠	[eqn: y(t) = y_1 (t)]로 가정하여 근사해  [eqn: y_2 (x)]를 구한다. ∀ [eqn: y_2 (x ) = y_o + int from x_o to x f``(t, y_1 ) dt]

♠  이런 과정을 반복하여 근사해 [eqn: y_n (x)]을 구한다.

∀  ∴ [eqn: y_n (x ) = y_o + int from x_o to x f``(t, y_n-1 ) dt]

◎ Ex 3. 초기값 문제 [eqn: y' = 1+ y^2 ,~~ y(0) = 0]의 근사해를 구하라.

[eqn: f``(x,y) = 1+y^2 , ~~`` f``(t,y) = 1+y^2]

[eqn: y_n (x) = y_o + int from x_o to x f``(t,y) dt = int from 0 to x [ 1+y_n-1^{`2} (t) ] dt = x + int from 0 to x y_n-1 ^ {`2} (t) dt]

[eqn: y_o (x) = 0]

[eqn: y_1 (x) = x + int from 0 to x y_o ^ {`2} (t) dt = x]

[eqn: y_2 (x) = x + int from 0 to x y_1 ^ {`2} (t) dt = x + int from 0 to x t^2 dt = x + 1 over 3 x^3]

[eqn: y_3 (x) = x + int from 0 to x y_2 ^ {`2} (t) dt = x + int from 0 to x (t + t^2 over 3 ) dt = x + 1 over 3 x^3 + 2 over 15 x^5 + 1 over 63 x^7]

∀	∴  [eqn: y(x) = x + 1 over 3 x^3 + 2 over 15 x^5 + 17 over 315 x^7 + CDOTS]