Ch.2 2계 및 고계 선형 미분방정식

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Div. Electronics and Information Eng.,  CBNU

『공학 수학 1』

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♠ 자주 접하게 될 공학문제들의 상당수가 2계 미분방정식으로 표현된다

♠ 기계적 진동 문제, RLC 전기회로, 라플라스 방정식, 열전도 방정식, 파동 방정식 등

♠ 2계 비선형 미분방정식의 해는 구하기가 상당히 어렵다

♠ 이 장에선, 선형미분방정식의 해법만을, 제차, 비제차로 나누어 다루겠다

♠ 이 장에서 공부할 이론은 대부분 비슷한 모양의 고계(high order) 미분방정식에도

적용된다

2-1. 2계 제차 선형방정식

■ 2계선형 미분방정식

♠ 2계 미분방정식의 표현

[eqn: y'' + p(x)y' +q(x)y = r(x)]               =>  선   형(linear)

[eqn: y''] 을 첫 번째 항으로 갖는 식          => 표준형(standard form)

[eqn: y'' + p(x)y' +q(x)y = 0] (  [eqn: r(x) == 0]  )   => 제  차(homogeneous)

(  [eqn: r(x) not == 0]  )   => 비제차(nonhomogeneous)

■ 제차 방정식 : 중첩 혹은 선형성의 원리

♠ 제차 방정식에 대한 기본 정리

제차 선형미분방정식에 대해, 어떤 열린구간 [eqn: I] 에서 두 개의 해의 1차결합은

다시 구간 [eqn: I] 에서 다시 제차 선형미분방정식의 해가 된다. 특히, 그러한 방정식

에 대해서는, 해들의 합과 상수곱도 다시 해가 된다.

※ 단, 이 정리는 비제차 선형방정식 또는 비선형 방정식에서는 성립하지 않는다.

■ 초기값 문제. 일반해. 기저

♠ 일반해

[eqn: y=c_1 y_1 +c_2 y_2],  ( 일반해의 형태 )

구간 [eqn: I] 에서 비례하지 않는 제차방정식의 해 [eqn: y_1], [eqn: y_2] 와 임의의 상수 [eqn: c_1], [eqn: c_2]을

갖는 해이다.

♠ 기저

[eqn: y_1], [eqn: y_2]를 구간 [eqn: I]에서의 제차방정식의 기저(basis) 또는 기본계 라고 함.

♠ 특수해

일반해의 기본형태에서 [eqn: c_1] 과 [eqn: c_2]  에  특정한 값을 지정하면,

구간 [eqn: I]  에서 제차방정식의 특수해(particular solution)가 얻어진다.

♠ 1차 독립

구간 [eqn: I]에서 [eqn: k_1 y_1 + k_2 y_2 =0]일때  [eqn: k_1 = 0], [eqn: k_2 = 0] 이 된다면

두 함수 [eqn: y_1 (x)]와 [eqn: y_2 (x)]를 구간 [eqn: I]에서 1차 독립(linearly independent)이라고 한다.

♠ 1차 종속

적어도 하나가 0이 아닌 상수 [eqn: k_1], [eqn: k_2]  에 대하여 식이 성립한다면,

이 함수들을 1차 종속(linearly dependent)이라고 부른다

■ 한 개의 해를 알고 있을 경우에 기저를 구하는 방법. 차수의 축소법

♠ 차수의 축소법

한 개의 해를 알고 있을 때 1계의 미분방정식으로부터 y2를 구할수 있다.

■ 일반해의 실제적 역할

♠ 일반해 + 두 개의 초기조건

=> 특수해를 얻는다.

♠ 특수해의 의미

=> 주어진 물리적 또는 다른 계의 유일한 거동을 묘사해 주는 것이다.

※ 제차방정식의 계수 [eqn: p] 와 [eqn: q] 그리고 함수 [eqn: r] 이 어떤 구간 [eqn: I] 에서 연속이라면,

제차방정식은 구간 [eqn: I] 에서 항상 일반해를 갖는다. 이로부터 구간 [eqn: I] 에서의 모든

초기값 문제의 해를 얻는데, 이 해는 유일하다. 또한 제차방정식은 특이해

(singular solutions, 즉 일반해로부터 얻을 수 없는 해)를 갖지 않는다.

※ Problem Set 2.1: 2, 13, 14, 19

2-2. 상계수를 갖는 2계 제차방정식

♠ 제차선형방정식 [eqn: y''+ay'+by=0]  (  a, b 는 상수 )의 해를 구한다.

♠ [eqn: y=e^{lambda x}] 와 도함수 [eqn: y'=lambda e^{lambda x}] , [eqn: y''=lambda^2 e^{lambda x}] 를 제차선형방정식에 대입

[eqn: (lambda^2 +a lambda +b)e^{lambda x} =0]

♠  특성방정식 또는 보조방정식

[eqn: lambda^2 +a lambda +b=0]      를  얻는다.

※ [eqn: lambda] 가 2차방정식 [eqn: lambda^2 +a lambda +b=0] 의 해라면, 지수함수가 제차선형방정식의 해가 된다.

♠ 특성방정식의 근

[eqn: lambda_1 = 1 over 2 (-a + sqrt{ a^2 -4b})],         ,    [eqn: lambda_2 = 1 over 2 (-a - sqrt{ a^2 -4b})]

♠ 판별식 부호에 따른 근

경우 I)   만약  [eqn: a^2 - 4b >0]        이면 두 개의 실근(two real roots),

경우 II)   만약  [eqn: a^2 - 4b =0]        이면 실이중근(a real double root),

경우 III)  만약  [eqn: a^2 -4b < 0]         이면 공액복소근(complex conjugate roots)

■ 일반해

♠경우1. 두 개의 서로 다른 실근 [eqn: lambda_1] 과 [eqn: lambda_2]

[eqn: y=c_1 e^{lambda_1 x}+c_2 e^{lambda_2 x}]

♠ 경우2. 실이중근 [eqn: lambda = -a/2]

※ Problem Set 2.2: 8, 13, 24, 27, 28

[eqn: y=(c_1 + c_2 x)e^-ax/2]

2-3. 복소근의 경우. 복수지수함수

♠ 특성방정식이 복소근을 가질 때에 대해서 알아본다.

♠ 복소지수함수

●  복소변수 [eqn: z=s+ i t] 의 복소지수함수

==>   [eqn: e^z]

●  실수함수 [eqn: e^s], [eqn: cos t], [eqn: sin t]의 식으로 표현

==>   [eqn: e^z = e^{s+ i t} = e^s e^{i t}=e^s ( cos t + i sin t )]

■ 일반해

♠ 경우3. 공액복소수 [eqn: lambda_1 = - 1 over 2 a+i omega] , [eqn: lambda_2 = - 1 over 2 a - i omega]

[eqn: y=e^{-ax/2}(A cos omega x + B sin omega x)]

ex) 복소근 초기값 문제.

□  1단계 : 일반해를 구한다.

□  2단계 : 초기조건에 의해 특수해를 구한다.

■ 경계값 문제

♠ 경계조건

제차선형방정식이 고려되어지는 구간 [eqn: I] 의 끝점 [eqn: P_1], [eqn: P_2]  (경계점 [eqn: P_1], [eqn: P_2]) 에

관련되기 때문에, 경계조건(boundary conditions)이라고 한다.

※ Problem Set 2.3: 11, 13, 22, 24

2-4. 미분연산자. 선택사항

♠ 미분연산자의 개론에 대해 알아보자.

♠ 연산자

함수를 다른 함수로 변형하는 변환을 의미

♠ 연산기법

연산자와 그에 해당하는 기법을 가르친다.

[eqn: Dy=y']  ( D : 연산자, D가 y에 작용한다. )

♠ 2계 미분연산자

[eqn: L=P(D)=D^2 +aD+b]   ( a, b 는 상수)

♠ L이 함수 y ( 두 번 미분가능하다고 가정된) 에 적용될 때

[eqn: L[y]=(D^2 +aD+b)y=y''+ay'+by]   ( L은 선형연산자이다 )

♠ 제차 선형미분 방정식의 간단한 표기

[eqn: L[y]=P(D)[y]=0]    ( [eqn: P(D)] = 연산자 다항식 )

♠ 연산자법 ( operational calculus )

[eqn: P(D)] 가 대수적 양처럼 취급될 수 있다.

※ Problem Set 2.4: 1, 4, 12, 14

2-5. 모형화 : 자유진동(질량-용수철 계)

♠ 기초적인 역학계인 유연한 용수철에 매달린 질량의 운동에 대해 논의한다.

♠ 계의 모형화(수식화) 및 해를 구하고 운동의 유형에 대해 논의한다.

■ 질량 - 용수철 계 모형의 설정

♠ Newton 의 제2법칙 ( Newton's second law )

[eqn: 질량 times 가속도 = my'' = 힘]

( [eqn: y''= d^2 y/d t^2] 인데, 여기서 [eqn: y(t)]는 물체의 변위이고 [eqn: t]  는 시간이다 )

♠ Hooke 의 법칙

[eqn: F_0 = -ks_0] , [eqn: k(>0)] 는 용수철 상수 ( spring constant )

■ 비감쇠계 : 방정식과 해

♠ 감쇠가 없는 역학계의 모형

[eqn: my''+ky=0]   ( 상계수를 가지는 선형 미분방정식 )

=> [eqn: y(t)=A cos omega_0 t +B sin omega_0 t]   ( 일 반 해 )

< 조화진동의 형태 >

■ 감쇠계 : 방정식과 해

♠ 감쇠 역학계의 운동

[eqn: my''+cy'+ky=0]  ( 상계수를 가지는 선형미분방정식 )

♠ 해의 경우 ( 해의 형태는 감쇠에 의존 )

경우 I.     [eqn: c^2 > 4mk],        서로 다른 실근       (과감쇠, overdamping)

경우 II.    [eqn: c^2 = 4mk]        실이중근             (임계감쇠, critical damping)

경우 III.    [eqn: c^2 < 4mk]        공액복소근           (저감쇠, underdamping)

■ 세가지 경우에 대한 논의

♠ 경우1. 과감쇠( 감쇠상수 [eqn: c] 가 매우 커서 [eqn: c^2 >4mk] 일 때 )

[eqn: y(t)=c_1 e^{-(alpha-beta)t}+c_2 e^{-(alpha+beta)t}]   ( 일반해 )

( [eqn: lambda_1]  과  [eqn: lambda_2]  는 서로 다른 실근 )

< 과감쇠 진동의 형태 >

♠ 경우2. 임계감쇠 ( 만약 [eqn: c^2 =4mk] 라면 )

[eqn: y(t)=(c_1 +c_2 t)e^{-alpha t}]   ( 일반해 , [eqn: beta=0], [eqn: lambda_1 =lambda_2 =-alpha]  이다. )

< 임계감쇠 진동의 형태 >

♠ 경우3. 저감쇠 ( 감쇠상수 [eqn: c] 가 매우 작아서 [eqn: c^2 < 4mk] 일 때 )

[eqn: y(t)=e^{-alpha t}(A cos omega^* t+B sin omega^* t)=Ce^{-alpha t} cos(omega^* t-delta)]     ( 일반해 )

[eqn: beta = i omega^*] , [eqn: □_1`=` -□+i□^* , □_2`=` -□-i□^*]

< 저감쇠진동의 형태 >

※ Problem Set 2.5: 7, 9, 14, 18, 19

2-6. 오일러 - 코시 방정식

♠ 거듭제곱  [eqn: y=x^m] 의 미분

[eqn: y'=mx^m-1], [eqn: y''=m(m-1)x^m-2]  와 같이 거듭제곱이 1씩 감소

=>      [eqn: y], [eqn: xy'], [eqn: x^2 y''] 으로 이루어진 선형미분방정식이 필요하다.

♠ 오일러 - 코시 방정식

[eqn: x^2 y'' +axy'+by=0]

ex) [eqn: y=x^m]

♠ 거듭제곱을 오일러-코시방정식에 대입한후  [eqn: m^2], [eqn: m], [eqn: m^0] 에 관한 항으로 정리

=> [eqn: m^2 +(a-1)m+b=0]

■ 해의 세가지 경우

♠ 경우1. 서로 다른 실근을 가질 때

[eqn: y=c_1 x^{m_1} + c_2 x^m_2]   ( 일반해 )

♠ 경우2. 이중근을 가질 때

[eqn: y=(c_1 +c_2 ln x)x^(1-a)/2]  ( 일반해,  [eqn: c_1], [eqn: c_2] 는 임의의 상수 )

♠ 경우3. 공액복소근을 가질 때

[eqn: y=x^mu [A cos (nu ln x)+ B sin (nu ln x)]]   ( 일반해 )

※ Problem Set 2.6 1, 11, 14, 19, 20

2-7 존재성과 유일성 정리. Wronskian

♠ 임의의 변수 P 와 Q를 가지는 제차선형 방정식

[eqn: y''+p(x)y'+q(x)y=0]

♠ 초기값 문제에 대한 존재성과 유일성

만약 [eqn: p(x)] 와 [eqn: q(x)] 가 어떤 열린구간 [eqn: I]  (1.1절 참조)에서 연속이고, [eqn: x_0]가

구간 [eqn: I] 내에 있다면, 초기값 문제는 구간 [eqn: I] 에서 유일한 해 [eqn: y(x)]를 갖는다.

■ 해의 1차독립. Wronskian

♠ 해의 1차종속과 1차독립

임의의 변수를 가지는 제차방정식이 열린구간 [eqn: I] 에서 연속인 계수 [eqn: p(x)] 와 [eqn: q(x)]를

갖는다고 가정하자. 그러면 구간 [eqn: I] 에서 식의 두 개의 해 [eqn: y_1] 과 [eqn: y_2] 가 구간 [eqn: I] 에서

1차종속이 되는 필요충분조건은 그들의 Wronskian [eqn: W] 가 구간 [eqn: I] 내의 어떤 [eqn: x_0] 에서

0 이 되는 것이다. 나아가, [eqn: x=x_0] 에서 [eqn: W=0] 이라면, 구간 [eqn: I] 에서 [eqn: W == 0] 이다.

그러므로, 만약 [eqn: W] 가 0이 아닌 [eqn: x_1] 이 구간 [eqn: I] 내에 존재하면, 구간 [eqn: I] 에서 [eqn: y_1] 과

[eqn: y_2] 는 1차독립이다.

♠ Wronski 행렬식 : 1차독립과 1차종속에 대한 판정기준.

[eqn: W(y_1 ,y_2 )= LEFT | matrix{ y_1 & y_2 # y_1 ' & y_2 ' } RIGHT | =y_1 y_2 '-y_2 y_1 ']

■ 제차방정식의 일반해는 모든 해를 포함한다.

♠ 일반해의 존재성

만약 [eqn: p(x)] 와 [eqn: q(x)] 가 열린구간 [eqn: I] 에서 연속이라면,  구간 [eqn: I] 에서

일반해를 갖는다

♠ 일반해

제차방정식이 어떤 열린구간 [eqn: I] 에서 연속인 계수 [eqn: p(x)] 와 [eqn: q(x)] 를 갖는다고

가정하자. 그러면 구간 [eqn: I] 에서 임의의 해 [eqn: y=Y(x)] 는

==>  [eqn: Y(x)= C_1 y_1 (x)+ C_2 y_2 (x)]

여기에서, [eqn: y_1] , [eqn: y_2] 는 구간 [eqn: I] 에서 식의 해의 기저를 형성하고,

[eqn: C_1]  ,[eqn: C_2]   는 적당한 상수이다.

그러므로, 식은 특이해( 즉, 일반해로부터 얻을 수 없는 해 ) 를 갖지 않는다.

※ Problem Set 2.7 : 7, 8, 14, 18

2-8 비제차방정식

♠ 비제차방정식의 해법을 알아본다.

♠ 제차방정식과 비제차방정식의 해 사이의 관계

1) 어떤 열린구간 [eqn: I] 에서 비제차방정식의 두 해의 차는 구간 [eqn: I] 에서

제차방정식의 해이다.

2) 구간 [eqn: I] 에서의 비제차방정식의 해와 구간 [eqn: I] 에서의 제차방정식의 해의 합은

구간 [eqn: I] 에서 비제차방정식의 해이다.

■ 비제차방정식의 일반해는 모든 해를 포함한다.

♠ 일반해

[eqn: y(x)=y_h (x)+y_p (x)]  ( 일반해의 형태 )

정  의 :  비제차방정식에서 계수들과 [eqn: r(x)] 가 어떤 열린구간 [eqn: I] 에서 연속일 때.

구간 [eqn: I] 에서 비제차방정식의 모든 해는 구간 [eqn: I] 에서 비제차방정식의

일반해의 임의의 상수들에 적당한 값들을 부여함으로써 얻어진다.

※ 비제차방정식의 초기값 문제를 풀기 위해서는, 제차방정식을 풀어야 하고

비제차방정식의 어떤 특수해[eqn: y_p] 를 구해야 한다.

※ Problem Set 2.8 : 4, 13, 14, 16

2-9 미정계수에 의한 해

♠ 비제차방정식의 특수해를 구하는 방법에 대해서 알아본다.

♠ 미정계수법을 위한 법칙

1) 기본법칙 : 만약 비제차방정식에서 [eqn: r(x)] 가 미정계수법의 열에 있는 함수들

중의 하나라면, 대응하는 함수 [eqn: y_p] 를 선택하고, [eqn: y_p] 와 그 도함수들을

비제차방정식에 대입함으로써 미정계수를 결정한다.

2) 변형법칙 : 만약 [eqn: y_p] 로 선택된 항이 비제차방정식에 대응하는 제차방정식의

해가 된다면, 선택된 [eqn: y_p] 에 [eqn: x] ( 또는 만약 이해가 제차방정식의

이중근에 해당한다면 [eqn: x^2] ) 를 곱한다.

3) 합 법 칙 : 만약 [eqn: r(x)]가  여러 개의 줄에 있는 함수의 합이라면, 대응하는 줄에

있는 함수들의 합으로 [eqn: y_p] 를 선택한다.

※[eqn: r(x)] 와 [eqn: y_p] 의 관계는 아래의 표를 참조하시오.

[eqn: r(x)] 의 항	[eqn: y_p] 에 대한 선택
[eqn: ke^{gamma x}]	[eqn: Ce^{gamma x}]
[eqn: kx^n (n=0,1,cdots)]	[eqn: K_n x^n +K_n-1 x^n-1 + cdots +K_1 x + K_0]
[eqn: k cos omega x]	[eqn: K cos omega x + L sin omega x]
[eqn: k sin omega x]
[eqn: k e^{gamma x}cos omega x]	[eqn: e^{gamma x}(K cos omega x + L sin omega x)]
[eqn: k e^{gamma x}sin omega x]

※ Problem Set 2.9 : 1, 13, 14, 24, 25

2-10 매개변수 변환에 의한 풀이

♠ 매개변수 변환법

1) 매개변수 변환법은 단지 특별한 우변을 가지는 상계수 방정식에만

적용된다.

2) 일반적이나 복잡하다.

3) 어떤 구간 [eqn: I] 에서 연속인 임의의 변수 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r] 을 갖는 미분방정식

[eqn: y''+p(x)y'+q(x)y=r(x)] 에  적용된다

♠ 특수해

[eqn: y_p (x)=-y_1 int {y_2 r}over{W} dx +y_2 int {y_1 r}over {W} dx]

※  식을 적용하기 전에 방정식이 [eqn: y''] 을 첫 번째 항으로 갖는 표준형으로 쓰여져

있는가를 확인해야한다. 만약 방정식이 [eqn: f(x)y'']로 시작한다면[eqn: f(x)]로 나누어라.

♠ 특수해 [eqn: y_p (x)]를 구하는 아이디어는 교재의 유도과정을 따른다.

□ ( 참고사항 ) 차수내림에 의한 특수해의 결정

♠ 차수내림은 변수변환법의 특수한 경우이다

♠ 차수내림을 이용하여 특수해를 구해보자

일반적인 비제차방정식

[eqn: y^{prime prime} ``+`` a(x)` y^prime ``+`` b(x) `y ``=`` h(x)]--------- (a)

♠ 한 제차해를 [eqn: y_1] 이라 가정하자

이 때, 1차독립인 다른 제차해 [eqn: y_2] 는 다음과 같다

[eqn: y_2 ``=`` y_1 int 1 over { p` {y_1}^2 } dx] ( 2-4절 참조 )

♠ 특수해를 다음과 같이 가정하자

[eqn: y_p ``=`` u` y_1]

♠ [eqn: y_p] 를 1계, 2계 미분하면

[eqn: {y_p}^prime ``=`` u^prime `y_1 ``+`` u` {y_1}^prime]

[eqn: {y_p}^{prime prime} ``=`` u^{prime prime} `y_1 ``+`` 2 u^prime {y_1}^prime ``+`` u` {y_1}^{prime prime}]

♠ 이들을 식 (a) 에 대입하고 정리하면

[eqn: &u^{prime prime} y_1 ``+`` u^prime `( 2 {y_1}^prime ``+`` a`y_1 `) ``+`` u `( {y_1}^{prime prime} ``+`` a` {y_1}^prime ``+`` b` y_1 `) ##&=`` u^{prime prime} `y_1 ``+`` u^prime `( 2 {y_1}^prime ``+`` a `y_1 `) ##&=`` h]

[eqn: therefore ~~ u^{prime prime} `y_1 ``+`` u^prime ` (2 {y_1}^prime ``+`` a` y_1 `) ``=`` h]

♠ 양변을 [eqn: y_1] 으로 나누면

[eqn: u^{prime prime} ``+`` u^prime `( 2 {{y_1}^prime } over { y_1 } ``+`` a `) ``=`` h over { y_1 }]

♠ [eqn: u^prime ``=`` v] 로 치환하면

[eqn: therefore ~~ v^prime ``+`` v `( 2 {{y_1}^prime } over { y_1 } ``+`` a `) ``=`` h over { y_1 }]

♠ 이 식의 적분인자는

[eqn: p^* ``=`` e^{ int ( 2 {{y_1}^prime} over {y_1} ``+`` a `)`dx } ``=`` e^{2 ln `y_1 } times e^{ int a`dx } ``=`` p` {y_1}^2]

( 단, [eqn: p ``=`` e^{ int a`dx }] )

[eqn: therefore ~~ &p^* `v ``=`` int p^* `( h over { y_1 } ) `dx ~~ LRARROW ~~ ( p` {y_1}^2 `) `v ``=`` int ( p `{y_1}^2 ) times ( h over y_1 ) `dx]

[eqn: therefore ~~ v ``=`` { int ( p`y_1 `h ) `dx } over { p ` {y_1}^2 }]

[eqn: therefore ~~ u ``=`` int `{ int ( p `y_1 `h )`dx } over { p` {y_1}^2 } `dx]

[eqn: therefore ~~ y_p ``=`` u` y_1 ``=`` y_1 `int { int ( p` y_1 `h)`dx }over { p` {y_1}^2 } `dx]

※ Problem Set 2.10 : 8, 11, 14, 18

2-11 모형화 : 강제진동. 공진

♠ 자유운동

외부로부터 힘이 없을 때의 운동이다.

제차미분방정식 [eqn: my'' +cy'=ky=0] 의해 지배된다

♠ 강제운동

외부로부터의 힘 [eqn: r(t)] 가 물체에 작용하도록 할 때 얻어진다.

비제차미분방정식 [eqn: my'' +cy'=ky=r(t)] 의해 지배된다.

[eqn: r(t)] 는 입력(input) 혹은 구동력(driving force)이라 한다.

이에 대응하는 해는 출력 또는 구동력에 대한 계의 응답이라 한다.

ex) 구동력 [eqn: r(t)=F_0 cos omega t]  ( 주기적인 입력 ) 에 대해 알아본다.

♠ 방정식 [eqn: my''+cy'+ky=F_0 cos omega t] 를 얻을수 있다.

■ 방정식의 풀이

1) 비제차방정식의 일반해

제차방정식의 일반해 + 비제차방정식의 특수해

2) 미정계수법에 의한 [eqn: y-_p (t)] 결정

[eqn: y_p (t)=a cos omega t + b sin omega t]

3) [eqn: y-_p (t)] 를 미분

[eqn: &y_p ' &=& - omega a sin omega t + omega b cos omega t# &y_p '' &=& - omega^2 a cos omega t - omega^2 b sin omega t]

4) 비제차방정식에 대입하여 정리한 후 양변을 비교

[eqn: &( k-m omega^2 )a &+& omega c b &=& F_0# &- omega c a &+& (k-m omega^2 )b &=&0]  ,  미지수 a, b 에 대한 대수 방정식된다.

5) 해를 구한다.,

[eqn: a=F_0 {k-m omega^2}over{(k-m omega^2 )^2 + omega^2 +c^2}]  ,  [eqn: b=F_0 {omega c}over{(k-m omega^2 )^2 + omega^2 +c^2}]

6) 비제차방정식의 일반해를 얻는다.

■ 경우1. 비감쇠 강제진동. 공진

♠ 일반해

[eqn: y(t) = C cos (omega_0 t - delta)+ F_0 over{m(omega_0 ^2 - omega^2 )} cos omega t]

※  이 출력은 두 개의 조화진동의 중첩을 나타낸다. 그들의 주파수는 계의

□ 고유주파수(natural frequency) □ [eqn: omega_0 /2 pi] [cycles/sec]

(즉, 비감쇠운동의 주파수)와 입력의 주파수는 [eqn: omega/2pi] 이다.

♠ 공진

[eqn: y_p] 의 최대진폭

[eqn: a_0 = F_0 over k rho]   ==>   [eqn: rho = 1 over {1-(omega/omega_0 )^2}] 에서

[eqn: omega -> omega_0] 가 되면, [eqn: rho] ( 공진인자 ) 와 [eqn: a_0] 는 무한대로 간다.

입력주파수와 고유주파수가 정합됨으로써( [eqn: omega = omega_0] ) 발생하는 큰 진동의

여기현상을 공진(resonance)이라 한다.

♠ 특수해

[eqn: y_p (t)= F_0 over {2m omega_0} t sin omega_0 t]

♠ 맥놀이

입력주파수와 고유주파수의 차가 적을 때의 강제 비감쇠진동

< 공명 현상과 맥놀이 현상 >

■ 경우2. 감쇠강제진동

♠ 감쇠가 있을 때 의 현상

비제차방정식의 일반해  => 과도해 ( 정상상태 해[eqn: y_p] 로 접근한다. )

※  충분히 긴 시간 후에는, 순수한 사인곡선의 입력에 대응하는 출력은 그 주파수가

입력의 주파수인 조화진동과 거의 다름이 없다. 어떠한 물리적 계도 완전히

비감쇠는 아니기 때문에, 이러한 현상이 실제로 발생하는 현상이다.

♠ 실제적 공진

비감쇠의 경우 [eqn: omega] 가 [eqn: omega_0] 에 접근할 때 [eqn: y_p] 의 진폭이 무한대로 접근하는 반면에,

감쇠의 경우에는 이와 같은 현상은 발생하지 않는다. 이 경우에는 진폭은 항상 유한

하나, [eqn: c] 에 의존하는 어떤 [eqn: omega] 에 대해 최대값을 가질 수 있다.

■ [eqn: y_p] 의 진폭 ( □ 함수로 표현 )

[eqn: C^* (omega_{max} ) = 2mF_0 over{c sqrt{4m^2 omega_0 ^2 -c^2}}]

♠ 의미

●  [eqn: c>0] 일 때 [eqn: C^* (omega_max )] 는 유한하다는 것을 알 수 있다.

●  [eqn: c^2 < 2mk] 일 때 [eqn: d C^* (omega_max )/ d c <0] 이기 때문에, [eqn: C^* (omega_max )] 의 값은

[eqn: c(leq sqrt 2mk )] 가 감소함에 따라 증가하고 [eqn: c] 가 0에 접근함에 따라 무한대로

접근하는데, 이것은 경우 1의 결과와 일치한다.

●  그림 60 ( 교제참조 )은 [eqn: m=1], [eqn: k=1] 그리고 감쇠상수 [eqn: c] 의 다양한 값에

대하여 [eqn: omega] 의 함수로써 증폭 [eqn: C^* /F_0] ( 입력과 출력의 진폭의 비 ) 를 보여준다.

※ Problem Set 2.11 : 6, 11, 17, 18

2-12. 전기회로의 모형화

□ 모형의 설정

♠ 전기회로는 그 수학적 모델의 유용성으로 인하여 다양한 분야에 응용된다

< 저항, 유도기, 축전기를 이용한 RLC 회로 >

∀ 전류 (current) : [eqn: i] 로 표시. 단위는 [eqn: A] (ampere)

∀ 전압 (voltage) : [eqn: E] 로 표시. 단위는 [eqn: V] (volt)

< RLC회로의 각 구성요소를 통한 전압 강하 >

구성요소	전압 강하량	관련 비례상수
저 항	[eqn: E_R ``=`` R`i]	[eqn: R] (저항, ohm)
유도기	[eqn: E_L ``=`` L ` { d`i } over {d`t}]	[eqn: L] (인덕턴스, henry)
축전기	[eqn: E_C ``=`` 1 over C `int `i`dt]	[eqn: C] (정전용량, farad)

♠ 전기회로를 다루는데 가장 중요한 법칙

kirchhoff 의 전압법칙

임의의 폐쇄회로의 전압강하의 합은 0이거나, 폐쇄회로에 가해진 전압은 나머지 회로에서의 전압강하의 합과 같다

kirchhoff의 전류법칙

회로의 임의의 점으로 흐르는 총 전류(net current)는 0 이다

♠ 전압법칙을 RLC회로에 적용하면

[eqn: L`{di}over {dt} ``+`` R`i ``+`` 1 over C `int i`dt ``=`` E`(t)]

∴ [eqn: L` {d^2`i}over {d`t^2} ``+`` R` {d`i}over{d`t}``+`` 1 over C `i ``=`` { d`E`(t) } over { d`t }]

♠ [eqn: E`(t) ``=`` E_0 `sin `OMEGA`t] 형태의 기전력

[eqn: L` { d^2 `i } over { d` t^2 } ``+`` R ` { d`i } over { d`t } ``+`` 1 over C `i ``=`` E_0 ` OMEGA `cos`OMEGA`t]

■ 방정식의 풀이 및 해에 관한 논의

♠ 미정계수법을 이용해 특수해를 구하자

♠ [eqn: i_p ``=`` A`cos`OMEGA`t ``+`` B`sin`OMEGA`t] 로 두고 해를 구하면

[eqn: therefore ~~ i_p ``&=`` - { E_0 `S } over { R^2 ``+`` S^2 } `cos`OMEGA`t ``+`` { E_0 `R } over { R^2 ``+`` S^2 }`sin` OMEGA`t ##&=`` i_0 `sin`( OMEGA`t ``-`` beta `) ##& i_0 ``=`` { E_0 } over { sqrt { R^2 ``+`` S^2 } } ~,~ beta ``=`` tan^{-1} ( - S over R `)]

[eqn: S ``=`` OMEGA `L ``-`` 1 OVER { OMEGA` C }] : 리액턴스(reactance)

[eqn: sqrt { R^2 ``+`` S^2 } ``=`` { E_0 } over { i_0 }] : 임피던스(impedance)

∀ 저항을 정의하는 Ohm의 법칙 [eqn: R ``=`` E over i] 와 비슷

※ Problem Set 2.12 : 3, 5, 6, 12

2-13. 고계 선형미분방정식

♠ 임의의 [eqn: n]계 미분방정식  [eqn: F(x, y, y', cdots, y^(n) )=0]  일 때

[eqn: y^(n) +p_n-1 (x) y^n-1 + cdots + p_1 (x) y'+p_0 (x) y=r(x)]  ······  (1)    => 선형

♠ [eqn: r(x) == 0] (고려되는 모든 [eqn: x]에 대해서 0)

[eqn: y^(n) +p_n-1 (x) y^n-1 + cdots + p_1 (x) y'+p_0 (x) y=0]  ······ (2)

=> 제차(homogeneous), (항등적으로 ≠ 0 , 비제차 )

♠  중첩의 원리 / 선형성의 원리

제차 선형미분방정식 (2)에 대해 어떤 열린구간 [eqn: I] 에서 해의 합과 상수곱은

다시 구간 [eqn: I] 에서 식 (2)의 해가 된다.

♠  일반해, 기저, 특수해

일반해의 형태 : [eqn: y(x)=c_1 y_1 (x)+ cdots + c_n y_n (x)]

기저          : [eqn: y_1],[eqn: cdots],[eqn: y_n]

특수해        : [eqn: n]개의 상수 [eqn: c_1],[eqn: cdots],[eqn: c_n]에 특정한 값을 부여하면, 구간 [eqn: I]에서

식 (2)의 특수해(particular solution)를 얻는다.

♠ 1차 독립

[eqn: k_1 y_1 (x)+ cdots + k_n y_n (x)=0],    [eqn: n]개의 함수 [eqn: y_1 (x)],[eqn: cdots],[eqn: y_n (x)]에 대해 이들 함수가

정의된 어떤 구간 [eqn: I]에서 방정식이 모든 [eqn: k_1],[eqn: cdots],[eqn: k_n]이 0이 됨을 의미할 때

♠ 1차 종속

방정식이 구간 [eqn: I]에서 적어도 하나의 0이 아닌 [eqn: k_1],[eqn: cdots],[eqn: k_n]에 대해서도 성립할 때

♠ 초기값 문제에 대한 존재성과 유일성의 정리

[eqn: p_0 (x)], [eqn: cdots], [eqn: p_n-1 (x)]가 어떤 열린구간 에서 연속인 함수이고 [eqn: x_0]가 구간 [eqn: I] 내에

있다면, 초기값 문제 식은 구간 [eqn: I] 에서 유일한 해 [eqn: y(x)]를 갖는다.

♠  일반해의 존재성

[eqn: p_0 (x)], [eqn: cdots], [eqn: p_n-1 (x)]가 어떤 열린구간 [eqn: I]에서 연속이라면,  구간 [eqn: I]에서 일반해를

갖는다.

♠  일반해가 모든 해를 포함한다.

식 (2)가 어떤 열린구간 [eqn: I]에서 연속인 계수 [eqn: p_0 (x)], [eqn: cdots], [eqn: p_n-1 (x)]를 갖는다고

가정하자. 그러면 구간 [eqn: I]에서 식 (2)의 임의의 해 [eqn: y=Y(x)]는

=>   [eqn: Y(x)=C_1 y_1 (x)+cdots+C_n y_n (x)]  의 형태이다.

여기서 [eqn: y_1],[eqn: cdots],[eqn: y_n]은 구간 [eqn: I]에서 식 (2)의 해의 기저이고, [eqn: C_1],[eqn: cdots],[eqn: C_n]은

적당한 상수이다.

※ Problem Set 2.13 : 3, 9, 18, 20

2-14. 상계수를 갖는 고계 제차방정식

♠ 제차방정식

[eqn: y^(n) +a_n-1 y^(n-1) + cdots + a_1 y'+a_0 y=0]

♠ [eqn: y=e^{lambda x}] 일 때

[eqn: lambda^n + a_n-1 lambda^n-1 +cdots + a_1 lambda +a_0 =0],          특성방정식

♠ 특성방정식의 근을 결정하기

■ 서로 다른 실근

[eqn: y_1 = e^{lambda_1 x}],   [eqn: cdots]  ,   [eqn: y_n = e^{lambda_n x}]

n개의 근이 모두 실수이고 서로 다를 때 n개의 해는 모두 x에 대해 기저를 형성

[eqn: y= c_1 e^{lambda_1 x} + cdots + c_n e^{lambda_n x}],     제차방정식의 일반해

※ 제차방정식의 해 [eqn: y_1 = e^{lambda_1 x}],[eqn: cdots],[eqn: y_n = e^{lambda_n x}]  가 자신의 해의 기저를 형성하는

필요충분조건  =>  특성방정식의 n개의 근 모두가 서로 다른 것이어야 한다

■ 단순 복소근

♠ 제차 방정식의 계수가 실수

=> 공액쌍으로 나타난다.

[eqn: y_1 = e^{gamma x}cos omega x] , [eqn: y_2 = e^{gamma x}sin omega x]    두 개의 1차 독립인 해

■ 다중 실근

♠ 실이중근일 때

1차 독립인 해로써 [eqn: y_1] 과 [eqn: xy_1]

♠ 삼중근일 때

1차 독립인 해들은 [eqn: y_1],   [eqn: xy_1],   [eqn: x^2 y_1]

♠ m 차근일 때

1차 독립인 해들은 [eqn: e^ {lambda_1 x}],   [eqn: x e^ {lambda_1 x}],   [eqn: x^2 e^ {lambda_1 x}], [eqn: cdots] ,   [eqn: x^m-1 e^ {lambda_1 x}]

■ 다중 복소근

♠ 복소이중근일 때

1차 독립인 해 [eqn: e^{gamma x} cos omega x], [eqn: e^{gamma x} sin omega x], [eqn: xe^{gamma x} cos omega x], [eqn: xe^{gamma x} sin omega x]

※ Problem Set 2.14 : 3, 11, 16, 20

2-15. 고계 비제차 방정식

■ n개 비제차 선형 미분방정식

♠ [eqn: y^(n) =d^n y/d x^n]을 첫 번째 항으로 한 표준형

[eqn: y^(n) +p_n-1 (x)y^(n-1) + cdots + p_1 (x)y'+p_0 (x)y=r(x)]

♠ 일반해는

[eqn: y_h (x)=c_1 y_1 (x) + cdots + c_n y_n (x)],   ( [eqn: y(x)=y_h (x)+y_p (x)]의 형태 )

※ 식 (1)이 구간 [eqn: I] 에서 연속인 계수와 연속인 [eqn: r(x)]를 갖는다면, 일반해는 존재하고

모든 해를 포함한다. 따라서 특이해를 갖지 않는다.

♠ 초기값 문제( [eqn: x_0]에서의 [eqn: n]개의 초기조건 )

[eqn: y(x_0 )=K_0], [eqn: y'(x_0 )=K_1], [eqn: cdots], [eqn: y^(n-1) (x_0 )=K_n-1]

■ 특수해 [eqn: y_p (x)] 결정

=> 미정계수법 ( 2.6 참조 )

=> 매개변수 변환법 ( 2.7 참조 )

※ Problem Set 2.15 : 2, 12, 15