4장. 복소수

IT 전공자를 위한 기초수학

4

4.1 복소수의 정의

4.2 복소평면

4.3 복소수의 극형식

4.1

복소수의 정의

4.1.1 복소수의 정의

허수(imaginary number): 제곱해서 음수가 되는 수

- 허수단위 = [eqn: i] = [eqn: sqrt {-1}]  ([eqn: `i ^{2} =`-1])

복소수(complex number): [eqn: a+bi] (실수 [eqn: a]를 실수부, 실수 [eqn: b]를 허수부라고 함)

복소수 전체의 집합은 [eqn: C]로 나타내며, 다음과 같이 정의한다.

[eqn: C```=] { [eqn: a+bi] [eqn: |a,``b IN R,```i ^{2} =`-1] }

또한

[eqn: a`+`bi``=` cases{eqalign{``b``=`0`이면~실수## a` != `0,`b`` != `0`이면~순허수가~아닌~허수`}## a``=`0,`b`` != `0`이면~순허수}]

켤레복소수(conjugate complex number): 임의의 복소수 [eqn: z=a+bi]의 켤레복소수는 [eqn: bar{z}]로 표시하며, [eqn: bar{z} `= bar{a+bi} `=`a-bi]로 정의한다.

예제 4.1

다음에서 실수, 허수, 순허수를 찾아라.

[eqn: 7,```- sqrt {2} +5i,``` {1} over {4} -9i,```-8i, ```pi]

풀이

[eqn: 7] : 실수,     [eqn: - sqrt {2} +5i]  : 허수,    [eqn: {1} over {4} -9i] : 허수,    [eqn: -8i] : 순허수,    [eqn: pi] : 실수

- 복소수의 성질

(1) 허수단위 [eqn: i]는 문자와 같이 취급하고, [eqn: i ^{2} =-1,~i ^{4} =1]로 계산된다.

(2) 두 복소수가 서로 같다는 것은 두 복소수의 실수부와 허수부가 각각 서로 같은 경우를 말한다. ([eqn: a+bi`=`c+di````LRARROW ````a=c,```b=d``(a,``b,``c,``d는`실수)`])

(3) 복소수에서는 대소 관계를 고려하지 않는다. (예를 들면 [eqn: -i]는 음수가 아니다.)
복소수는 [eqn: -i] 처럼 마이너스 부호를 붙여도 음수가 되지 않고, 실수처럼 대소를 비교할 수 없다.

(4) [eqn: z]가 실수인 경우 [eqn: z= bar{z}], [eqn: z]가 순허수인 경우 [eqn: bar{z} =-z`(단,`z` != 0)]가 성립한다.

(5) 켤레복소수의 성질 : 두 복소수 [eqn: z _{1}], [eqn: z _{2}]에 대하여 다음의 성질이 성립한다.

① [eqn: bar{LEFT ( bar{z _{1}} RIGHT )} =z _{1}]	②[eqn: bar{z _{1} ±z _{2}} = bar{z _{1}} ± bar{z _{2}}]

③ [eqn: bar{z _{1} BULLET z _{2}} = bar{z _{1}} BULLET bar{z _{2}}]	④ [eqn: bar{LEFT ( {z _{1}} over {z _{2}} RIGHT )} = {bar{z _{1}}} over {bar{z _{2}}} `(z _{2} != 0)]

⑤ [eqn: bar{z ^{n}} = bar{zz CDOTS z} = bar{z} bar{z} CDOTS bar{z} = LEFT ( bar{z} RIGHT ) ^{n}]

⑥ 복소수와 그 켤레복소수의 합과 곱은 실수이다.

예제 4.2

다음 등식을 만족하는 실수 [eqn: x]와 [eqn: y]를 구하여라.

[eqn: (x+45)+98i=39+(34+y)i]

풀이

[eqn: x+45`=`39]

[eqn: 34+y`=`98]

[eqn: THEREFORE ``x`=`-6,~y`=`64]

예제 4.3

[eqn: 2 sqrt {-2} `-`4 sqrt {-8} ``]을 계산하여라.

풀이

[eqn: 2 sqrt {-2} -4 sqrt {-8} ``=``2 sqrt {2} i-4 sqrt {8} i``=``2 sqrt {2} i-8 sqrt {2} i ~````=``-6 sqrt {2} ``i]

예제 4.4

[eqn: i+2i ^{2} +3i ^{3} + CDOTS +28i ^{28}]을 간단히 하여라.

풀이

[eqn: i=i,````i ^{2} =-1,````i ^{3} =-i,````i ^{4} =1]의 형식으로 [eqn: i,```-1,```-i,```1]이 반복된다.

[eqn: i ~~-2 ~~-3i ~~4]

[eqn: 5i ~~-6 ~~-7i ~~8]

[eqn: cdots]

첫 번째 수와 세 번째 수의 차는 [eqn: -2i],

두 번째 수와 네 번째 수의 차는 [eqn: 2]이므로,

[eqn: (-2i) TIMES 7 +2 TIMES 7] [eqn: =~14-14i]

예제 4.5

[eqn: 1+i+i ^{2} +i ^{3} + {1} over {i} + {1} over {i ^{2}} + {1} over {i ^{3}} + {1} over {i ^{4}}]을 간단히 하여라.

풀이

[eqn: i ^{2} =-1]이므로,

[eqn: =1+i+(-1)+(-i)+{1 over i}+(-1)+left (-{1 over i} right )+1=0]

예제 4.6

[eqn: alpha =－2＋i,```` beta =1－2i]일 때 [eqn: alpha bar{alpha } + bar{alpha } beta + alpha bar{beta } + bar{beta } beta]의 값은?

풀이

[eqn: alpha bar{alpha } + bar{alpha } beta + alpha bar{beta } + bar{beta } beta ``` & =` bar{alpha } ( alpha + beta )+ bar{beta } ( alpha + beta )# # & =`( alpha + beta )( bar{alpha } + bar{beta } )# # & =`( alpha + beta )( bar{alpha + beta } )```( BECAUSE ` bar{alpha } ± bar{beta } `=` bar{alpha ± beta } `)]

[eqn: alpha + beta ``=`-2+i+1-2i`=`-1-i# # bar{alpha + beta } `=`-1+i# # THEREFORE `( alpha + beta )( bar{alpha + beta } )``=`(-1-i)(-1+i)``=2`]

예제 4.7

복소수와 [eqn: z]와 그 켤레복소수 [eqn: bar{z}]에 대해서 [eqn: z+ bar{z} =2], [eqn: z BULLET bar{z} =4]일 때 [eqn: LEFT ( z- bar{z} RIGHT ) ^{2}]의 값은 얼마인가?

풀이

[eqn: (`z- bar{z} `) ^{2} `&=`z ^{2} -2z cdot bar{z} +( bar{z} ) ^{2} =z ^{2} +( bar{z} ) ^{2} -2z cdot bar{z}# # &=`(`z+ bar{z} ) ^{2} -2z cdot bar{z} -2z BULLET bar{z}]

[eqn: ~````~~~~~~ & =`(`z+ bar{z} ) ^{2} -4z CDOT bar{z}# # & =`2 ^{2} -4 CDOT 4# # & =-12`]

예제 4.8

복소수 [eqn: z,``w] 에 대해서 다음이 성립함을 보여라.

(1) [eqn: bar{z+w} = bar{z} + bar{w}`,~ bar{zw} = bar{z} cdot bar{w}]

(2) [eqn: z` IN `R````` LRARROW ````z= bar{z}]

풀이

[eqn: z=a+bi,w=c+di]라 하자.

(1) [eqn: bar{z+w} ``=`` bar{a+bi+c+di} ``= bar{(a+c)+(b+d)i} =``(a+c)-(b+d)i=` bar{z} ``+`` bar{w}]
[eqn: bar{zw} ``=(ac-bd)-(ad+bc)i=(a-bi)(c-di)= bar{z} CDOT bar{w}]

(2) [eqn: z` IN R``` LRARROW ``b=0`` LRARROW ``z`= bar{z} `=a]

4.1.2 복소수의 연산

[eqn: a,``b,``c,``d]가 임의의 실수일 때,

① [eqn: (a+bi)``+``(c+di)``=``(a+c)``+``(b+d)i]

② [eqn: (a+bi)``-``(c+di)``=``(a-c)``+``(b-d)i]

③ [eqn: (a+bi)(c+di)``=``(ac`-`bd)``+``(ad`+`bc)i]

④ [eqn: pile{a+bi#bar{c+di}} ``=`` pile{(a+bi)`(c-di)#bar{(c+di)`(c-di)} ``} ``=` pile{ac`+`bd#bar{c ^{2} +d ^{2}}} `+` pile{bc`-`ad#bar{c ^{2} `+`d ^{2}}} ``i``(단,`c+di` != 0`)]

cf. 분모의 켤레복소수를 분모와 분자에 곱해주어, 분모를 실수로 만드는 것을 실수화라 함

⑤ 항등원
☞ 덧셈에 대한 항등원   [eqn: z _{1} `+0=0+z _{1} =z _{1,~~~} 0 IN C]
☞ 곱셈에 대한 항등원   [eqn: z _{1} cdot 1=1 cdot z _{1} =z _{1,~~~~~} 1 IN C]

⑥ 역원
☞ 덧셈에 대한 역원     [eqn: z _{1} `+(-z _{1} )=(-z _{1} )+z _{1} =0,~~~-z _{1} IN C]
☞ 곱셈에 대한 역원     [eqn: z _1 cdot {1} over {z _{1}} = {1} over {z _{1}} cdot z _{1} =1,~~~ {1} over {z _{1}} IN C``(단,``z _{1} != 0)]

예제 4.9

다음을 계산하여 [eqn: a+b`i``(a,``b``]는 실수[eqn: )]의 꼴로 나타내어라.

(1) [eqn: (2+4i`)+(3+5i`)]	(2) [eqn: (3+2i`)-(4+i`)]

(3) [eqn: (2+3i`)(1-i`)]	(4) [eqn: {1+2i} over {2+i}]

풀이

(1) [eqn: 5+9i]	(2) [eqn: -1+i]          (3) [eqn: 2-2i+3i+3=5+i]

(4) 분모의 실수화를 이용한다. [eqn: {(1+2i)(2-i)} over {(2+i)(2-i)} `= {4`+3i} over {5}]

예제 4.10

복소수 [eqn: z=2+5i,```w=3-2i]에 대하여 [eqn: z+w,```z-w,```3z,```zw`]을 각각 구하여라.

풀이

[eqn: z+w`=`(2+5i)+(3-2i)=(2+3)+(5-2)i=5+3i# # z-w=(2-3)+(5+2)i=`-1+7i# # 3z=6+15i# # zw=(2 cdot 3-5 cdot (-2))+(2 cdot (-2)+5 cdot 3)i=16+11i]

예제 4.11

[eqn: {1-i} over {2+i} + {2-i} over {1+i}]를 [eqn: a+bi]로 고쳤을 때, [eqn: a+b]의 값은?

풀이

[eqn: ` {(1-i)(2-i)} over {(2+i)(2-i)} ``+`` {(2-i)(1-i)} over {(1+i)(1-i)} ```&=` {(1-3i)} over {5} ````+`` {(1-3i)} over {2}# `# &=`` {2(1-3i)`+`5(1-3i)} over {10} ## &=` {2-6i+5-15i} over {10}## &=` {7-21i} over {10}]

따라서, [eqn: a+b`` ={7} over {10} - {21} over {10} ``=``- {14} over {10} ``=`- {7} over {5} `]

예제 4.12

실수 [eqn: a,``b``]에 대하여 다음 등식을 성립시키는 복소수 [eqn: z]를 구하여라.

[eqn: (a+bi`)z=1~(단,~a+bi != 0)]

풀이

[eqn: a+bi != 0]이라 했으므로, [eqn: z``=`` {1} over {a+bi}]이라 할 수 있다.

[eqn: {a-bi} over {(a+bi)(a-bi)} ``=`` {a-bi} over {a ^{2} `+b ^{2}}]이다.

예제 4.13

다음 복소수의 덧셈과 곱셈에 대한 역원을 각각 구하여라.

(1) [eqn: 1+2i]	(2) [eqn: sqrt {3} `-i]

(3) [eqn: {5+ sqrt {3} i} over {2}]	(4) [eqn: {2+i} over {2-i}]

풀이

(1) [eqn: 1+2i=z _{1}] 라 놓고, 덧셈에 대한 역원은 원래 값과 더한 결과가 항등원 값과 같으면 되므로, [eqn: z _{1} +z _{2} =0]인 [eqn: z _{2}]의 값은 [eqn: -z _{1}]이다. 따라서 덧셈에 대한 역원은 [eqn: -1-2i]이다.

곱셈에 대한 역원은 원래 값과 곱한 결과가 항등원 값과 같으면 되므로, [eqn: z _{1} TIMES z _{3} =1]

인 [eqn: z _{3}]의 값은 [eqn: {1} over {z _{1}}]이므로, [eqn: {1} over {1+2i} = {1-2i} over {(1+2i)(1-2i)} = {1-2i} over {1+4} = {1-2i} over {5}]이다.

(2) 문제 (1)의 방법과 동일하게 계산하여 보면, [eqn: sqrt {3} -i]의 덧셈에 대한 역원은, [eqn: - sqrt {3} +i]

이고, 곱셈에 대한 역원은, [eqn: {sqrt {3} +i} over {( sqrt {3} -i)( sqrt {3} +i)} = {sqrt {3} +i} over {4}]가 된다.

(3) 같은 방법으로 계산하면, 덧셈에 대한 역원은 [eqn: - left ( {5+ sqrt {3} i} over {2} right )]이고, 곱셈에 관한 역원은

[eqn: left ( {5+ sqrt {3} i} over {2} right ) TIMES z _{1} =1]이 되는 [eqn: z _{1}]값을 찾으면,

[eqn: {2} over {5+ sqrt {3} i} = {2(5- sqrt {3} i)} over {(5+ sqrt {3} i)(5- sqrt {3} i)} = {10-2 sqrt {3} i} over {28} = {5- sqrt {3} i} over {14}]이다.

(4) 같은 방법으로 계산하면, 덧셈에 대한 역원은 [eqn: {-2-i} over {2-i}] 이고

곱셈에 관한 역원은 [eqn: {(2-i) ^{2}} over {(2+i)(2-i)} = {(3-4i)} over {5}]이다.

4.2

복소평면

4.2.1 복소평면

복소평면: 복소수 [eqn: z=a+bi]를 2차원 평면상의 점 [eqn: P`(a,`b)]로 대응시키며, 이 때 복소수 [eqn: z]의 실수부를 [eqn: x]좌표 [eqn: a]로, 허수부를 [eqn: y]좌표 [eqn: b]로 나타낸다.

[그림 4.1]  복소평면

예제 4.14

다음 복소수를 복소평면 위에 나타내어라.

(1) [eqn: 4+3i]           (2) [eqn: -4i]           (3) [eqn: 2]

풀이

(1)	(2)	(3)

예제 4.15

복소수 [eqn: z=3-4i]와 그 켤레복소수 [eqn: bar{z}]를 복소평면 상에 나타내보고, 두 복소수의 위치관계를 설명하시오.

풀이

점 [eqn: z]와 점 [eqn: bar{z}]는 [eqn: x]축에 관하여 대칭이다.

예제 4.16

세 복소수 [eqn: z _{1} =4+3i], [eqn: z _{2} =-2+3i], [eqn: z _{4} =2-i]를 복소평면 상에 나타내었을 때, 각 대응점을 [eqn: A,```B,```D`]라고 하자. 이때, 선분 [eqn: AB], [eqn: AD]를 두변으로 하는 평행사변형 [eqn: ABCD`]를 구성하는 나머지 점 [eqn: C`]를 나타내는 복소수 [eqn: z _{3}]을 구하시오.

풀이

왼쪽 그림에서 [eqn: AB`]의 길이가 6이므로 [eqn: CD`]의 길이도 6이어야 한다. 그러므로 점 [eqn: C`]의 [eqn: x]좌표는 -4가 되고 [eqn: AB`]와 [eqn: CD`]는 평행하므로 [eqn: C`]의 [eqn: y] 좌표는 -1이 된다.

[eqn: THEREFORE ``z _{3} ``=`-4-i]

4.2.2 복소수의 절대값

복소수 [eqn: z=a+bi]의 절대값은 [eqn: LEFT | z RIGHT | = LEFT | a+bi RIGHT | = sqrt {a ^{2} +b ^{2}}]로 정의한다.

복소평면 상의 원점과 [eqn: P`(a,`b)] 사이의 거리를 의미한다.

[그림 4.2]  복소평면 상의 복소수의 절대값

예제 4.17

다음 복소수의 절대값을 구하시오.

(1) [eqn: 2+4i]              (2) [eqn: -7i]                  (3) [eqn: 2]

풀이

(1) [eqn: LEFT | 2+4i RIGHT | = sqrt {2 ^{2} +4 ^{2}} = sqrt {20} =2 sqrt {5}]

(2) [eqn: LEFT | -7i RIGHT | = sqrt {0 ^{2} +(-7) ^{2}} = sqrt {49} =7]

(3) [eqn: 2]

예제 4.18

[eqn: alpha `=`1+i] 일 때, [eqn: LEFT | `` alpha + {1} over {alpha } `` RIGHT |]의 값을 구하여라.

풀이

[eqn: alpha + {1} over {alpha } & =`1+i+ {1} over {1+i} `=`1+i+ {1-i} over {(1+i)(1-i)}# # & =`1+i+ {1-i} over {2} `=` {3+i} over {2}]

[eqn: THEREFORE `` LEFT | `` alpha + {1} over {alpha } `` RIGHT | `=` LEFT | `` {3} over {2} + {1} over {2} i`` RIGHT | `=` sqrt {LEFT ( {3} over {2} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2}} `=` {sqrt {10}} over {2}]

예제 4.19

[eqn: | ``alpha ``|``=`1], [eqn: z`=` {2+ alpha } over {1+2 alpha }]일 때, [eqn: |``z``| ^{2}]의 값을 구하여라.

풀이

[eqn: |``z``| ^{2} `=`z bar{z} ``=` {2+ alpha } over {1+2 alpha } BULLET {2+ bar{alpha }} over {1+2 bar{alpha }} `=` {4+2 bar{alpha } +2 alpha +| alpha | ^{2}} over {1+2 bar{alpha } +2 alpha +4| alpha | ^{2}}]

[eqn: |`` alpha ``|`=`1]이므로,

[eqn: {4+2 bar{alpha } +2 alpha +| alpha | ^{2}} over {1+2 bar{alpha } +2 alpha +4| alpha | ^{2}} `=` {4+2 bar{alpha } +2 alpha +1} over {1+2 bar{alpha } +2 alpha +4} =`` {5+2 bar{alpha } +2 alpha } over {5+2 bar{alpha } +2 alpha } `=`1]

예제 4.20

두 복소수 [eqn: z _{1}]과 [eqn: z _{2}]에 대해서 다음의 성질이 성립함을 증명하시오.

(1) [eqn: |``z``|=| ``bar{z} ``|]	(2) [eqn: z bar{z}` = LEFT | ``z`` RIGHT | ^{2} = LEFT | ``bar{z} ``RIGHT | ^{2}]

풀이

[eqn: z`=`a+bi](단, [eqn: a,```b]는 실수)로 놓으면 [eqn: bar{z} `=`a-bi]이다.

(1) [eqn: |``z``|`=`|``a+bi``|`= sqrt {a ^{2} +b ^{2}} ,~~| ``bar{z} ``|`=|``a-bi``|`= sqrt {a ^{2} +b ^{2}}]

[eqn: THEREFORE `|``z``|`=`| ``bar{z} ``|]

(2) [eqn: z bar{z} `=`(a+bi)(a-bi)`=`a ^{2} -(bi) ^{2} `=`a ^{2} +b ^{2}]
[eqn: |``z``| ^{2} `=`|``a+bi``| ^{2} `= LEFT ( sqrt {a ^{2} +b ^{2}} RIGHT ) ^{2} `=`a ^{2} +b ^{2} ,]
[eqn: |`` bar{z} ``| ^{2} `=`|``a-bi``| ^{2} `= LEFT ( sqrt {a ^{2} +b ^{2}} RIGHT ) ^{2} `=`a ^{2} +b ^{2}]
[eqn: THEREFORE `z bar{z} `=`|``z``| ^{2} `=`| ``bar{z} ``| ^{2} `]

※ [eqn: |``z _{1} +z _{2} ``|`` LEQ `|``z _{1} ``|``+`|``z _{2} ``|] : 삼각형의 두변의 합의 길이는 각변의 길이의 합보다도 작거나 같음을 의미한다.

4.3

복소수의 극형식

4.3.1 복소수의 극형식

복소수 [eqn: z``=`a`+`bi]를 복소평면 상에 나타낸 점을 [eqn: P(a,b)]라고 하고,

원점 [eqn: O]와 점 [eqn: P] 사이의 거리를 [eqn: r],

선분 [eqn: OP]와 [eqn: x]축 양의 방향과 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라고 하면

[eqn: a=r`cos theta `,`b=`r`sin theta]이다.

[그림 4.3]  복소평면과 복소수의 극형식

복소수 [eqn: z]의 극형식: [eqn: z] = [eqn: `a`+`bi`] = [eqn: `r(cos theta ``+`i sin theta )]

[eqn: theta] = [eqn: z]의 편각 = [eqn: arg(z)]라 한다.

(Ex) 복소평면 위의 점 [eqn: P(- sqrt {3} ,1)]   ([eqn: z``=`- sqrt 3`+`i])

[eqn: bar{OP} ```=] [eqn: sqrt {(- sqrt {3} ) ^{2} +1 ^{2}} `=2] 이고

[eqn: bar{OP}]가 [eqn: x]축 양의 방향과 이루는 각은 [eqn: theta = {5} over {6} pi `(150°)] ([eqn: sin( theta )=` {1} over {2}], [eqn: pi over 2 LEQ theta LEQ pi])이므로

복소수 [eqn: z]의 극형식은 [eqn: z=2 left (cos {5} over {6} pi +i sin {5} over {6} pi right )]가 된다.

예제 4.21

다음 복소수를 극형식으로 나타내어라.

(1) [eqn: 1- sqrt {3} i]	(2) [eqn: -1+i]

(3) [eqn: sqrt {3} +i]	(4) [eqn: -1-i]

풀이

(1) 복소평면 위의 4사분면 위의 점 [eqn: P(1,- sqrt {3} )]에 대응하는 복소수 [eqn: z]의 극형식은 [eqn: 1- sqrt {3} i]에서 [eqn: bar{OP} `=` sqrt {1 ^{2} +(- sqrt {3} ) ^{2}} =`2]이고 [eqn: bar{OP}]가 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각은 [eqn: 300 DEG]이므로, [eqn: z`=`2(cos300 DEG +i sin300 DEG )]가 된다.

(2) 위와 마찬가지 방법으로, 2사분면위의 점 [eqn: P(-1,1)]에서 [eqn: bar{OP} `=` sqrt {(-1) ^{2} +(1) ^{2}} =` sqrt {2}]이고, [eqn: theta]는 [eqn: 135 DEG]이므로, [eqn: z`=` sqrt {2} (cos135 DEG +i sin135 DEG )]가 된다.

(3) 위와 마찬가지 방법으로, 1사분면위의 점 [eqn: P( sqrt {3} ,1)]에서 [eqn: bar{OP} `=` sqrt {( sqrt {3} ) ^{2} +(1) ^{2}} =`2] 이고, [eqn: theta]는 [eqn: 30 DEG]이므로, [eqn: z`=`2(cos30 DEG +i sin30 DEG )]가 된다.

(4) 위와 마찬가지 방법으로, 3사분면 위의 점 [eqn: P(-1,-1)]에서 [eqn: bar{OP} `=` sqrt {(-1) ^{2} +(-1) ^{2}}][eqn: = sqrt {2}]이고, [eqn: theta]는 [eqn: 225 DEG]이므로, [eqn: z`=` sqrt {2} (cos225 DEG +i sin225 DEG )]가 된다.

예제 4.22

절대값이 [eqn: sqrt {2}]이고 편각이 [eqn: {3} over {4} pi]인 복소수를 [eqn: a+b`i]의 꼴로 나타낼 때, [eqn: a+b]의 값은?

풀이

절대값 [eqn: bar{OP} `= sqrt {2}]이고, 편각 [eqn: {3} over {4} pi]는 [eqn: 135 DEG]이므로, 복소평면 상에 나타내어 보면, 2사분면위의 점 [eqn: (-1,``i)]로 나타난다. 따라서 복소수는 [eqn: -1+i]이므로 [eqn: a+b]의 값은 0이다.

예제 4.23

[eqn: z=1+ sqrt {3} ``i]일 때 [eqn: z ^{20}]의 편각은 얼마인가?

풀이

[eqn: z ^{2} =(1+ sqrt {3} i) ^{2} =(-2+2 sqrt {3} i)]

[eqn: z ^{3} =`-(1+ sqrt {3} i)(2-2 sqrt {3} i)=`-(`2+6)=-8]

[eqn: z^20 `=` (z ^{3} ) ^{6} CDOT z ^{2} =-(-8) ^{6} CDOT (2-2 sqrt {3} i)=2(-8) ^{6} CDOT (-1+ sqrt {3} i)]이므로,

[eqn: -1``+ sqrt {3} i]의 편각을 구하면 [eqn: `120 DEG]이다.

- 두 복소수 [eqn: z _{1} =r _{1} CDOT (cos theta _{1} +i sin theta _{1} )], [eqn: z _{2} =r _{2} (cos theta _{2} +i sin theta _{2} )]의 곱셈과 나눗셈

1) 곱셈

[eqn: z _{1} CDOT z _{2} =r _{1} r _{2} CDOT (cos theta _{1} +i sin theta _{1} )CDOT (cos theta _{2} +i sin theta _{2} )]

[eqn: =`r _{1} r _{2} LEFT { (cos theta _{1} cos theta _{2} -sin theta _{1} sin theta _{2} )+i(sin theta _{1} cos theta _{2} +cos theta _{1} sin theta _{2} RIGHT }]

[eqn: =`r _{1} r _{2} LEFT { cos( theta _{1} + theta _{2} )+i sin( theta _{1} + theta _{2} ) RIGHT }]

[eqn: THEREFORE `z _{1} z _{2} `=`r _{1} r _{2} LEFT { cos( theta _{1} + theta _{2} )+i sin( theta _{1} + theta _{2} ) RIGHT }]

2) 나눗셈

[eqn: {z _{1}} over {z _{2}} `=` {r _{1} (cos theta _{1} +i sin theta _{1} )} over {r _{2} (cos theta _{2} +i sin theta _{2} )} `= {r _{1}} over {r _{2}} CDOT {(cos theta _{1} +i sin theta _{1} )(cos theta _{2} -i sin theta _{2} )} over {(cos theta _{2} +i sin theta _{2} )(cos theta _{2} -i sin theta _{2} )}]

[eqn: =` {r _{1}} over {r _{2}} CDOT {(cos theta _{1} cos theta _{2} +sin theta _{1} sin theta _{2} )+i(sin theta _{1} cos theta _{2} -cos theta _{1} sin theta _{2} )} over {cos ^{2} theta _{2} +sin ^{2} theta _{2}}]

[eqn: =` {r _{1}} over {r _{2}} LEFT { cos( theta _{1} - theta _{2} )+i sin( theta _{1} - theta _{2} ) RIGHT }]

[eqn: THEREFORE ` {z _{1}} over {z _{2}} `=` {r _{1}} over {r _{2}} ` LEFT { cos( theta _{1} - theta _{2} )+i sin( theta _{1} - theta _{2} ) RIGHT }]

예제 4.24

[eqn: z _{1} `=`8 LEFT ( cos {5} over {12} pi +i{sin {5} over {12} pi RIGHT ) ,````z _{2} `=`2 LEFT ( cos {1} over {12} pi +i{sin {1} over {12} pi RIGHT )]일 때, [eqn: z _{1} z _{2}]을 [eqn: a+bi]의 꼴로 나타내어라. [eqn: (a,``b는````실수)]

풀이

[eqn: |``z _{1} z _{2} ``|`=`|``z _{1} ``| CDOT |``z _{2} ``|``=`8 CDOT 2``=`16]

[eqn: arg(z _{1} z _{2} )`=`arg(z _{1} )+arg(z _{2} )`=` {5} over {12} pi + {1} over {12} pi `=` {1} over {2} pi]

[eqn: THEREFORE `z _{1} z _{2} `=`16 LEFT ( cos {pi } over {2} +i sin {pi } over {2} RIGHT ) `=`16(0+i CDOT 1)`=`16i]

예제 4.25

[eqn: z _{1} `=`1+i,```z _{2} `=``1- sqrt {3} i]일 때, [eqn: z _1 CDOT z _2]의 절대값과 편각을 구하고, 극형식으로 나타내어라.

풀이

[eqn: z _{1} `=`1+i]에서 [eqn: |``z _{1`} `|`=` sqrt {2} ,```arg(z _{1} )`=` {pi } over {4}]

[eqn: z _{2} ``=`1- sqrt {3} i]에서 [eqn: |``z _{2} ``|`=2,```arg(z _{2} )`=` {5 pi } over {3}]

[eqn: THEREFORE `|``z _{1} CDOT z _{2} ``|`=`|``z _{1} ``| CDOT |``z _{2} ``|`=` sqrt {2} CDOT 2`=`2 sqrt {2}]

[eqn: arg(z _{1} CDOT z _{2} )`=`arg(z _{1} )+arg(z _{2} )`=` {pi } over {4} + {5 pi } over {3} = {23} over {12} pi]

[eqn: THEREFORE ``z _{1} CDOT z _{2} `=`2 sqrt {2} (cos {23} over {12} pi +i`sin {23} over {12} pi )`]

예제 4.26

두 복소수 [eqn: z _{1} =1-i,`````z _{2} =-1+ sqrt {3} `i]에 대하여 [eqn: {z _{1}} over {z _{2}}]의 편각 [eqn: theta]는 얼마인가?

(단 [eqn: 0 <= theta <2 pi])

풀이

[eqn: z _{1} =1-i````][eqn: `= {sqrt {2 _{}}} ``LEFT ( `cos {7} over {4} pi +i`sin {7} over {4} pi RIGHT )]

[eqn: z _{2} =-1+ sqrt {3} `i] [eqn: `= 2 ``LEFT ( `cos {2} over {3} pi +i`sin {2} over {3} pi RIGHT )]

[eqn: {z _{1}} over {z _{2}} `=` {r _{1}} over {r _{2}} ` LEFT { cos( theta _{1} - theta _{2} )+i`sin( theta _{1} - theta _{2} ) RIGHT }]이므로

[eqn: {z _{1}} over {z _{2}} `= {sqrt {2 _{}}} over {2} `cos LEFT ( {7} over {4} pi - {2} over {3} pi RIGHT ) +i`sin LEFT ( {7} over {4} pi - {2} over {3} pi RIGHT )] = [eqn: {sqrt {2 _{}}} over {2} `cos LEFT ( {12} over {13} pi RIGHT ) +i`sin LEFT ( {13} over {12} pi RIGHT )]가 된다.

따라서 [eqn: {z _{1}} over {z _{2}}]의 편각 [eqn: theta]는 [eqn: {13} over {12} pi]이다.

예제 4.27

[eqn: z _{1} `=`-3`+`i``], [eqn: z _{2} =2+i``]를 나타내는 점을 각각 [eqn: P], [eqn: Q]라 할 때, [eqn: ANGLE POQ]의 크기는 얼마인가?

풀이

[eqn: ANGLE POQ =arg(z _{1} )-arg(z _{2} )]

각의 차 : 복소수의 나눗셈

[eqn: {z _{1}} over {z _{2}} = {-3+i} over {2+i} =-1+i``]

[eqn: THEREFORE `arg LEFT ( {z _{1}} over {z _{2}} RIGHT ) ``=135°``]

4.3.2 드 무아브르(De Moivre)의 정리

임의의 복소수 [eqn: z]를 [eqn: `r`(cos theta `+`i sin theta )]와 같이 극형식으로 나타내었을 때,

[eqn: z ^{n} `= ` [`r(cos theta +i sin theta ) `]^{n} =r ^{n} (cosn theta `+`i sin``n theta )]

- 복소수 [eqn: z^n]의 절대값은 [eqn: r^n]이 되고, 편각은 [eqn: n theta]가 된다.

(드 무아브르의 정리)

[eqn: z`=cos theta `+`i sin theta]일 때 (즉 절대값 [eqn: r] = 1일 때)

[eqn: z^n ``=``(cos theta +i sin theta ) ^{n} =(cosn theta `+`i sin``n theta )]

- 드 무아브르의 정리는 [eqn: n]이 양의 정수, 0, 그리고 음의 정수일 때도 성립한다.

(증명)

(1) [eqn: n]이 양의 정수인 경우

[eqn: z`=cos theta `+`i sin theta]

라고 하면

[eqn: z ^{2`} `=`z BULLET z``=`(cos theta `+`i sin theta `)(cos theta ``+`i sin theta `)]
[eqn: =cos2 theta `+`i sin2 theta]

[eqn: z ^{3} `=`z ^{2} ` BULLET z`=`(cos2 theta `+`i sin2 theta )(cos theta `+`i sin theta )]
[eqn: =cos3 theta `+`i sin3 theta]

이와 같은 방법으로 임의의 자연수 [eqn: n]에 대하여, [eqn: n-1]일 때 성립한다고 가정하면,

[eqn: z ^{n-1} =cos(n-1) theta +i sin(n-1) theta]

가 되고,

[eqn: z ^{n`} `=`z ^{n-1} BULLET z]
[eqn: =`[`cos(n-1) theta ``+`i sin(n-1) theta `]` (cos theta +i sin theta `)]
[eqn: =`cosn theta `+`i sin n theta]

가 성립함을 알 수 있다.

(2) [eqn: n]이 음의 정수인 경우

이 경우 [eqn: n`=`-m]([eqn: m]은 양의 정수)라 두면

[eqn: (cos theta +i sin theta ) ^{n} =(cos theta +i sin theta ) ^{-m}]
[eqn: =` LEFT ( {1} over {cos theta +i sin theta } RIGHT ) ^{m}]
[eqn: =``[`cos(- theta )`+`i sin(- theta ) `] ^{m}]
[eqn: =`cos(-m theta )`+`i sin(-m theta )]
[eqn: =``(cosn theta `+`i sin``n theta )]

가 성립한다.

(3) [eqn: n=0]인 경우

주어진 식([eqn: z^n ``=``(cos theta +i sin theta ) ^{n} =(cosn theta `+`i sin``n theta )])의 좌변과 우변이 모두 1이므로 등식이 성립한다.

[eqn: therefore ~~z ^{n} `=`(cos theta +i sin theta ) ^{n} =(cosn theta `+`i sin``n theta )]

예제 4.28

드 무아브르의 정리를 이용하여 [eqn: (1+ sqrt {3} `i``) ^{9} ```]의 값을 구하시오.

풀이

[eqn: 1+ sqrt {3``} i``=2`` LEFT ( cos {pi } over {3} +`i``sin {pi } over {3} RIGHT ) ``]

[eqn: (1+ sqrt {3``} i`) ^{9} `=2 ^{9} `` LEFT ( cos {pi } over {3} +`i``sin {pi } over {3} RIGHT ) ^{9} ``]

[eqn: =2 ^{9} `` LEFT ( cos3 pi +`i``sin3 pi RIGHT ) ``=``-2 ^{9} ``=-512]

예제 4.29

드 무아브르의 정리를 이용하여 다음 복소수를 간단히 나타내시오.

[eqn: LEFT ( {1+ sqrt {3} i} over {1- sqrt {3} i} RIGHT ) ^{6}]

풀이

[eqn: LEFT ( {1+ sqrt {3} i} over {1- sqrt {3} i} RIGHT ) ^{6} & = LEFT [ {2(cos60 DEG +i`sin60 DEG )} over {2 left{cos(-60DEG)+i`sin(-60 DEG )right}} RIGHT ] ^{6}]

[eqn: & =(cos120 DEG +i`sin120 DEG ) ^{6}# # & =cos720 DEG +i`sin720 DEG # # & =`1]

예제 4.30

[eqn: ( sqrt {3`} +i``) ^{10} `=`2 ^{9} `(`1- sqrt {3`} i``)``]임을 확인하여라.

풀이

[eqn: sqrt {3``} +i``=2`` LEFT ( cos {pi } over {6} +`i``sin {pi } over {6} RIGHT ) ``]

[eqn: ( sqrt {3``} +i`) ^{10} ``=2 ^{10} `` LEFT ( cos {5} over {3} pi +`i``sin {5} over {3} pi ` RIGHT ) ``]

[eqn: =2 ^{10} `` LEFT ( {1} over {2} -`i`` {sqrt {3``}} over {2} ` RIGHT ) ``]

[eqn: =2 ^{9} `` LEFT ( 1- sqrt {3} i` RIGHT ) ``]

예제 4.31

[eqn: LEFT ( {1-i} over {sqrt {3``} +i```} RIGHT ) ` ^{6} ``]을 간단히 하여라.

풀이

[eqn: LEFT ( {1-i} over {sqrt {3``} +i```} RIGHT ) ` ^{6} ``= LEFT { {sqrt {2``} LEFT ( cos {7} over {4} pi +i`sin {7} over {4} pi RIGHT )} over {``2`` LEFT ( cos {pi } over {6} +i`sin {pi } over {6} RIGHT )} RIGHT } ` ^{6} ``]

[eqn: = LEFT { {sqrt {2``}} over {2} LEFT ( cos {19} over {12} pi +i`sin {19} over {12} pi RIGHT ) RIGHT } ` ^{6} ``]

[eqn: =`- {1} over {8} ``i``]

4.3.3 이항방정식

이항방정식(=원주등분방정식): [eqn: z ^{n} =w````(w IN C`)]의 형태의 방정식

- 이항방정식 풀이 (드 무아브르의 정리를 이용)

(1) [eqn: z``=``r``(cos theta +i`sin theta `)``]로 놓아 [eqn: z ^{n} ``]을 구한다.

[eqn: z` ^{n} =r` ^{n} `(cosn theta +`i`sin`n theta ``)``]

(2) 우변의 [eqn: w]는 편각을 일반각으로 하여 극형식으로 나타낸다.

[eqn: w``=``a`` LEFT { cos(2k pi + alpha )+``i``sin(2k pi + alpha ``)` RIGHT } ``]

[eqn: z ^{n}&=`w`]이므로

[eqn: r ^{n} (cosn theta `+`i sinn theta )`=`a`left{cos(2k pi `+` alpha )`+`i sin`(2k pi `+` alpha )}right}]

그러므로

[eqn: cases{`r`` ^{n} =~a`````~~ RARROW ```~~r``=`` ^{n} sqrt {a`} ``#n theta =2k pi + alpha ~~~` RARROW ~~~` theta = {2k pi + alpha } over {n}} ``~~(k = 0, 1, 2, cdots)]

※ [eqn: sinx`,``cosx]는 주기함수
일반적으로 [eqn: z ^{n} =w]의 해는 복소수에서 [eqn: n``]개 있음이 알려져 있다.

예제 4.32

[eqn: z ^{3} =1``]을 만족하는 복소수를 구하시오.

풀이

(1) [eqn: z ^{3} -1=(z-1)(z ^{2} +z+1)=0``]
∴ [eqn: z=1,``` {-1± sqrt {3``} `i``} over {2} ``]

(2) [eqn: z``=``r``(cos theta +i`sin theta `)``]라 하면
[eqn: z ^{3} `=`r` ^{3} `(cos3 theta +i`sin3 theta `)]

우변 1 = [eqn: cos2k pi +i`sin2k pi ``]

[eqn: r ^{3} =1``]에서 [eqn: r=1``]
[eqn: theta = {2k pi } over {3} ``]에서 [eqn: theta =``0,` {2} over {3} pi ,` {4} over {3} pi ``]

[eqn: THEREFORE] [eqn: z _{0} `=`cos {0} over {3} +i sin {0} over {3} =1]
[eqn: z _{1} =cos {2} over {3} pi +i`sin {2} over {3} pi = {-1+ sqrt {3} i} over {2}]
[eqn: z _{2} =cos {4} over {3} pi +i`sin {4} over {3} pi = {-1- sqrt {3} i} over {2}]

예제 4.33

[eqn: z ^{3} =i]을 만족하는 복소수를 구하여라.

풀이

[eqn: z ^{3} =i``]를 만족하는 복소수를 [eqn: z``=``r``(cos theta +i`sin theta `)``]라 하면,

[eqn: z ^{3} =`r` ^{3} `(cos3 theta +i`sin3 theta `)=cos LEFT (2k pi + {pi } over {2}RIGHT )+i`sin` LEFT (2k pi + {pi } over {2} RIGHT )]

[eqn: r ^{3} =1``]에서 [eqn: r=1``]  [eqn: theta = {2k pi + {pi } over {2}} over {3} ``]에서 [eqn: theta =`` {pi } over {6}, `` ` {5} over {6} pi ,``` {3} over {2} pi ``]

즉, [eqn: k=0``], [eqn: theta = {1} over {6} pi ``]일 때 [eqn: z _{0} = {sqrt {3``}} over {2} + {1} over {2} i``]
[eqn: k=1``], [eqn: theta = {5} over {6} pi ``]일 때 [eqn: z _{1} =- {sqrt {3``}} over {2} + {1} over {2} i``]
[eqn: k=2``], [eqn: theta = {3} over {2} pi ``]일 때 [eqn: z _{2} =-``i``]

연습문제

1

다음 두 점 [eqn: z _{1}``` z _{2}] 사이의 거리 [eqn: d]를 구하여라.

연습문제

(1) [eqn: z _{1} =`3+2i,```z _{2} =`-i]	(2) [eqn: z _{1``} =`-5+2i,``z _{2} `=`1+2i]

2

[eqn: LEFT | ``{x-yi} over {x+yi} ``RIGHT | `=`a-bi](단, [eqn: x,```y,```a,```b]는 실수) 일 때, [eqn: a ^{2} +b ^{2`}]은?

3

[eqn: |``z``|`=1]일 때, [eqn: |``z+1``| ^{2} +`|`` bar{z} -a``| ^{2`} `=`13]을 만족시키는 양수 a의 값은?

4

[eqn: a``=`1+2i,``b``=`-3+i]일 때, [eqn: {``a ^{2} -b ^{2}} over {a+b}]의 값은?

5

[eqn: |``z``|``=`1]일 때, [eqn: LEFT |`z+ {2} over {z} +2i` RIGHT |]의 최대값은?

6

절대값이 2이고, 편각이 [eqn: {pi } over {3}]인 복소수 [eqn: z]를 [eqn: a+bi]의 꼴로 나타내어라.

7

[eqn: z _{1} `=`4 LEFT (cos {pi } over {4} +sini {pi } over {4}RIGHT ),```z _{2} `=6 LEFT (cos {3 pi } over {4} +sini {3 pi } over {4} RIGHT )]일 때, 다음을 구하여라.

(1) [eqn: z _{1} z _{2}]	(2) [eqn: {z _{1}} over {z _{2}}]

8

다음을 계산하여라.

(1) [eqn: LEFT (cos {pi } over {3} +i sin {pi } over {3} RIGHT ) ^{3}]	(2) [eqn: (1+i) ^{4}]

(3) [eqn: (cos5 ^{CIRC } +i sin5 ^{CIRC } ) ^{12}]

9

[eqn: z``=`1+ sqrt {3} +(1- sqrt {3} )i]일 때, [eqn: z ^{60}]의 값은?

10

두 개의 복소수 [eqn: z _{1} `=`5+2i,``z _{2} `=`1-2i]에 대하여 {[eqn: cos`arg(z _{1} )-arg(z _{2} )]}의 값을 구하여라.

11

이차방정식 [eqn: x ^{2} +ax+b`=`0]([eqn: a,```b]는 실수)가 두 허근을 갖고, 그 한 근의 절대값이 2, 편각이 30°일 때, [eqn: a+b]의 값은?

12

[eqn: z``=`cos theta +i sin theta `(`0` PREC theta PREC pi )]일 때, [eqn: z ^{2} -z]이 실수가 되게 하는 [eqn: theta]의 값을 구하여라.

13

[eqn: a`=`cos18 {DEG } +i sin18 {DEG `}]일 때, [eqn: z``=`a ^{100} +a ^{21} +a ^{51} +1]을 구하여라.