1장. 집합과 명제 그리고 방정식

IT 전공자를 위한 기초수학

1

1.1 수의 분류

1.2 집합

1.3 명제

1.4 방정식

1.1

수의 분류

									양의 정수(자연수)
						정수			영(0)
				유리수					음의 정수
		실수				정수 아닌 유리수					유한소수
											순환 무한소수
복소수
				무리수		비순환 무한소수
		허수		제곱하여 음의 값

[그림 1.1]  수의 분류 및 상호관계

자연수(양의 정수): [eqn: 1,``` 2,``` 3,```4,```5,```6,``` LDOTS`]

음의 정수: 자연수에 음의 부호(-)를 붙인 수

정수: 양의 정수, 음의 정수, 그리고 [eqn: 0]

유한소수: 유한한 소수 (e.g., [eqn: 1.25], [eqn: -3.14])

순환 무한소수: 특정패턴이 무한히 반복되는 소수 (e.g., [eqn: 1 over 3 = 0.33333` LDOTS], [eqn: -1/6 = 0.16666 ` LDOTS], [eqn: 0.66666` LDOTS], [eqn: 0.1212121212 `LDOTS`])

유리수: 정수, 유한소수, 그리고 순환 무한소수 (cf. 유리수는 분수형태로 표현될 수 있음)

무리수: 반복 순환하지 않는 무한소수 (e.g., [eqn: pi = 3.1415926535 8979323846 `LDOTS],  [eqn: sqrt { 2} = 1.4142135623730950488016887242097 `LDOTS])

실수: 유리수와 무리수

허수: 제곱하여 음수가 되는 수 (e.g., [eqn: i], [eqn: -2i])

복소수: 실수와 허수

(Ex) 순환 무한소수 [eqn: x`=`1.23454545 ` LDOTS]를 분수형태로 변환하는 방법

(1) 소수점 아래에 반복되는 45가 처음 위치되도록 [eqn: x]에 100을 곱한다.

[eqn: 100x``=`123.4545 `LDOTS]

(2) 100보다 큰 수를 곱해서 소수점 아래에 다시 반복되는 45가 위치되도록 한다.

[eqn: 10000`x`=`12345.4545 `LDOTS]

(3) 반복되는 45를 제거한다.

[eqn: 10000 x `-` 100 x `=` (10000-100)`x` = `9900 x `=` (12345-123) `=` 12222]

[eqn: x `=` 12222 over 9900 `=` 6111 over 4950]

1.2

집합

1.2.1  집합의 정의와 표시

집합(set): 직관 혹은 사고의 대상이 되는 것 중에서 범위가 확정되어 있고, 서로 구분할 수 있는 어떤 것들의 모임

원소(element): 그 집합을 구성하는 개개의 대상

예제 1.1

다음에서 집합이 될 수 있는 것과 아닌 것을 선택하여라.

a) 큰 자연수의 모임

b) 10보다 크고 20보다 작은 정수의 모임

c) 10보다 크며 20보다 작은 유리수의 모임

풀이

a)에서 “큰 자연수”는 범위를 확정시킬 수 없기 때문에 집합이 되지 못한다.

b)는 범위를 확정시킬 수 있으므로 집합이 되며,

c)는 집합 내에 속하는 원소의 수는 유한개라 아니라도 범위를 확정할 수 있으므로 집합이 될 수 있다.

예제 1.2

“10보다 작은 자연수의 모임”으로 만들어지는 집합의 원소를 나열하여라.

풀이

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

유한집합(finite set): 유한개의 원소를 가지는 집합

무한집합(infinite set): 무한개의 원소를 가지는 집합

예제 1.3

유한집합인지 무한집합인지를 판별하여라.

a) 10보다 크며 20보다 작은 자연수의 집합

b) 10보다 크며 20보다 작은 실수의 집합

풀이

a)는 11에서 19까지의 유한개의 원소를 가지기 때문에 유한집합이며,

b)는 10과 20 사이에 무한개의 유리수와 무리수가 존재할 수 있기 때문에 무한집합이다.

공집합(empty set): 0개의 원소를 갖는 유한집합 ({ } 혹은 [eqn: phi]로 표기)

전체집합(universal set): 현재 고려중인 집합의 모든 원소를 포함하는 집합 (U로 표기)

집합 표현 방법: 원소나열법, 조건제시법, 벤다이어그램(Venn’s Diagram)

원소나열법: 집합 내에 속한 원소를 하나씩 나열하는 방법

조건제시법: 집합 내의 원소들이 가지고 있는 내용을 규정하는 조건을 기술하는 방법

벤다이어그램: 직관에 의해서 쉽게 알아 볼 수 있도록 집합을 원 혹은 타원 형태로 표현

예제 1.4

1보다 크고 10보다 작은 자연수 집합 [eqn: M]을 표현하여라.

풀이

원소나열법: [eqn: M``= LEFT { `2,```3,```4,```5,```6,```7,```8,```9` RIGHT }]

조건제시법: [eqn: M``= LEFT { `x`` LEFT | ``1<``x``<``10,~x는~자연수 RIGHT } RIGHT .]

1.2.2  집합의 포함관계

부분집합: 집합 [eqn: A]의 모든 원소가 집합 [eqn: B]에 속할 때, [eqn: A]를 [eqn: B]의 부분집합이라 함 ([eqn: A` SUBSET B])

(cf. 이 경우에 집합 [eqn: A]에 속한 임의의 원소 [eqn: x], [eqn: x` in A]에 대해서 [eqn: x in `B]인 관계가 성립)

상등: [eqn: A` SUBSET B]이고 [eqn: B```SUPERSET A]인 경우 (집합 [eqn: A]와 [eqn: B]는 서로 같다, [eqn: A=B])

(cf. 집합 [eqn: A]와 [eqn: B]가 서로 같지 않을 경우: [eqn: A != B])

진부분집합: [eqn: A` SUBSET B]이고 [eqn: A != B]인 경우, [eqn: A]를 [eqn: B]의 진부분집합이라고 함

[그림 1.2]  집합 [eqn: A]가 [eqn: B]의 부분집합인 경우[eqn: (A` `SUBSET B)]

예제 1.5

두 집합의 관계(상등, 부분집합, 진부분집합)를 결정하여라.

a) [eqn: A`=LEFT {x`|`1`<`x`<`10,~ x는~자연수 right}]
[eqn: B`=`left {x`|`2`<`x`<`10,~x는~자연수 right}]

b) [eqn: A`=LEFT {x`|`1`<`x`<`10,~ x는~자연수 right}]
[eqn: B`＝`left {x`|`2`≤`x`≤`9,~x는~자연수 right}]

풀이

a) 집합 [eqn: B]는 집합 [eqn: A]의 부분집합이며, 또한 집합 [eqn: B]는 집합 [eqn: A]의 진부분집합이기도 하다.

b) 집합 [eqn: A]는 집합 [eqn: B]의 부분집합이고, 집합 [eqn: B]는 집합 [eqn: A]의 부분집합이기도 하다. 그러므로, 집합 [eqn: A]와 [eqn: B]는 상등이다.

1.2.3  집합의 연산

합집합([eqn: A` CUP` B]): 집합 [eqn: A]에 속하거나 혹은 집합 [eqn: B]에 속하는 모든 원소들로 구성되는 집합

[eqn: A `SMALLUNION` B````= LEFT {x`|`x`IN A~or~x`IN B`RIGHT }]

교집합([eqn: A` SMALLINTER`B]): 집합 [eqn: A]에 속하고 집합 [eqn: B]에 속하는 모든 원소들로 구성되는 집합

[eqn: A` SMALLINTER` B``=`LEFT{x`|`x IN A~and```x`IN B RIGHT }]

차집합([eqn: A-B]): 집합 [eqn: A]에 속하지만 집합 [eqn: B]에 속하지 않는 모든 원소들로 구성되는 집합

[eqn: A-B`＝`LEFT{x`|`x IN A``` and``` x NOTIN``B`` RIGHT }],  cf, [eqn: A-B] = [eqn: A` SMALLINTER`B`^c]

여집합([eqn: A^c]): 집합 [eqn: A]가 전체집합 [eqn: U]의 부분집합일 때, [eqn: U-A]

[eqn: A^c`=left { x ` |` x NOTIN A```and``` x` in U `RIGHT }]

예제 1.6

전체집합 [eqn: U``＝LEFT{`x`|`1`≤`x`≤`10,~x는~자연수 RIGHT }]이고, 집합 [eqn: A`＝`LEFT{x`|`x는~홀수 RIGHT }], [eqn: B`=LEFT{`x`|`x는~3의~배수 RIGHT }]일 때, [eqn: A` CUP` B] 를 구하여라.

풀이

[eqn: A` CUP `B`＝ LEFT { 1,``3,``5,``7,``9 RIGHT } ` CUP ` LEFT { 3,``6,``9 RIGHT } `＝` LEFT { 1,``3,``5,``6,``7,``9 RIGHT }]

예제 1.7

전체집합 [eqn: U``＝`LEFT {x`|`1`≤`x`≤`10,``` x는~자연수 RIGHT }]이고, 집합 [eqn: A`= LEFT{x`|`x는~홀수 RIGHT }], [eqn: B```=`LEFT{x`|`x는~3의~배수 RIGHT }]일 때, [eqn: A` SMALLINTER`B]를 구하여라.

풀이

[eqn: A` SMALLINTER `B`= LEFT { 1,``3,``5,``7,``9 RIGHT } SMALLINTER LEFT { 3,``6,``9 RIGHT } ＝ LEFT { 3,``9 RIGHT }]

예제 1.8

전체집합 [eqn: U`＝`LEFT{x`|`1`≤`x`≤`10,``` x는```자연수 RIGHT }]이고, 집합 [eqn: A`＝`LEFT {x`|`x는``` 홀수 RIGHT }], [eqn: B`＝][eqn: LEFT{x`|`x는``3의 ``배수 RIGHT }]일 때, [eqn: A-B]를 구하여라.

풀이

[eqn: A-B``＝ LEFT { 1,``3,``5,``7,``9 RIGHT } `-` LEFT { 3,``6,``9 RIGHT } ``＝` LEFT { 1,``5,``7 RIGHT }]

예제 1.9

전체집합 [eqn: U`＝`LEFT{x`|`1`≤`x`≤`10,``` x는```자연수 RIGHT }]이고, 집합 [eqn: A`＝`LEFT {x`|`x는``` 홀수 RIGHT }], [eqn: B`＝][eqn: LEFT{x`|`x는``3의 ``배수 RIGHT }]일 때, [eqn: A^c]를 구하여라.

풀이

[eqn: A ^{c} `＝`U`-`A`＝` LEFT { 2,``4,``6,``8,``10 RIGHT }]

예제 1.10

전체집합 [eqn: U`＝`LEFT{x`|`1`≤`x`≤`10,``` x는```자연수 RIGHT }]이고, 집합 [eqn: A`＝`LEFT {x`|`x는``` 홀수 RIGHT }], [eqn: B`＝][eqn: ` LEFT { x`|`x는``3의``배수 RIGHT }]일 때, [eqn: A` SMALLINTER`` B``^c]를 구하여라.

풀이

[eqn: A SMALLINTER ``B` ^{c} `＝ LEFT { 1,``3,``5,``7,``9 RIGHT } ` SMALLINTER `` LEFT { 1,``2,``4,``5,``7,``8,``10` RIGHT } `＝` LEFT { 1,``5,``7 RIGHT }]

Note: 차집합 [eqn: A-B]는 [eqn: A` SMALLINTER`B`^c]와 동일함을 알 수 있다.

A

U

B

아래 연산법칙들은 벤다이어그램을 이용하여 증명할 수 있다.

∙ 교환법칙 : [eqn: A` SMALLUNION` B``＝B``SMALLUNION` A]

∙ 결합법칙 : [eqn: (A` SMALLUNION `B)` SMALLUNION `C``＝A` SMALLUNION `(B` SMALLUNION `C`),~ (A`SMALLINTER` B)`SMALLINTER` C``＝A`SMALLINTER` (B`SMALLINTER` C`)]

∙ 배분법칙 : [eqn: A`SMALLUNION`(B` SMALLINTER`C)`＝`(A`SMALLUNION`B)` SMALLINTER`(A`SMALLUNION`C),~ A` SMALLINTER`(B`SMALLUNION`C)`＝`(A` SMALLINTER`B)`SMALLUNION`(A` SMALLINTER`C)]

∙ 흡수법칙 : [eqn: A` SMALLUNION` (A `SMALLINTER` B)`＝A,~A`SMALLINTER` (A` SMALLUNION` B)`＝A]

∙ 멱등법칙 : [eqn: A` SMALLUNION` A`＝A,~A `SMALLINTER`A`＝`A]

드 모르간(De Morgan)의 법칙: 두 집합 [eqn: A], [eqn: B]가 있을 때

[eqn: (A`SMALLUNION`B)^c`＝`A^c `SMALLINTER`B^c]

[eqn: (A`SMALLINTER`B)^c`＝`A^c `SMALLUNION`B^c]

예제 1.11

전체집합 [eqn: U`＝`LEFT{1,`` 2,`` 3,`` 4,`` 5,`` 6,`` 7 RIGHT }]에 대해서 집합 [eqn: A`＝LEFT{1,`` 2,`` 4 RIGHT }]와 집합 [eqn: B`＝ LEFT {2,`` 4,][eqn: 6,`` 7 RIGHT }]가 주어졌을 때, 드 모르간의 법칙이 성립함을 보여라.

풀이

[eqn: (A` SMALLUNION` B)^c`＝`U-LEFT {1,`` 2,`` 4,`` 6,`` 7 RIGHT }＝LEFT {3,`` 5RIGHT }]

[eqn: A^c` SMALLINTER`B^c`＝LEFT {3,`` 5,`` 6,`` 7 RIGHT } SMALLINTER`LEFT{1,`` 3,`` 5 RIGHT }＝LEFT{3,`` 5 RIGHT }]이다.

[eqn: THEREFORE ~ (A`SMALLUNION`B)^c`＝`A^c `SMALLINTER`B^c].

1.2.4  원소의 개수

원소의 개수: 집합을 이루고 있는 원소들의 수

n(A) = 집합 A의 원소의 개수

∙[eqn: n(A `SMALLUNION` B)＝n(A)＋n(B)－n(A` SMALLINTER` B)]

∙[eqn: n(A` SMALLINTER`B)`＝n(A)＋n(B)－n(A`SMALLUNION` B)]

∙[eqn: n(A` SMALLUNION`B` SMALLUNION`C`)＝n(A)＋n(B)＋n(C)－n(A∩B)－n(A` SMALLINTER`C)－n(B` SMALLINTER`C)][eqn: ＋n(A` SMALLINTER`B` SMALLINTER`C)]

예제 1.12

집합 [eqn: A`＝LEFT {1,`` 2,`` 3,`` 4 RIGHT }]와 집합 [eqn: B`＝LEFT {3,`` 4,`` 5 RIGHT }]가 존재할 때, [eqn: n(A` SMALLUNION` B)]를 구하여라.

풀이

[eqn: n(A)`＝4,~n(B)＝3,~n(A` SMALLINTER `B)＝2]

[eqn: n(A CUP `B)＝n(A)＋n(B)－n(A SMALLINTER `B)＝4＋3－2＝5]

1.3

명제

1.3.1  명제의 정의와 진리표

명제(proposition): 참(true)인지 거짓(false)인지를 명확하게 구분할 수 있는 문장

예제 1.13

아래의 문장이 명제인지 아닌지를 판별하여라.

a) [eqn: phi SUBSET left {1,``2 right }]

b) 2는 6의 약수이다.

c) 대한민국

풀이

a), b)는 참과 거짓을 명확하게 구분할 수 있으므로 명제이며,

c)는 그렇지 못하므로 명제가 아니다.

단순명제: 명제들 중에서 더 이상 분해 할 수 없는 명제

합성명제: 몇 개의 단순명제를 또는(or), 그리고(and), 아니다(not), 이면(if), 일 때만(only if) 등의 말로써 연결하여 만들어진 명제

예를 들어, “6은 2 or 3으로 나누어진다”라는 합성명제는 “6은 2로 나누어진다”와 “6은 3으로 나누어진다”라는 두 단순명제로 이루어져있다.

명제 [eqn: p]가 참일 때 T(true), 거짓일 때 F(false)로 나타낸다.

진리값(truth value): T와 F

진리표(truth table): 명제의 진리값을 나타낸 표

1.3.2  논리합, 논리곱, 부정, 조건문, 동치

논리곱([eqn: p`LAND`q]): 두 명제 [eqn: p]와 [eqn: q]가 모두 참일 때만 진리값이 참이 되는 합성명제

논리합([eqn: p` LOR `q]): 두 명제 [eqn: p]와 [eqn: q]가 모두 거짓일 때만 진리값이 거짓이 되는 합성명제

[표 1.1]  논리곱 [eqn: p`LAND`q]에 대한 진리표            [표 1.2]  논리합 [eqn: p` LOR `q]에 대한 진리표

[eqn: p]	[eqn: q]	[eqn: p` WEDGE `q]		[eqn: p]	[eqn: q]	[eqn: p` LOR `q]
T	T	T		T	T	T
T	F	F		T	F	T
F	T	F		F	T	T
F	F	F		F	F	F

부정([eqn: SIM p]): 명제 [eqn: p]에 대해서 “[eqn: p]가 아니다”

[표 1.3]  부정 [eqn: SIM p]에 대한 진리표

[eqn: p]	[eqn: SIM p]
T	F
F	T

예제 1.14

명제 [eqn: p]는 “2는 자연수이다.”이고, 명제 [eqn: q]는 “0.1은 자연수이다.”일 때, [eqn: p`LAND` q], [eqn: p` LOR`q], [eqn: SIM p]의 진리값을 구하여라.

풀이

[eqn: p]의 진리값은 T이고, [eqn: q]의 진리값은 F이다.

따라서, 합성함수 [eqn: p` WEDGE `q]의 진리값은 F이고, [eqn: p` LOR `q]의 진리값은 T이다.

끝으로, [eqn: SIM p]의 진리값은 [eqn: p]의 부정이므로 F이다.

예제 1.15

논리합([eqn: LOR]), 논리곱([eqn: LAND]), 부정([eqn: SIM])은 디지털 회로 설계 시에 이용되는 기본 기능들이며, 논리합은 OR, 논리곱은 AND, 부정은 NOT 회로에 해당한다.

강당 앞쪽에 있는 스위치[eqn: (S`1)]과 뒤쪽에 있는 스위치[eqn: (S`2)] 중에 하나만 켜졌을 때에 천정 전등이 켜진다고 하자. 이때, 천정 전등이 켜지는 조건을 OR, AND, NOT를 이용하여 표현하시오.

풀이

천정 전등이 켜지는 첫 번째 조건은 [eqn: S1]이 켜지고 [eqn: S`2]가 꺼져있는 경우이며,

두 번째 조건은 [eqn: S1]이 껴져있고 [eqn: S`2]가 켜져 있는 경우이다.

만일, “[eqn: S1] 켜짐“, ”[eqn: S2] 켜짐“을 [eqn: S1], [eqn: S`2]로 표현한다면,

([eqn: S1] AND NOT [eqn: S`2]) OR (NOT [eqn: S1] AND [eqn: S2])로 표현할 수 있다.

더 간단히 [eqn: (S1` WEDGE `` SIM S`2) LOR `( SIM S1` WEDGE `S`2)]로도 표현할 수 있다.

예제 1.16

[eqn: (p` LOR`q) LAND SIM q]에 대한 진리표를 작성하여라.

풀이

[eqn: p]	[eqn: q]	[eqn: p` LOR `q]	[eqn: SIM q]	[eqn: (p` LOR `q) WEDGE SIM q]
T	T	T	F	F
T	F	T	T	T
F	T	T	F	F
F	F	F	T	F

조건문 ([eqn: p``rarrow `q]): “[eqn: p]이면 [eqn: q]이다”라는 새로운 합성명제 ([eqn: p]는 가정, [eqn: q]는 결론)

가정 [eqn: p]가 참일 경우에는 결론 [eqn: q]가 참이어야 전체 합성명제가 참 값을 갖는다.

가정 [eqn: p]가 거짓일 경우에는 (잘못된 가정) [eqn: q]의 진리값과 무관하게 항상 참 값을 갖는다.

- “[eqn: p]이면 [eqn: q]이다”가 성립하지 않는다는 것(즉, 이 명제가 거짓이라는 것)은, 다음 명제가 참임을 의미한다. "[eqn: p]가 성립함에도 불구하고, [eqn: q]가 성립하지 않는다."

- 이 말은 논리학적으로 "[eqn: p] 그리고 ([eqn: q]가 아니다)"가 되고, [eqn: `p` LAND` simq]이다.

- 그리고 [eqn: `p` LAND` simq]의 부정은 [eqn: sim(`p` LAND` simq ) ``=`` sim p` LOR `q]가 된다.

- 즉, 가정이 거짓인 경우([eqn: sim`p`]) 또는 결론이 참인 경우([eqn: q]) 조건문은 참이 된다.

- 그러므로 [eqn: p``rarrow `q]는 [eqn: sim `p` LOR`q]임을 알 수 있다. (cf. 예제 1-18)

[표 1.4]  조건문 [eqn: p`` -> `q]에 대한 진리표

[eqn: p]	[eqn: q]	[eqn: p`` -> `q]
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T

예제 1.17

명제 p → ~(p∧q)의 진리표를 작성하여라.

풀이

[eqn: p]	[eqn: q]	[eqn: SIM (p WEDGE q)]	[eqn: p` -> SIM (p` WEDGE `q)]
T	T	F	F
T	F	T	T
F	T	T	T
F	F	T	T

쌍조건문 ([eqn: p``lrarrow``q]): 두 개의 조건문 [eqn: p`` rarrow``q]와 [eqn: q` `rarrow ``p]를 “이고”로 연결한 합성명제 “[eqn: p]이면 [eqn: q]이고, [eqn: q]이면 [eqn: p]이다” ([eqn: p] if and only if [eqn: q])

명제 [eqn: p]와 [eqn: q]가 모두 참이거나 혹은 모두 거짓일 경우에만 [eqn: p``lrarrow``q]의 진리값이 참이 된다.

[표 1.5]  쌍조건문 [eqn: p``lrarrow``q]에 대한 진리표

[eqn: p]	[eqn: q]	[eqn: p`` <-> ``q]
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	T

항진명제: 그 명제를 구성하고 있는 각 명제의 진리값에 상관없이 항상 참인 합성명제

모순명제: 그 명제를 구성하고 있는 각 명제의 진리값에 상관없이 항상 거짓인 합성명제

Ex) 합성명제 [eqn: sim p `LOR`p]는 항진명제이고, [eqn: sim p `LAND`p]는 모순명제이다.

동치명제 ([eqn: LRARROW] 혹은 [eqn: ==]): 동일한 진리값을 가지는 두 명제

Ex) 두 명제 [eqn: p]와 [eqn: sim (sim p)]는 동치명제이다. ([eqn: p `==` sim (sim p)])

예제 1.18

명제 [eqn: p``rarrow ``q]와 [eqn: sim p LOR`q]는 서로 동치 관계임을 증명하여라.

풀이

[eqn: p]	[eqn: q]	[eqn: p`` -> ``q]	[eqn: SIM p LOR `q]
T	T	T	T
T	F	F	F
F	T	T	T
F	F	T	T

Note: 집합에서와 마찬가지로 명제에서도 드 모르간의 법칙이 존재한다.

[eqn: sim (p` LOR`q) ```LRARROW sim p ``LAND SIM q]

[eqn: sim (p` LAND`q) ```LRARROW sim p ``LOR SIM q]

Note: 명제는 논리곱 [eqn: LAND] 및 논리합 [eqn: LOR] 연산에 대해서 교환법칙, 결합법칙, 그리고 배분법칙이 성립한다. (이들은 진리표 작성을 통하여 증명할 수 있다.)

∙ 교환법칙: [eqn: p`LOR`q＝q`LOR`p,~ p`LAND`q`＝q`land`p]

∙ 결합법칙: [eqn: (p`lor`q)`lor`r＝p`lor`(q`lor`r),~ (p`land`q)`land`r＝p`land`(q`land`r)]

∙ 배분법칙: [eqn: p`lor`(q`land`r)＝(p`lor`q)`land`(p`lor`r),~ p`land`(q`lor`r)＝(p`land`q)`lor`(p`land`r)]

1.3.3  명제의 역, 이, 대우

명제 [eqn: p ``rarrow``q]에 대해서,

역: [eqn: q ``rarrow ``p]

이: [eqn: sim p``rarrow ``sim q]

대우: [eqn: sim q``rarrow ``sim p]

[그림 1.3]  역, 이, 대우의 관계

예제 1.19

“2가 짝수이면, 2＋2는 홀수이다.”라는 조건문에 대한 역, 이, 대우를 구하여라.

풀이

역 : 2＋2가 홀수이면, 2는 짝수이다.

이 : 2가 짝수가 아니면, 2＋2는 홀수가 아니다.

대우 : 2＋2가 홀수가 아니면, 2는 짝수가 아니다.

[표 1.6]  조건문 [eqn: p`` -> ``q]에 대한 역, 이, 대우의 진리표

[eqn: p]	[eqn: q]	[eqn: p`` -> ``q]	[eqn: q`` -> ``p]	[eqn: SIM p`` -> `` SIM q]	[eqn: SIM q`` -> `` SIM p]
T	T	T	T	T	T
T	F	F	T	T	F
F	T	T	F	F	T
F	F	T	T	T	T

Note: 명제 [eqn: p``rarrow``q]는 그 명제의 대우에 해당하는 [eqn: sim q``rarrow ``sim p]와 진리값이 일치한다.

1.3.4  조건명제

조건명제 ([eqn: p(x)]): [eqn: x]라는 변수를 포함하고, [eqn: x] 대신에 특정 값을 대입할 때 비로소 참과 거짓을 판정할 수 있는 명제

예제 1.20

아래의 명제들이 조건명제인지를 판별하고, 조건명제인 경우에 진리값이 참이 되는 조건을 기술하여라.

a) [eqn: x`＋`10>0]이다.

b) [eqn: x^2`＋`10>0]이다.

풀이

명제 a)는 조건 명제이다. 즉, [eqn: x`>-10]인 경우에는 참인 진리값을 가지며, [eqn: x` LEQ `-10]인 경우에는 거짓인 진리값을 갖는다.

명제 b)는 조건 명제가 아니다. 즉, [eqn: x]값에 상관없이 주어진 명제의 진리값은 참이 된다.

조건명제 [eqn: p(x)]의 진리집합: 전체집합 [eqn: U]에 대해서 조건명제 [eqn: p(x)]가 참의 값을 갖도록 하는 [eqn: U]의 원소들의 집합

예제 1.21

전체집합 [eqn: U`＝LEFT {-13,`` -12,`` -11,`` -10,`` -9,`` -8 RIGHT }]와 조건명제 [eqn: p(x)]: “[eqn: x`＋`10>0]”가 주어질 때, [eqn: p(x)]의 진리집합을 구하여라.

풀이

[eqn: p(x)]의 진리집합은 [eqn: LEFT { -9,``-8 RIGHT }]이다.

1.3.5  필요 및 충분조건

명제 [eqn: p ``rarrow ``q]가 참(T)일 때 [eqn: p`` RARROW``q]로 표기하며, [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 충분조건이라 하고, [eqn: q]는 [eqn: p]이기 위한 필요조건이라 한다.

(Ex) “[eqn: x=0]이면 [eqn: xy`=0]이다.”라는 명제는 참이다.

이때, [eqn: x=0]는 [eqn: xy=0]이기 위한 충분조건이며,

[eqn: xy=0]는 [eqn: x=0]이기 위한 필요조건이다.

(즉, [eqn: xy=0]란 [eqn: x=0] 혹은 [eqn: y=0]이 될 수 있음을 의미하기 때문에, [eqn: xy=0]이 [eqn: x=0]이기 위한 충분한 조건은 아님을 의미한다.)

예제 1.22

[eqn: wx=wy]는 [eqn: x=y]이기 위한 충분조건 인지 필요조건인지 판별하여라.

풀이

[eqn: w=0]일 경우에는 [eqn: x != y]라도 [eqn: wx=wy]가 되기 때문에, [eqn: wx=wy]는 [eqn: x=y]이기 위한 필요조건이다.

명제 [eqn: p ``rarrow ``q]가 참(T)이고 명제 [eqn: q``rarrow ``p]가 참(T)일 때 [eqn: p`` LRARROW ``q]로 표기하며, [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 필요충분조건, [eqn: q]는 [eqn: p]이기 위한 필요충분조건이라 한다.

예제 1.23

[eqn: x=y]는 [eqn: x＋w＝y＋w]이기 위한 필요충분조건인지 밝혀라.

풀이

[eqn: x=y]이면 [eqn: x＋w＝y＋w]가 참이고, [eqn: x＋w＝y＋w]이면 [eqn: x=y]도 참이 되므로 필요충분조건이다.

조건명제 [eqn: p]와 [eqn: q]를 만족하는 진리집합을 [eqn: P], [eqn: Q]라고 하자.

이때, [eqn: P SUBSET Q]이면 [eqn: p ``rarrow ``q]이고, [eqn: P ```=Q]이면 [eqn: p``LRARROW``q]이다.

예제 1.24

명제 “[eqn: 7``LEQ`x`` LEQ`8]”와 명제 “[eqn: 1`LEQ`x `LEQ`10]”의 진리집합을 구하고, 필요조건인지 충분조건인지를 밝혀라.

풀이

명제 [eqn: 7`` LEQ `x`` LEQ `8]을 만족하는 진리집합은 [eqn: LEFT { x`|`7` LEQ `x` LEQ `8 RIGHT }]이고,

명제 [eqn: 1` LEQ `x` LEQ `10]을 만족하는 진리집합은 [eqn: LEFT { x`|`1` LEQ `x` LEQ `10 RIGHT }]이다.

이때, [eqn: LEFT { x`|`7` LEQ `x` LEQ `8 RIGHT } `` SUBSET ` LEFT { x`|`1` LEQ `x` LEQ `10 RIGHT }]이므로, [eqn: 7` LEQ `x` LEQ `8``` RARROW ``1` LEQ `x` LEQ `10]가 된다.

따라서, [eqn: 7` LEQ `x` LEQ `8]은 [eqn: 1` LEQ `x` LEQ `10]의 충분조건이 된다.

예제 1.25

세 가지의 조건명제 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]가 존재하고, [eqn: x]는 [eqn: y]이기 위한 충분조건, [eqn: y]는 [eqn: z]이기 위한 충분조건이라고 하자. 이때, [eqn: x]는 [eqn: z]이기 위한 충분조건임을 보여라.

풀이

즉, [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]를 참으로 하는 진리집합을 [eqn: X], [eqn: Y], [eqn: Z]라고 하자.

이때, 집합들 간의 포함관계는 [eqn: X``` SUBSET Y], [eqn: Y``` SUBSET Z]가 된다.

따라서, [eqn: X``` SUBSET Z]가 되므로 [eqn: x`` RARROW ``z]가 되고,

[eqn: x]는 [eqn: z]의 충분조건이 된다.

1.4

방정식

방정식(equation): 문자가 포함된 등식에서 문자 대신에 여러 가지 값을 대입할 때, 그 결과가 참도 되고 거짓도 되는 등식

해(근): 방정식을 참이 되게 하는 문자의 값

(Ex) [eqn: 2x-1=x]은 문자 [eqn: x]에 대한 방정식이다.

[eqn: x=1]일 때 등식의 결과가 참이 된다.

그러므로, 방정식의 해는 1이다.

(Ex) [eqn: 2x＋2＝2(x＋1)]은 방정식이 아니다.

[eqn: x]에 어떤 값을 대입해도 등식은 항상 참이 되며, 이러한 등식을 항등식이라고 한다.

1.4.1  일차방정식

일차방정식: 미지수(문자)의 최고 차수가 일차인 방정식

이차방정식: 미지수의 최고 차수가 이차인 방정식

일원일차방정식: 미지수가 하나인 일차방정식

(Ex)	[eqn: x-1=0]	일원일차방정식

[eqn: x^2`－x－2＝0]	일원이차방정식

[eqn: x＋y＝0]	이원일차방정식

[eqn: x^2`＋y＝0]	이원이차방정식

일차방정식을 푸는 방법

(1) 등호를 중심으로 미지수는 좌변으로, 상수항은 우변으로 이동시킨다.

(2) [eqn: ax=b] 형태로 정리한다.

(3) [eqn: x=b/a]라는 해를 구한다.

일차방정식([eqn: ax=b])의 해

(1) [eqn: a != 0]인 경우(해 존재): [eqn: x=b/a]

(2) [eqn: a=0]이고 [eqn: b!=0]인 경우(불능): [eqn: 0 cdot x=b]를 만족하는 x의 해가 존재하지 않는다.

(3) [eqn: a=0]이고 [eqn: b=0]인 경우(부정): [eqn: 0 cdot x=0]을 만족하는 x의 해는 너무 많다.

예제 1.26

일원일차방정식 [eqn: 7x＋10＝2x－5]의 해를 구하여라.

풀이

ⅰ) [eqn: 7x－2x＝-10－5] (미지수를 포함하는 하는 항을 우측으로 옮김)

ⅱ) [eqn: 5x＝-15] ([eqn: ax=b] 형태로 정리함)

ⅲ) [eqn: x＝-15/5＝-3] (미지수 [eqn: x]의 계수 5로 양변을 나누어 해를 구함)

예제 1.27

[eqn: x]에 관한 방정식 [eqn: ax+b=c]에 대한 해를 구하여라.

풀이

[eqn: ax＝(c－b)], [eqn: x＝(c－b)/a]이므로, [eqn: x]의 해를 구하면

ⅰ) [eqn: a != 0]인 경우, [eqn: x＝(c－b)/a]이고

ⅱ) [eqn: a=0]이고, [eqn: c != b]인 경우, 불능이며

ⅲ) [eqn: a=0]이고, [eqn: c=b]인 경우, 부정인 해를 가진다.

1.4.2  이차방정식

이차방정식: 미지수의 최고 차수가 이차인 방정식 (2개의 해가 존재)

(1) 인수 분해

(2) 근의 공식

인수분해의 기본공식

① [eqn: ax－a＝a(x－1)]

② [eqn: x^2`+-`2ax＋a^2`＝(x`+-`a)^2]

③ [eqn: x^2`－a^2`＝(x＋a)(x－a)]

④ [eqn: x^2`＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)]

⑤ [eqn: abx^2`＋(ad＋bc)x＋cd＝(ax＋c)(bx＋d)]

⑥ [eqn: x^3`＋a^3`＝(x＋a)(x^2`－ax＋a^2`), ``` x^3`－a^3`＝(x－a)(x^2`＋ax＋a^2`)]

⑦ [eqn: x^3``+-` 3x^2`a`+`3xa^2``+-`a^3`= (x `+-`a)^3]

예제 1.28

이차방정식 [eqn: x^2`－4x＋4＝0]의 해를 구하여라.

풀이

[eqn: x ^{2} `－4x＋4＝(x－2) ^{2} `＝0]

[eqn: x=2] (중근)

예제 1.29

이차방정식 [eqn: x^2 `-16=0]의 해를 구하여라.

풀이

[eqn: x ^{2} `－16＝(x＋4)(x－4)＝0]

[eqn: x=4,```-4] (두 개의 서로 다른 해)

예제 1.30

이차방정식 [eqn: 6x^2`＋x－12＝0]의 해를 구하여라.

풀이

[eqn: 6x ^{2} `＋x－12＝(2x＋3)(3x－4)＝0]

[eqn: x=-3/2,~4/3] (두 개의 서로 다른 해)

- 근의 공식

이차방정식 [eqn: ax^2`＋bx＋c＝0(a !=0)]의 근(해)은 [eqn: x= {-b±SQRT { b^2 - 4ac}} over{2a}]이다.

(cf. [eqn: b]가 [eqn: 2b'](짝수)인 경우: [eqn: x= {-b'±SQRT { b'^2 - ac}} over{a}])

ⅰ) [eqn: ax^2`＋bx＋c＝0 (a !=0)]을 [eqn: ax^2`＋bx＝-c]로 정리하고 양변을 [eqn: a]로 나눈다.

ⅱ) [eqn: x^2`＋b/ax＝-c/a]에서 양변에 [eqn: (b/2a)^2]을 더한다.

ⅲ) [eqn: x^2`＋b/ax＋(b/2a)^2`＝(b/2a)^2`－c/a]는 [eqn: (x＋b/2a)^2`＝(b^2`－4ac)/4a^2]으로 정리된다.

ⅳ) [eqn: x＋b/2a＝± SQRT { b^2 -4ac} /2a]로 정리되며, [eqn: x= {-b±SQRT { b^2 - 4ac}} over{2a}]가 된다.

예제 1.31

[eqn: x^2`－4x－12＝0]의 근을 구하여라.

풀이

근의 공식을 이용하여 풀어보면,

[eqn: x= {-(-4)± sqrt {(-4) ^{2} -4(1)(-12)}} over {2(1)} = {4±8} over {2}]

그러므로, [eqn: x＝6,~-2]이다.

예제 1.32

[eqn: x^2`－5x－3＝0]의 근을 구하여라.

풀이

근의 공식을 이용하여 풀어보면,

[eqn: x= {-(-5)± sqrt {(-5) ^{2} -4(1)(-3)}} over {2(1)} = {5± sqrt {37}} over {2}]이 된다.

그러므로, [eqn: x= {5+ sqrt {37}} over {2} ,``` {5- sqrt {37}} over {2}]이다.

1.4.3  판별식

판별식(discriminant): [eqn: D] = [eqn: b^2`－4ac]

a) [eqn: D``>0]인 경우에는 서로 다른 두 실근이 존재하며,

b) [eqn: D`=`0]인 경우에는 중근이 존재하며, 그리고

c) [eqn: D``<`0]인 경우에는 서로 다른 두 허근이 존재한다.

예제 1.33

[eqn: x^2`＋x－k＝0]의 근을 판별하여라.

풀이

[eqn: D``＝(1) ^{2} `－4(1)(-k)＝1+4k]이며,

ⅰ) [eqn: k```>``- {1} over {4}]이면, 서로 다른 두 실근을 가지며,

ⅱ) [eqn: k```=`- {1} over {4}]이면, 중근을 가지며,

ⅲ) [eqn: k ```<`- 1over4]이면, 서로 다른 두 허근을 갖는다.

1.4.4  고차방정식

고차방정식:  삼차 이상의 방정식

고차방정식의 해:

(1) 항상 해를 구할 수 있는 것은 아니며, 인수분해가 되거나 조건이 주어지는 특수한 경우에만 근을 구할 수 있다. (인수분해 기본공식 ⑥, ⑦과 같은 형태)

예제 1.34

삼차방정식 [eqn: x^3`＋1＝0]이 해를 구하여라.

풀이

i) 인수분해 기본공식 ⑥: [eqn: x ^{3} `＋1＝(x＋1)(x ^{2} `－x＋1)＝0]

ii) [eqn: x`=`-1]의 값을 가지며, 또한 근의 공식에 의해서
[eqn: x= {-(-1)± sqrt {(-1) ^{2} -4}} over {2} = {1± sqrt {3} i} over {2}] 값을 갖는다.

고차방정식의 해:

(2) 치환을 통하여 인수분해 기본공식 형태로 변형한 뒤에 방정식을 푼다.

예제 1.35

사차방정식 [eqn: x^4`－1＝0]의 해를 구하여라.

풀이

i) [eqn: t``=x ^{2}]으로 치환한 뒤에, [eqn: t ^{2} `-1=0]로 변형한다.

ii) [eqn: t ^{2} `－1＝(t＋1)(t－1)]이므로, [eqn: t`=`1,~-1]값을 갖는다.

iii) [eqn: x ^{2} `＝1], [eqn: x ^{2} ``=`-1]을 풀면, [eqn: x`=`1,```-1], [eqn: i], [eqn: -i] 값을 갖는다.

고차방정식의 해:

(3) 주어진 방정식 [eqn: f(x)]에 대해서 [eqn: f(a)=0]임을 알 때, [eqn: f(x)＝(x－a)g(x)] 형태로 인수분해 될 수 있다는 사실을 이용한다.

예제 1.36

삼차방정식 [eqn: x^3`－3x－2＝0]의 근을 구하여라.

풀이

i) [eqn: x`=`-1]일 때, 주어진 방정식이 성립함을 알 수 있다.

ii) [eqn: x ^{3} `－3x－2＝(x＋1)(x ^{2} `－x－2)＝(x＋1)(x－2)(x＋1)＝0]

iii) 그러므로, [eqn: x`＝`-1,~2,~-1]의 근을 갖는다.

1.4.5  연립방정식

연립방정식: 두 종류 이상의 미지수를 포함한 두 개 이상의 방정식들의 모임

이원일차연립방정식: 미지수의 종류가 2개이고, 미지수의 최고차수가 일차만으로 되어 있는 연립방정식 (e.g., [eqn: x+y=5], [eqn: 2x－3y＝5])

삼원일차연립방정식: 미지수의 종류가 3개이고, 미지수의 최고차수가 일차만으로 되어 있는 연립방정식 (e.g., [eqn: x＋y＋z＝2], [eqn: x＋y－2z＝5], [eqn: 2x－y－4z＝8])

예제 1.37

다음의 삼원일차연립방정식의 해를 구하여라.

[eqn: x＋y－z＝1]	(1)

[eqn: 2x－2y＋z＝6]	(2)

[eqn: x＋3y＋z＝-1]	(3)

풀이

ⅰ) 식(1)과 (2)를 더하여 미지수 [eqn: z]를 소거함 : [eqn: 3x－y＝7]	(4)

ⅱ) 식(1)과 (3)을 더하여 미지수 [eqn: z]를 소거함 : [eqn: 2x＋4y＝0]	(5)

ⅲ) 이원일차연릭방정식을 만들었음.

ⅳ) 식(4)를 [eqn: y＝3x－7]로 변형하고, 이를 식(5)에 대입함 : [eqn: 2x＋4(3x－7)＝0]	(6)

ⅴ) 식(6)을 정리하면 [eqn: 14x＝28]이 되며, [eqn: x=2]를 구함.

ⅵ) [eqn: x=2]를 식(4)에 대입함으로써, [eqn: y=-1]을 구함.

ⅶ) [eqn: x=2], [eqn: y=-1]을 식(1)에 대입함으로써, [eqn: z=0]을 구함.

연습문제

1

다음 중 옳지 않은 것은 모두 골라라.

연습문제

(a) [eqn: left {1right }`` SUBSET `left {1,`` 2 right }]	(b) [eqn: 1`` SUBSET `left {1,`` 2 right }]

(c) [eqn: phi`` SUBSET `left {phi right }]	(d) [eqn: left {1 right } ``` SUBSET left {left{1 right },~ left {2 right } right}]

(e) [eqn: left {1 right }`` in `left {1,~`2 right }]	(f) [eqn: 1`` in `left {1,`` 2 right}]

(g) [eqn: phi`` in `left {phi right }]	(h) [eqn: left {1 right } ```in ``left {left {1 right },`` left {2 right } right}]

2

다음의 집합을 조건제시법으로 나타내어라.

(a) [eqn: left {`0, ``2, ``4,`` 6,`` 8, ``10,`` LDOTS right }]

(b) [eqn: left {2,`` 3,`` 5,`` 7 right }]

(c) [eqn: left {4,`` 8,`` 12,`` 16,`` LDOTS right }]

(d) [eqn: left {-3,`` -2,`` -1,`` 0,`` 1,`` 2,`` 3 right }]

3

다음 집합의 부분집합을 모두 나열하여라.

(a) [eqn: left {1,`` 2,`` 3 right }]

(b) [eqn: left {1,``left {2,`` 3 right } right }]

(c) [eqn: LEFT { phi RIGHT }]

4

자연수의 집합을 [eqn: N], 정수의 집합을 [eqn: I], 유리수의 집합을 [eqn: Q], 실수의 집합을 [eqn: R], 복소수의 집합을 [eqn: C]라 할 때, 집합의 포함관계를 나타내어라.

5

[eqn: n]개의 원소를 가진 집합 [eqn: A`＝left {`a_1`, ```a_2`,``` LDOTS``` a_n right }]의 진부분집합의 개수를 구하여라.

6

전체집합 [eqn: U]의 부분집합 [eqn: A], [eqn: B]에 대해서 [eqn: A－(B` SMALLUNION`C`)`= (A－B)－C]이다.

(a) 벤다이어그램을 이용하여 등식이 성립함을 증명하여라.

(b) [eqn: A－B```＝A` SMALLINTER` B^c] 관계를 이용하여 등식이 성립함을 증명하여라.

7

30명의 학생에게 문제 [eqn: a], [eqn: b]를 풀게 하였다. 문제 [eqn: a]를 푼 학생은 20명, 문제 [eqn: b]를 푼 학생은 15명, 문제 [eqn: a]와 [eqn: b]를 모두 풀지 못한 학생은 10명이였다. 이때, 문제 [eqn: a]만 푼 학생은 모두 몇 명인가?

8

집합 [eqn: A], [eqn: B]에 대해서 [eqn: A TIMES B]를 다음과 같이 정의한다.

[eqn: A `TIMES`B```＝LEFT { (x,`` y)`|`x ``IN `A,``` x IN `B `RIGHT }].

[eqn: A`＝LEFT {1,`` 2 RIGHT }], [eqn: B``＝LEFT {a,`` b,`` c RIGHT }]일 때, [eqn: A TIMES B]의 부분집합의 총 수를 구하여라.

9

명제 [eqn: p], [eqn: q]에 대해서 아래의 합성명제에 대한 진리표를 작성하여라.

(a) [eqn: SIM(p``` LOR SIM q)]

(b) [eqn: sim p ``rarrow ``q]

(c) [eqn: sim(p ```LAND simp) ``rarrow ``(p`` `LOR simp)]

(d) [eqn: sim((p ``rarrow ``q)```LAND (q``rarrow``p))]

10

다음 명제들의 역, 이, 대우를 기술하고, 그 진리값을 결정하여라.

(a) 1＋1＝10이면 1 × 1＝1이다.

(b) [eqn: A]가 여대생이면 [eqn: A]는 대학생이다.

(c) 2가 홀수면 5는 짝수이다.

(d) 토끼가 동물이면 거북이는 식물이다.

11

다음 조건명제들의 부정을 기술하고, 그 진리집합을 구하여라.

(a) [eqn: x `leq 7]

(b) [eqn: 1`<`x`leq`7]

(c) [eqn: x<1] 또는 [eqn: x>7]

(d) [eqn: x>1]이면 [eqn: x>7]

12

괄호 안에 필요, 충분, 필요충분 중에서 적절한 용어를 적으라.

(a) [eqn: a^2`＝`b^2]는 [eqn: a=b]이기 위한 (      ) 조건이다.

(b) [eqn: A=B]인 것은 [eqn: (A` SMALLINTER`B) ` SUBSET `(A` SMALLUNION` B)]이기 위한 (      ) 조건이다.

(c) [eqn: A` SMALLINTER`(B`SMALLINTER`C`)＝A]인 것은 [eqn: A` SMALLUNION`(B`SMALLUNION`C`)＝B`SMALLUNION`C]이기 위한 (      ) 조건이다.

(d) [eqn: x=2] 또는 [eqn: x=3]은 [eqn: x^2`－5x＋6＝0]이 위한 (      ) 조건이다.

13

[eqn: a], [eqn: b]가 실수일 때, 명제 “[eqn: a＋b`>`2]이면 [eqn: a>1] 또는 [eqn: b>1]”의 진리값이 참임을 증명하여라. (힌트 : 명제의 대우를 이용함.)

14

조건명제 [eqn: p(x): ``x^2`－1 LEQ 0] 또는 [eqn: x` GEQ`5,~ q(x):`` x`GEQ`a,~`r(x):`` x `GEQ `b]에서 [eqn: p(x)]는 [eqn: q(x)]이기 위한 충분조건이고, [eqn: p(x)]는 [eqn: r(x)]이기 위한 필요조건일 때, 실수 [eqn: a], [eqn: b]의 범위를 구하여라.

15

다음 일차방정식의 해를 구하여라.

(a) [eqn: 3x+2=x+6]

(b) [eqn: x over 2 + 2= 2x-5 over 3]

(c) [eqn: ax-x=a^2 -1]

(d)[eqn: ∣x∣-1=x+SQRT { x^2}]

16

다음 이차방정식의 해를 구하여라.

(a) [eqn: x^2 -4x+4=0]

(b) [eqn: 2x^2 +x -6 =0]

(c) [eqn: x^2 -4x-3=0]

(d) [eqn: x^2 -2x-3=0]

(e) [eqn: (SQRT { 2}-1)x^2 -(3-SQRT { 2} )x=-SQRT { 2}]

(f) [eqn: kx^2 +1 =-(k+1)x]

17

다음 이차방정식의 근을 판별하여라.

(a) [eqn: x^2 +5x-4=0]

(b) [eqn: x^2 -4SQRT { 3 }x+12=0]

(c) [eqn: 4x^2 -6x+5=0]

(d) [eqn: 2x^2 -6x+k=0]

(e) [eqn: ax^2 -2bx-a+2b=0]

18

다음의 두 수를 근으로 갖는 이차방정식을 구하여라.

(a) 3, -5

(b) [eqn: -1+SQRT { 2},~-1-SQRT { 2}]

(c) [eqn: 2＋i], [eqn: 2－i](참고로, [eqn: SQRT { -1}=i]이며, [eqn: i^2 =-1]이다.)

(d) [eqn: 2x^2 -5x-3=0]의 두 근을 [eqn: a], [eqn: b]라 할 때, [eqn: a-1], [eqn: b-1]

19

다음의 고차방정식의 해를 구하여라.

(a) [eqn: 2x^3`+x^2`-5x+2-0]

(b) [eqn: x^3 +x-2=0]

(c) [eqn: 2x^4`+x^2`-1=0]

20

다음의 연립방정식의 해를 구하여라.

(a) [eqn: x＋y＋z＝6],  [eqn: 2x＋y－z＝1],  [eqn: 3x－2y＋z＝2]

(b) [eqn: 2x＋3y＋4z＝3], [eqn: x＋5z＝3], [eqn: 3x＋2y＋6z＝2]

(c) [eqn: {1 over x}-{3 over y}+{2 over z}=5], [eqn: {2 over x}+{1 over y}+{6 over z}=4], [eqn: {3 over x} +{2 over y}-{4 over z} =-1]