Ch. 5 Laplace Transform

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Div. of Electronics and Information Eng.,  CBNU

■ 제어 시스템 해석, 설계 등 미분방정식을 풀 수 있는 도구로 공학전반에 널리 이용

■ 어떤 연산이 사상공간에서 보다 쉬운 연산으로 바뀌면 매우 편리해 질 수 있다.

즉, 미분방정식을 LT(Laplace Transform)하면 대수방정식으로 바뀌므로 가감승제

연산을 통해  쉽게 해석할 수 있음(time domain → complex frequenc domain)

■ 라플라스 변환은 특히 불연속적인 함수를 포함하는 미분방정식의 해를 구할 때

매우 중요한 역할을 한다

5-1.  Laplace Transform

■ 정의: 라플라스 변환 (Laplace transform)의 정의

[eqn: F`(s)`=`□`(f``)`=`int_0^inf`e^-st`f`(t)`dt`]

† 주어진 [eqn: f`(t)`]가 모든 [eqn: t`>=`0``]에서 정의된 함수. [eqn: f`(t)`]에 [eqn: e^-st`]를 곱하고 [eqn: t`]에 관

해 [eqn: 0`]부터 무한대까지 적분

† [eqn: f`(t)`]를 [eqn: F`(s)`]의 역변환(inverse transform) 또는 역(inverse)이라고 부르고          [eqn: □^-1`(F)``]로 표기함.    [eqn: f`(t)`=`□^-1`(F)``]

< time domain과 s-domain과의 관계>

◎ Ex 1.	[eqn: t>= 0] 일 때 [eqn: f`(t) = 1]. [eqn: F(s) = ?]

[eqn: F(s) = int from 0 to INF e^-st dt = - 1 over s e^-st `` RIGHT | _0^INF = - 1 over s ( 0 - 1 ) = 1 over s]

◎ Ex 2.	[eqn: t>= 0] 일 때 [eqn: f`(t) = e^at]. [eqn: F(s) = ?]

[eqn: F(s) = int from 0 to INF e^-st e^at dt = int from 0 to INF e^(a-s)t dt = 1 over a-s e^(a-s)t``right | _0^INF]

[eqn: s-a > 0] 일 때	[eqn: F(s) = 1 over s-a]

□ 라플라스 변환의 존재성

라플라스 변환의 존재조건

① [eqn: 0 ~<~a ~<=~ t ~<=~ b] 인 임의의 구간에서 부분연속이다

②  일 때 [eqn: beta ~<~ 1] 인 어떤 수에 대해 [eqn: t^beta `left | f`(t)` right |] 가 유한하다 [eqn: t ~->~ 0]

③ [eqn: t ~->~ inf] 일 때 어떤 수 [eqn: beta] 에 대해  [eqn: e^{- beta t }` left | f`(t) `right |] 가 유한하다

† 어떤 함수 [eqn: f`(t)] 가 위의 조건을 만족하면 함수 [eqn: f`(t)] 의 라플라스 변환은 존재한다

† 알고 있는 대부분의 함수들은 라플라스 변환을 가진다고 할 수 있다

† 앞으로 함수 [eqn: f`(t)] 의 라플라스 변환에 대해 말할 때 [eqn: t ~<~ 0] 인 구간에서는 항상

[eqn: f`(t) `=` 0] 인 것으로 한다

† 만약 라플라스 변환 [eqn: F`(s)] 가 존재한다면  [eqn: lim from { s -> inf } hat L `(f`) `=` lim from { s -> inf } F`(s) `=` 0]

† [eqn: F`(s)] 가 정의되는 [eqn: s] 의 하한값 (lower bound)은 특정한 값을 가지지 않고

경우에 따라 다르다

조건 ③에서, 적당한 [eqn: M ~>~ 0] 에 대해 [eqn: e^{- beta t }` left | f`(t) `right | ~<=~ M]  → [eqn: left | f`(t) `right | ~<=~ M` e^{beta t}]  이고,

따라서 라플라스 변환은

[eqn: left | hat L`(f`) `right | &=~ left | int_{0}^{inf} e^{-st}f`(t)`dt `right | ~<=~ int_{0}^{inf} e^{-st}` left | f`(t) `right |`dt ##&<=~ int _{0}^{inf} e^{-st} `M`e^{beta t}`dt ~=~ M over { s `-` beta }] 과 같이 [eqn: s ~>~ beta] 인 구간에서 존재

※ 함수 [eqn: f`(t)] 가 주어진 구간 [eqn: [ a`,`b ]] 에서 유한한 개수의 각 부분구간에서 연속이고      [eqn: left | f`(t`) `right | ~<~ inf] 이면 부분연속 (piecewise continuous) 이라고 한다

□ 라플라스 변환의 선형성

[eqn: L left { a f``(t) + b g(t) right } = a L left { f``(t) right } + b L left { g(t) right }]

◎ Ex 3.	[eqn: f`(t) = cosh at = 1 over 2 ( e^at + e^-at` )].	[eqn: F(s) = ?]

[eqn: L(e^at ) = int from 0 to INF e^-st e^at dt = 1 over s-a],	,	[eqn: L(e^-at ) = int from 0 to INF e^-st e^-at dt = 1 over s+a]

[eqn: L(f ) = 1 over 2 left [ L ( e^at ) + L( e^-at ) right ] = 1 over 2 left ( 1 over s-a + 1 over s+a right ) = a over {s^2 - a^2 }]

□ 제 1 이동 정리(Fisrt shifting theorem)

[eqn: f`(t)]  가 라플라스 변환  [eqn: F(s)]    (여기서, [eqn: s>k]) 를 갖는다면 [eqn: e^at f`(t)]는 라플라스 변환은

[eqn: F(s-a)]    (여기서, [eqn: s-a>k]   )를 갖는다. 즉,

[eqn: L left { f``(t) right } = F(s) ~~ -> ~~ L left { e^at f``(t) right } = F(s-a)]

[eqn: -> ~~ e^at f``(t) = L^-1 left { F(s-a) right }]

◎ Ex 4.	[eqn: L (cos omega t ) = s over { (s^2 + omega^2 )} ~~->~~L(e^at cos omega t ) = (s-a) over { (s-a)^2 + omega^2 }]

[eqn: L (sin omega t ) = omega over { (s^2 + omega^2 )} ~~->~~L(e^at sin omega t ) = omega over { (s-a)^2 + omega^2 }]

※ Problem Set 1.1: 3, 6, 11, 21

5.2  Derivatives and Integrals

□ 미적분 연산의 라플라스 변환

∀ 라플라스 변환에 의하여 미적분방정식을 대수방정식으로 변환하여 계산하고

이를 역변환하여 해를 구함

- [eqn: f`(t)] 의 도함수의 라플라스 변환:  [eqn: L (f``') = s L (f``) - f ``(0)]

<증명>

[eqn: L (f``') = int from 0 to INF e^-st f ``' dt],	[eqn: ( e^-st f `` ) ' = e^-st f``' - s e^-st f ``]

[eqn: int from 0 to INF e^-st f ``' dt = [ e^-st f(t) ] RIGHT |_0^INF + s int from 0 to INF e^-st f(t) = lim from t->INF f(t) over e^st - f(0) + s L(f``)]

- 2계 도함수의 라플라스 변환:

[eqn: L (f``'') = s L (f``') - f ``'(0) = s [ s L(f``) - f``(0) ] - f``'(0)]

[eqn: L (f``'') = s^2 L(f``) - s f``(0) - f``'(0)]

- n계 도함수의 라플라스 변환:[eqn: L (f``^(n) ) = s^n L(f``) - s^n-1 f``(0) - s^n-2 f``'(0) - CDOTS - f``^(n-1) (0)]

- 만약 라플라스 변환 [eqn: F`(s)] 가 존재한다면 [eqn: lim from { s -> inf } hat L `(f`) `=` lim from { s -> inf } F`(s) `=` 0]

- 미적분에서의 라플라스 변환의 성질을 이용하면 다음과 같은, 함수의 초기값을

구할 때 긴요한 역할을 하는 관계를 얻을 수 있다.

[eqn: lim from { s -> inf } hat L `( f^prime `) `=` 0 `=` lim from { s -> inf } [ s` hat L `(f`) `-` f`(0) `]]

[eqn: therefore ~~ lim from { s -> inf } `` s` hat L`(f`) `=` lim from { s -> inf } ``s`F`(s`) `=` f`(0)]

□ 미분방정식 (초기 값 문제)

[eqn: y '' + a y' + by = r(t), ~~ y(0) = K_0 , ~~y'(0) = K_1]

- Step 1: 라플라스 변환을 통하여 보조방정식을 구한다.

[eqn: L (y'') = s^2 L (y ) - s y(0) - y'(0) = s^2 Y(s) - sy (0) - y'(0)]	[[eqn: Y(s) = L (y)]   ]

[eqn: L (ay') = a [ s L (y ) - y(0) ] = as Y(s) - a y(0)]

[eqn: [ s^2 Y - s y(0) - y'(0) ] + a [ s Y - y(0) ] + bY = R(s)]               subsidiary equation

[eqn: s^2 Y + a s Y + bY = ( s+a) y(0) + y'(0) + R(s)]	(4)

- Step 2: 보조방정식을 대수적으로 푼다.

[eqn: Q(s) = 1 over { s^2 + a s + b }]	: transfer equation	(5)

[eqn: Y(s) = [ (s+a) y(0) + y'(0) ] Q(s) + R(s) Q(s)]	(6)

※ Note 1.

(6)식에 나타난 [eqn: [ (s+a) y(0) + y'(0) ] Q(s)]        는 초기조건에 의해 적분상수가 결정된 [eqn: y_h] 의 변환 에 해당하는 [eqn: R(s) Q(s)]    는 외부적인 입력조건(외력)에 의한 응답특성을 나타내는 특수해 [eqn: y_p]  의 변환에 해당한다.

※ Note 2.

(5)식의 전달함수는 시스템이 초기 조건과 입력조건에 대하여 어떤 응답을 하는지를 결정하는 시스템의 특성 요소로서 Feedback 제어에서 매우 중요한 인자

- Step 3: 구해진 [eqn: Y(s)]  를 역변환하여 미분방정식의 해 [eqn: y(t)]  를 구한다.

[eqn: y(t) = L^-1 left { Y(s) right }]	(7)

◎ Ex 5.	[eqn: y'' - y = t , ~~ y(0) = 1, ~ y'(0) = 1]       . [eqn: F(s) = ?]

보조방정식:	[eqn: L ( y'') = s^2 Y - sy(0) - y'(0) = s^2 y - s -1]          ,[eqn: L ( t) = 1 / s^2]

[eqn: (s^2 -1 ) Y = s + 1 + 1/s^2]

대수해

[eqn: Y = {s + 1} over { s^2 -1 }+ 1 over { (s^2 -1) s^2 }]	[eqn: = 1 over { s -1 }+ left { 1 over {s^2 -1} - 1 over s^2 right }]

역변환

[eqn: y(t) = L^-1 left { 1 over { s -1 }+ 1 over {s^2 -1} - 1 over s^2 right } = e^t + sinh t - t]

◎ Ex 6.	[eqn: y'' +2y + y = e^-t , ~~ y(0) = -1, ~ y'(0) = 1].          [eqn: F(s) = ?]

보조방정식:  [eqn: L( y'') = [ s^2 Y - sy(0) - y'(0) ], ~~ L(y') = sY - y(0)]             , [eqn: L ( e^-t ) = 1 / (s+1)]

[eqn: (s^2 +2s+1) Y = -(s+1) + 1 over (s+1)]

대수해

[eqn: Y = - 1 over {s + 1} + 1 over { (s+1)^3 }]

역변환	[eqn: y(t) = ( -1 + 1 over 2 t`^2 `)`` e^-t]

□ 함수의 적분의 라플라스 변환

[eqn: y '' + a y' + by = r(t), ~~ y(0) = K_0 , ~~y'(0) = K_1]

- [eqn: f`(t)]  의 적분의 라플라스 변환

[eqn: F`(s)]  가 [eqn: f`(t)]  의 라플라스 변환이고 [eqn: f``(t)]  가 구분적으로 연속이고 어떤 [eqn: k, ~M]  에 대해 [eqn: | f`(t) | <= M e^kt]     이면

[eqn: L left { int from 0 to t f`(tau ) d tau right } = 1 over s F(s)]	(8)

[eqn: int from 0 to t f`(tau ) d tau = L^-1 { 1 over s F(s) }]	(9)

(증명)    [eqn: g(t) = int from 0 to t f``(t) dt`],	[eqn: g(0) = int from 0 to 0 f``(t) dt = 0]

[eqn: L left { g ' (t) right } = s G(s) - g(0) = s G(s)]

[eqn: L left { g ' (t) right } = L left { f``(t) right } = F(s)]

[eqn: L left { g (t) right } = G(s) = 1 over s F(s)]

◎ Ex 7.	이동된 데이터의 문제

[eqn: y'' + y = 2t , ~~ y`( 1 over 4 pi ) = 1 over 2 pi , ~~ y'( 1 over 4 pi ) = 2 - sqrt 2]

[eqn: tilde y `(x) = y(t)]   ,[eqn: t = x + 1 over 4 pi, ~~ t= 1 over pi ~-> ~x = 0]        [eqn: tilde y '' + tilde y = 2 ( x + 1 over 4 pi)]

보조방정식	[eqn: s^2 tilde Y - s tilde y (0) - tilde y `' (0) + tilde Y = 2 over s^2 + pi/2 over s]

대수해	[eqn: tilde Y = 2 over { (s^2 + 1 ) s^2 } + pi/2 over { s (s^2 +1 ) } + pi/2 s over {s^2 + 1} + {2-sqrt 2 } over { s^2 +1}]

역변환	[eqn: tilde y = 2 ( x - sin x ) + 1 over 2 pi ( 1 - cos x ) + 1 over 2 pi cos x + (2 - sqrt 2 ) sin x]

[eqn: y = 2 ( x + 1 over 4 pi ) - sqrt 2 sin x = 2t - sqrt 2 sin ( t + 1 over 4 pi)]

[eqn: sqrt 2 sin ( t - 1 over 4 pi) = sqrt 2 [ sin t cos 1 over 4 pi - sin 1 over 4 pi cos t ] = sin t - cos t]

[eqn: y = 2 t - sin t + cos t]

※ Problem Set 1.1: 3, 5, 9, 12

5.3 Unit Step, Delta Functions

□ 단위계단함수의 라플라스 변환

- 단위계단함수 [eqn: u`(t-a)]  의 라플라스 변환

[eqn: u``(t-a) = cases {0 ~~~t<a # 1 ~~~ t>=a }]	(1)

[eqn: L left { u``(t-a) right } = int from 0 to INF e^-st u` (t-a) dt]

[eqn: = int from 0 to a e^-st 0 dt + int from a to INF e^-st 1 dt = - 1 over s e^-st`` RIGHT | _a^INF = e^-as over s]

∀ 기하학적인 평행이동을 수식으로 표현

- 이동된 함수(shifted function)의 라플라스 변환 (제2 이동정리)

함수 [eqn: f``(t)]  의 라플라스 변환이 [eqn: F(s)]  이면 이동된 함수 [eqn: tilde f ``(t)]

[eqn: tilde f (t) = f``(t-a) u(t-a) = cases {0 ~~~&t<a # f``(t-a) ~~~ &t>=a }]	(2)

의 라플라스 변환은

[eqn: L left { f``(t-a) u(t-a) right } = e^-as F(s)]	(3)

[eqn: f``(t-a) u(t-a) = L^-1 left { e^-as F(s) right }]	(4)

(증명)	[eqn: e^-as F(s) = e^-as int from 0 to INF e^{-s tau} f``(tau) d tau = int from 0 to INF e^{ -a (tau + a)} f``(tau) d tau]

[eqn: tau + a = t ~ -> ~tau = t-a, ~ d tau = dt, ~~~~ tau=0 ~-> ~t=a]

[eqn: e^-as F(s) = int from a to INF e^-st f ``(t-a) dt = int from 0 to INF e^-st f``(t-a) u(t-a) dt]

◎ Ex 8.	단위계단함수의 이용

[eqn: f``(t) = CASES { 2 ~~~& (0<t<pi) # 0 ~~~& (pi<t<2pi) # sin t ~~~& (t>2 pi) }],     [eqn: F(s) = ?]

[eqn: f``(t) &= 2 u`(t) - 2 u`(t- pi) + u`(t-2 pi) sin t # &= 2u`(t) - 2 u`(t- pi) + u`(t-2 pi) sin (t - 2pi)]

[eqn: F(s) = 2 over s - 2e^{-pi s } over s + e^{-2 pi s } over {s^2 + 1}]

◎ Ex 9.	역변환의 이용

[eqn: F(s) = 2 over s^2 - 2e^-2s over s^2 - 4e^-2s over s + se^{- pi s}]

[eqn: L^-1 ( 1 over s^2 ) =t , ~~L^-1 ( e^-2s over s^2 ) = (t-2)u`(t-2)]

[eqn: L^-1 ( e^-2s over s ) = u``(t-2) , ~~L^-1 ( e^-pis s over {s^2 +1} ) = cos (t- pi ) u`(u-pi)]

[eqn: f``(t) = 2t - 2t ``u`(t-2) - cos t ``u``(t-pi)]

[eqn: f``(t) = CASES { 2t ~~~~& (0<t<t ) # 0 ~~~~& ( 2<t<pi) # - cos t ~~~~& (t>pi ) }]

□ Dirac 델타함수의 라플라스 변환

- Dirac Delta fuction (단위충격함수)

[eqn: f_k``(t-a) = cases {1/k ~~~&a<=t<=a+k # 0 ~~~ &otherwise }]

[eqn: I_k = int from 0 to INF f_k (t-a) dt = int from a to a+k 1 over k dt = 1]

[eqn: delta (t-a) = lim from k->0 f_k (t-a) = CASES { INF ~~~~ &t=a # 0 ~~~~& t neq a }],              [eqn: int from 0 to INF delta (t-a) dt = 1]

- 라플라스 변환

[eqn: f_k``(t-a) = 1 over k [ u(t-a) - u(t-a-k) ]]

[eqn: L left { f_k``(t-a) right } = 1 over ks [ e^-as - e^{ - (a+k) s } ] = e^-as ``{ 1- e^-ks} over ks]

[eqn: L left { delta(t-a) right } = lim from k->0 e^-as ``{ 1- e^-ks} over ks = e^-as]

◎ Ex 10.	[eqn: y'' + 3y ' + 2 y = r(t), ~~ y(0)=0, ~y'(0) = 0, ~r(t) = delta(t-1)],

[eqn: s^2 Y + 3s Y + 2 Y = e^-s , ~~~ RARROW ~~~ Y = F(s) e^-s]

[eqn: F(s) = 1 over {(s+2)(s+1)} = 1 over s+1 - 1 over s+2]

[eqn: f``(t) = L^-1 ( F ) = e^-t - e^-2t]

[eqn: y(t) = L^-1 ( Fe^-s ``) = f`(t-1) u `(t-1)]

[eqn: y``(t) = CASES { 0 ~~~ & (0<= t<1) # e^-(t-1) - e^-2(t-1) ~~~& (t>1) }]

※ Problem Set 1.1: 5, 31, 32, 36

5.4 Differentation and Integration

□  변환의 미분

[eqn: F(s) = L(f) = int from 0 to INF e^-st f``(t)``dt]

[eqn: F' (s) = dF over ds = - int from 0 to INF e^-st t `f``(t)``dt]

[eqn: L left { t ` f``(t) right } = - F ``']       or     [eqn: L ^-1 left { F``'(s) right } = t `f``(t)]

□  변환의 적분

[eqn: L left { {f``(t)} over t right } = int from s to INF F( tilde s ) d tilde s],    [eqn: L^-1 left { int from s to INF F( tilde s ) d tilde s `` right } = {f``(t)} over t]

(증명)	[eqn: int from s to INF F( tilde s ) d tilde s = int from s to INF left [ int from 0 to INF e^{- {tilde s} t} f ``(t) dt ```right ] ```d tilde s]

[eqn: = int from 0 to INF left [ int from s to INF f ``(t) `e^{- {tilde s} t} d tilde s ```right ] ```dt = int from 0 to INF f ``(t) left [ int from s to INF e^{- {tilde s} t} d tilde s ```right ] ```dt]

[eqn: int from s to INF e^{- {tilde s} t} d tilde s = - 1 over t left [ e^{- {tilde s } t } right ] _s ^INF = e^{- { s } t}]

[eqn: int from s to INF F( tilde s ) d tilde s = int from 0 to INF e^{- s t} {f ``(t) } over t dt]

◎ Ex 11.	[eqn: F(s) = ln left ( 1 + omega^2 over s^2 right ), ~~~f``(t) = ?],

자연 로그형태는 역변환이 안되므로 미분을 하여 이를 없애는 방법을 고려

[eqn: G(s) = F`'(s) = 1 over { 1 + omega^2 / s^2 } dot (-2) omega^2 over s^3 = - { 2 omega^2 } over { s ( s^2 + omega^2 ) } = - 2 over s + 2s over { s^2 +omega^2 }]

[eqn: g(t) = L^-1 left { G(s) right } = -2 + 2 cos omega t]

[eqn: g(t) = L^-1 left { G(s) right } = L^-1 left { F`(s) right } = g(t) = - t f``(t)]

[eqn: f``(t) = 2 over t ( 1 - cos omega t )]

◎ Ex 12

◎ Ex 13

※ Problem Set 1.1: 1, 5, 9, 17

5.5 Convolution

□ 합성곱의 정의

- 함수의 합성곱 ( convolution ) 또는 대합

[eqn: ( f * g ) (t) &=` f(t) * g(t) ##&=` int_{0}^{t} f(t-tau)` g(tau)` d tau `=` int_{0}^{t} f(tau)` g(t-tau)` d tau]

- 디랙 델타함수 [eqn: delta (t)] 는 합성곱의 항등원이다

[eqn: int_{0}^{t} delta ( t-tau )` f(tau)`d tau `=` f(t)] 이므로     [eqn: therefore ~~ delta * f `=` f * delta `=` f]

※ 따라서, [eqn: 1 * f `!=` f] 임에 주의

□ 디랙 델타함수 ( Dirac delta function )

정의

[eqn: delta_a (t) `=` pmatrix { { 1over a ~,}& { ~~( 0 ~<~ t ~<~ a `)~~ }## { 0 ~,}& { ~~( a ~<~ t `)~~ } }]

∀ [eqn: a ~->~ 0] 일 때의 극한값 정의 : [eqn: lim from { a -> 0 } `delta_a (t) `=` delta (t)]

단위 계단함수를 이용하면 [eqn: delta_a (t)] 는 다음과 같다

[eqn: delta_a (t) `=` 1 over a `[ H(t) `-` H(t-a) ]]

이를 이용하면 디랙 델타함수의 라플라스 변환은 다음과 같다

[eqn: hat L `[ delta (t) ] &=` lim from { a -> o } hat L `[ delta_a (t) ] ##&=` lim from { a -> 0 } 1 over a `( 1 over s `-` { e^{-as}} over s ) `=` lim from { a -> 0 } { 1 `-` e^{-as} } over { as } ##&=` 1]

† 엄밀한 의미에서 [eqn: delta (t)]는 함수가 아니며([eqn: delta (0) = inf]), 보통 특수함수처럼 취급

□  합성곱의 성질

교환법칙	[eqn: f` * g = g * f]

배분법칙	[eqn: f` * (g_1 + g_2 ) = f`*g_1 + f`* g_2]

결합법칙	[eqn: ( f` * g )* h = f` *( g*h )]

[eqn: f` * 1 ``neq `` f`]

[eqn: f` * f ``>= `` f`]   is not true (not positive definite)

□ 합성곱의 라플라스 변환을 증명 ([eqn: hat L `[ f*g ] `=` hat L (f)` hat L (g)])

[eqn: hat L `[ f*g ] &=` hat L `[ int_{0}^{t} f(tau) `g(t-tau) `d tau ] ##&=` hat L `[ int_{0}^{inf} H(t-tau)`f(tau)`g(t-tau)`d tau ] ##&=` int_{0}^{inf} [ int_{0}^{inf} H(t-tau)`f(tau)`g(t-tau)`d tau `] e^{-st}`dt ##&=` int_{0}^{inf} f(tau)` [ int_{0}^{inf} H(t-tau)`g(t-tau) e^{-st} `dt` ]` d tau ##&=` int_{0}^{inf} f(tau)` "{" hat L`[ H(t-tau)`g(t-tau) ] `"}"` d tau ##&=` int_{0}^{inf} f(tau) e^{-s tau} G(s) d tau ##&=` ( int_{0}^{inf} f(tau) e^{-s tau} d tau ) G(s) ##&=` F(s) `G(s)]

◎ Ex 12.	[eqn: H(s) = 1 over { (s^2 +1)^ 2 } ~~~ Rarrow ~~~h(t) =?],

[eqn: H(s) = 1 over { (s^2 +1)^ 2 } = 1 over { s^2 +1 } 1over { s^2 +1 } = F(s) G(s)],              [eqn: f``(t) = g(t) = sin t]

[eqn: h(t) = f`(t) * g(t) = int from 0 to t sin (tau ) * sin (t - tau ) d tau]

[eqn: sin (tau ) * sin (t - tau ) = 1 over 2 [ - cos t + cos (2 tau - t ) ]]

[eqn: h(t) = 1 over 2 int from 0 to t [ - cos t + cos (2 tau - t ) ] d tau = - 1 over 2 t cos t + 1 over 2 sin t]

◎ Ex 13.	[eqn: H(s) = 1 over { s^2 (s-a ) } ~~~ Rarrow ~~~h(t) =?],

[eqn: H(s) = = 1 over { s^2 } 1 over { s -a } = F(s) G(s)]      ,    [eqn: f``(t) = t , ~~g(t) = e^at]

[eqn: h(t) = f`(t) * g(t) = int from 0 to tau e^{ a(t- tau )} d tau = e^at int from 0 to t tau e^{- a tau } d tau = 1 over a^2 (e^at - at -1 )]

※ Problem Set 1.1: 5, 9, 21, 38

5.6 Partial Fraction

□ 미분방정식의 해

- 보조방정식

[eqn: Y(s) = F(s) over G(s)]	(1)

여기서 G(s)를 곱의 형태로 전개하였을 때의 인자를 구하여 해를 쉽게 찾을 수 있다.

† Case I. 단순인자인 경우 : [eqn: G(s) = s-a]

◎ Ex 14.	[eqn: y'' + y' - 6y = 1, ~~y(0) = 0, ~y'(0) = 1]

보조방정식      [eqn: s^2 Y - s y(0) - y'(0) + s Y - y(0) - 6 Y = 1 over s]

[eqn: (s^2 + s - 6) Y = 1 + 1 over s]

[eqn: Y(s) = { s+1 } over { s ( s-2 ) (s+3) } = A_1 over s + A_2 over s-2 + A_3 over s+3]

[eqn: A_1 , ~ A_2 , ~ A_3 =?]

[eqn: { s+1 } = A_1 ( s-2 ) (s+3) + A_2 s ( s+3 ) + A_3 s ( s-2 )]

[eqn: s= 0 ~-> ~ 1 = A_1 (-2 ) (3) , ~~A_1 = - 1/6]

[eqn: s=2 ~-> ~ 3 = A_2 cdot 2 cdot 5 , ~~A_2 = 3/10]

[eqn: s=-3 ~-> ~ -2 = A_3 (-3) (-5 ) ,~~A3 = -2/15]

해	[eqn: y(t) = - 1 over 6 + 3 over 10 e^2t - 2 over 15 e^-3t]

∀ Case II. 다중인자인 경우 : [eqn: G(s) = (s-a)^m]     (다중근에 해당)

e.g.) [eqn: G(s) = (s-a)^3 ~~~Rarrow ~~~ 1 over (s-a), ~ 1 over (s-a)^2 , ~1 over (s-a)^3 으로~ 전개]

◎ Ex 15.	[eqn: y'' -3 y' + 2 y = 4t, ~~y(0) = 1, ~y'(0) = -1]

보조방정식      [eqn: s^2 Y - s y(0) - y'(0) -3 s Y +3 y(0) - 6 Y = 4 over s^2]

[eqn: (s^2 -3 s +2) Y = 4 over s^2 + s -4 = { 4 - s^3 - 4s^2 } over s^2]

[eqn: Y = { 4 + s^3 - 4s^2 } over { s^2 (s-1) (s-2) } = A_1 over s^2 + A_2 over s + A_3 over s-1 + A_4 over s-2]

[eqn: A_1 , ~ A_2 , ~ A_3 , ~A_4 =?]

[eqn: 4 + s^3 - 4s^2 = A_1 (s-1) (s-2) + A_2 s (s-1) (s-2) + A_3 s^2 (s-2) + A_4 s^2 (s-1)]

[eqn: s= 1 ~->~ 1 = + A_3 (1) (-1), ~~ A_3 = - 1]

[eqn: s=2 ~-> ~ -4 = + A_4 cdot 4 cdot 1 , ~~ A_4 =-1]

[eqn: s =0 ~->~ 4 = A_1 (-1) (-2) , ~~A_1 = 2]

양변을 미분

[eqn: 2s^2 - 8s = A_1 (2s -3) + A_2 (s-1) (s-2) + s ( k(s) )]

[eqn: s=0 ~->~ 0 = A_1 (-3) + A_2 (-1) (-2) = -6 + 2 A_2, ~~ A_2 = 3]

[eqn: y(t) = 2 t + 3 - e^2t - e^t]

∀ Case III. 단순복소인자 : [eqn: G(s) = (s- a ) ( a - bar a )]      (복소수근)

([eqn: a = alpha + i beta ,~~ bar a = alpha - i beta]     인 경우 )

e.g.) [eqn: As+B over { (s-a) (s- bar a ) } ~~~ or ~~~As+B over { (s-alpha )^2 + beta^2 } ~ 로~ 전개]

∀ Case IV. 다중복소인자 : [eqn: G(s) = [ (s- a ) ( a - bar a ) ]^2]      (복소수근)

e.g.) [eqn: As+B over { [(s-a) (s- bar a )]^2 } + As+B over { (s-a) (s- bar a ) } ~ 로~ 전개]

◎ Ex 16

※ Problem Set 1.1: 9, 13, 19, 20