6장. 벡터

IT 전공자를 위한 기초수학

6

6.1 벡터와 벡터공간

6.2 벡터의 내적

6.3 벡터의 외적

6.4 벡터의 응용

6.1

벡터와 벡터공간

6.1.1  벡터의 정의

벡터: 2차원 평면이나 3차원 공간에서의 방향과 크기를 갖는 방향선분

- 시점이 [eqn: A]이고 종점이 [eqn: B]인 벡터는 [eqn: vec AB `]로 표시한다.

- 벡터 [eqn: vec{a} `]의 크기(방향선분의 길이)를 [eqn: LEFT | ``` vec{a} ``` RIGHT |]로 나타낸다.

- 벡터 [eqn: vec{AB} `]는 [eqn: A]의 위치와 상관없이 크기와 방향만을 생각한다.

- 두 개의 벡터가 같다는 것은 두 벡터의 방향과 크기가 같을 때를 말한다.

벡 터

[그림 6.1]  벡터의 표현

- 시점과 종점이 같은 벡터를 영벡터라 하고 [eqn: vec{0} `]으로 표시한다.

- 크기가 1인 벡터를 단위벡터라 한다.

- 벡터에 대응하여 크기만 갖는 양을 스칼라라 한다.

- 평면벡터: 2차원 평면에서의 벡터

- 공간벡터: 3차원 공간에서의 벡터

6.1.2  공간벡터의 성분

(1) 기본벡터(basic vector)

크기가 1인 벡터를 단위벡터라 하고 [eqn: vec{e} ```]로 나타낸다.

좌표평면에서 [eqn: x]축, [eqn: y``]축의 양의 방향의 각 단위벡터 [eqn: vec{e _{1}} `,~ vec{e _{2}} `]를 기본벡터라 한다.

기본벡터 [eqn: vec{e _{1}} `,~ vec{e _{2}}]의 종점의 좌표는 각각 (1, 0), (0, 1), 즉, [eqn: vec{e _{1}} ``=(1,``0)], [eqn: vec{e _{2}} ``=(0,``1)]이다.

[그림 6.2]  기본 단위벡터의 표현

(2) 벡터의 성분과 성분표시

시점이 [eqn: O](원점)이고 종점이 [eqn: A][eqn: (a_1 `,```a_2`)]인 벡터를 [eqn: vec a``]라고 하면,

[eqn: vec a ```={rm vec OA}``=```a_1 `vec e_1 ```+``a_2 `vec e_2 ``]

- [eqn: a_1]을 [eqn: vec a]의 [eqn: x` `]성분, [eqn: a_2]를 [eqn: vec a]의 [eqn: y]성분이라 한다.

- [eqn: a_1 ,```a_2]를 벡터 [eqn: vec a]의 성분이라 하며 [eqn: vec a]를 [eqn: vec a `=`(a_1 , ``` a_2 )]로 나타낸다.

- 벡터 [eqn: vec a]를 [eqn: vec a =(a_1 ,```a_2`)]로 나타낼 때, 이것을 벡터의 성분표시라고 한다.

- 벡터의 성분 및 성분표시에서의 특징

① 한 점 [eqn: A(a_1 , ```a_2 `)]가 주어지면 [eqn: vec OA =(a_1, ``a_2 `)]가 결정되므로 점과 벡터의 성분 표현은 같다.

② 성분표시 [eqn: vec a = (a_1 , ``a_2 `)]는 [eqn: vec a]의 시점이 원점과 일치되도록 [eqn: vec a]를 평행이동 하였을 때의 종점의 좌표이다.

③ 벡터는 어느 위치에 있든지 크기와 방향이 같으면 같은 벡터이므로 임의의 벡터는 원점을 시점으로 하는 벡터로 하여 위치벡터로 나타낼 수 있다.

- 일반적인 평면벡터의 성분에 대한 성질

[eqn: vec a = ( a_1 , ``a_2 `)], [eqn: vec b = ( b_1 , ``b_2 `)]이고, [eqn: k]가 실수일 때,

∙ 벡터의 길이(크기) : [eqn: LEFT | ``vec a``RIGHT |``` = root {a_1 `^2 ``+`` a_2 `^2 ``}`]

∙ 벡터의 상등 : [eqn: vec a ``=`` vec b```⇔```a_1` =`` b_1 `,~a_2 `=` b_2] (두 벡터의 시점을 원점으로 잡으면 일치한다.)

∙ 벡터의 덧셈․뺄셈 : [eqn: vec a ``+-`` vec b ```⇔ ``` (a_1 +- b_1 `,~ a_2 +- b_2 `)` `] (부호 동순)

∙ 벡터의 실수배(스칼라배) : [eqn: k``vec a ``=``(`k` a_1 `,``` k`a_2 `)]

예제 6.1

[eqn: vec a`` =(2,```1) ,~vec b ``=(-1,```3)]일 때, [eqn: vec c`` =(3,```5)]를 [eqn: m vec a ``+`` n vec b]의 형태로 나타내면 [eqn: 2`vec a ``+`` vec b`]임을 쉽게 확인할 수 있다.

위의 경우 [eqn: vec c`]가 [eqn: vec a ,``` vec b]의 일차결합으로 표시될 수 있고 그 방법은 유일하다.

예제 6.2

[eqn: vec a`` =(2,```1) `,~`vec b ``=(1,```3)`, ~vec c``=(4,```-3)]이고 [eqn: vec c`` = x` vec a ``+`` y` vec b]를 만족할 때, [eqn: x`+`y]의 값을 구하여라.

풀이

계수비교법을 이용하면,

[eqn: x vec{a} =(2x,~x)# #y vec {b }=(y,~3y)# # vec { c}=x vec { a}+y vec { b} 이므로# # 2x+y=4,~~x+3y=-3]

∴ [eqn: x=3, ```y=-2] 이므로 [eqn: x+y=1]이다.

[eqn: vec 0`]가 아닌 임의의 두 벡터 [eqn: vec a ,``` vec b]가 평행하지 않을 때 임의의 벡터 [eqn: vec c]는 [eqn: vec c`` = p `vec a ```+`` q `vec b][eqn: (p,``q ``in ``R`)]의 형태로 나타낼 수 있다.

(3) 벡터의 평행

어느 성분도 0이 아닌 벡터 [eqn: vec a ``=(a_1 , ```a_2 )], [eqn: vec b ``=(b_1 , ```b_2 )]에서

[eqn: vec a ``// vec b]  [eqn: ⇔`````vec a = k` vec b] ([eqn: k IN R])  [eqn: ⇔``` a_1 over b_1 = a_2 over b_2 = k]

즉 한 벡터가 다른 벡터의 상수배일 때, [eqn: vec a , ```vec b]는 평행하다고 한다.

(4) 방향코사인

평면에서 한 개의 방향직선 [eqn: g]와 [eqn: x]축, [eqn: y]축의 양의 방향과 이루는 각을 각각 [eqn: alpha], [eqn: beta]라고 할 때, [eqn: cos alpha], [eqn: cos beta]를 직선 [eqn: g]의 방향코사인이라 한다.

여기서, [eqn: vec a]의 방향코사인은 [eqn: ~vec a]와 같은 방향의 단위벡터의 성분을 나타낸다. ([그림 6.3] 참조)

즉, [eqn: vec a]와 같은 방향의 단위벡터는

[eqn: {vec{a}} over {` ^{`} LEFT | `` vec{a} `` RIGHT |} ~~=~ (cos` alpha ,~cos` beta )]

[그림 6.3]  방향코사인의 정의

∙ 방향코사인
[eqn: vec a]가 [eqn: x], [eqn: y]축과 이루는 각을 각각 [eqn: alpha], [eqn: beta]라면

[eqn: {vec{a}} over {LEFT | `` vec{a} `` RIGHT |} ``= LEFT ( {a _{1}} over {LEFT | `` vec{a} `` RIGHT |} , {a _{2}} over {LEFT | `` vec{a} `` RIGHT |} RIGHT ) ``=``(cos` alpha ,~cos` beta )]	(6.1)

∙ 방향코사인의 성질
[eqn: LEFT |``` {vec a} over { LEFT | ``vec a ``RIGHT | }``` RIGHT | ^2 `=`` cos^2 alpha + cos^2 beta]	(6.2)
[eqn: =``cos^2 alpha`+ sin^2 alpha`` = 1]

(5) 공간상의 기본벡터

좌표공간에서 [eqn: x]축, [eqn: y]축, [eqn: z]축의 양의 방향의 각 단위벡터 [eqn: vec e_1 `,~vec e_2 `,~vec e_3]를 기본벡터라 한다.

기본벡터 [eqn: vec e_1 `,~vec e_2 `,~vec e_3]의 종점의 좌표는 각각 (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)이다.

[그림 6.4]  공간상의 단위기본벡터 표현

(6) 공간상의 벡터 성분과 성분표시

시점이 [eqn: O](원점)이고 종점이 [eqn: A][eqn: (a_1 ,```a_2 ,```a_3 `)]인 벡터를 [eqn: vec a``]라고 하면,

[eqn: vec a ``=``vec OA][eqn: =`a_1` `vec e_1 ``+``a_2 ``vec e_2 ``+``a_3 ``vec e_3]

- [eqn: a_1 ,```a_2 ,```a_3`]를 각각 [eqn: vec a`` `]의 [eqn: x]성분, [eqn: y]성분, [eqn: z]성분이라 한다.

- [eqn: vec a `=`(a_1 ,``a_2 ,``a_3`)]로 나타내고 이것을 벡터의 성분표시라고 한다.

- 공간벡터의 성분에 대한 성질

[eqn: vec a = ( a_1 , a_2 ,a_3`)` `], [eqn: vec b = ( b_1 , b_2 ,b_3`)` `]이고 [eqn: k`` in R]일 때,

∙ 벡터의 길이(크기) : [eqn: vert vec a vert = root {a_1 `^2 ``+`` a_2 `^2 ``+`` a_3 `^2 ``}]

∙ 벡터의 상등      :  [eqn: vec a `=` vec b ```⇔``` a_1 = b_1 `,``` a_2 = b_2 `,``` a_3 = b_3 `` `]

∙ 벡터의 덧․뺄셈  :  [eqn: vec a ``+-`` vec b ```⇔``` (a_1 +- b_1 `,``` a_2 +- b_2 ,` ``a_3 +- b_3 )` `] (복호 동순)

∙ 벡터의 실수배    :  [eqn: k``vec a ``=``(`k` a_1`,``` k`a_2 `,``` k`a_3 `)]

예제 6.3

점 [eqn: A(1,``2,``3)], [eqn: B(-2,```3,``-1)]일 때, [eqn: vec AB]의 성분 및 크기를 표현하여라.

풀이

[eqn: vec{AB}]의 성분표시는 [eqn: vec{AB} = vec{OB} `- vec{OA}]로 표현할 수 있다.

따라서, [eqn: vec{AB} =(-3,`1,`-4)].

[eqn: vec AB`` `]의 크기는 정의에 의해 [eqn: vert vec AB vert = root {26`}]임을 알 수 있다.

예제 6.4

세 개의 벡터가 각각 [eqn: vec a = (1,2,1)], [eqn: vec b =(-1,0,1)], [eqn: vec c =(-2,5,3)]일 때,

[eqn: 3`( vec a - vec b `)`+][eqn: 2`(vec b - vec c `)=(8,```-4,```-4)]임을 확인할 수 있다.

(7) 공간상의 벡터의 평행

어느 성분도 0이 아닌 벡터 [eqn: vec{a}`` =(a_1` ,```a _2` ,```a_3 )], [eqn: vec{b} ``=``(b_1` ,```b_2` ,```b_3 )]의 평행 조건

[eqn: vec a ``//``` vec b ```` LRARROW````vec a` =` k`` vec b ~`][eqn: ``(k IN R ) `````LRARROW````` {a_1 over b_1}` = {a_2 over b_2}` =` {a_3 over b_3} = k] (단 [eqn: a_1 ``a_2 ``a_3 ``!=`` 0 , ``b_1 ```b_2 ```b_3 ```!=` 0])

(참고) 벡터성분 [eqn: (a_1 , ```a_2 ,`` `a_3 `)` `=` k`` (b_1 , ```b_2 , ```b_3 `)]에서 [eqn: a_1 `=` k ``b_1], [eqn: a_2 `=` k ``b_2], [eqn: a_3 `=` k ``b_3].

예제 6.5

[eqn: vec a`` = (1,```2,```3) ,~vec b `=`(x-1,```4,```y)]일 때 두 벡터가 평행이 되도록 하는 값은 [eqn: x=3], [eqn: y=6]임을 알 수 있다.

(8) 공간벡터의 방향코사인

영벡터가 아닌 벡터 [eqn: vec a]가 [eqn: x]축, [eqn: y]축, [eqn: z]축의 양의 방향과 이루는 각을 [eqn: alpha], [eqn: beta], [eqn: gamma]라 할 때, [eqn: cos alpha], [eqn: cos beta], [eqn: cos gamma]를 [eqn: vec a]의 방향코사인이라 한다.

[그림 6.5]  공간상의 방향코사인

- 방향코사인의 일반적인 특성

∙ [eqn: a_1 = vert vec a vert cos alpha`], [eqn: a_2 = vert vec a vert cos beta], [eqn: a_3 = vert vec a vert cos gamma` `]

∙ [eqn: vec a``=``(a_1 , ```a_2 , ```a_3 )]와 같은 방향의 단위벡터는

[eqn: {1} over {LEFT | `` vec{a} `` RIGHT |} BULLET vec{a} = LEFT (``{a _{1}} over {LEFT | `` vec{a} `` RIGHT |} ,~ {a _{2}} over {LEFT | `` vec{a} `` RIGHT |} ,~ {a _{3}} over {LEFT | `` vec{a} `` RIGHT |} ``RIGHT )``=``( cos alpha,```cos beta,```cos gamma`)]

∙ [eqn: vec a]의 방향코사인 → [eqn: cos alpha], [eqn: cos beta], [eqn: cos gamma]

∙ [eqn: vec a]의 방향코사인의 성질 : [eqn: cos^2`alpha + cos^2 `beta+cos^2`gamma`=1]

∙ [eqn: vec a]의 방향비 : [eqn: a_1 ``:`` a_2 ``:`` a_3 ``=`` cos alpha ````:`` cos beta ```:`` cos gamma]

예제 6.6

[eqn: vec a ``=(1,```2,```3)]일 때, [eqn: vec a]의 방향 코사인을 구하여라.

풀이

[eqn: LEFT | ``vec a``RIGHT | = root {14``}],

[eqn: cos alpha = 1 over {root {14``}}],[eqn: cos beta` = 2 over {root {14``}}],[eqn: cos gamma = 3 over {root {14``}}]

6.1.3  벡터의 연산

(1) 벡터의 덧셈(addition)

- 삼각형법: [eqn: vec a]의 종점과 [eqn: vec b]의 시점을 일치시키면 [eqn: vec a ``+`` vec b ``=` vec c]는 [eqn: vec a]의 시점을 시점으로 하고 [eqn: vec b]의 종점을 종점으로 갖는 벡터가 된다.

[그림 6.6]  두 벡터의 합(삼각형법)

- 평행사변형법: [eqn: vec a]와 [eqn: vec b]를 두 변으로 하는 평행사변형 [eqn: OACB]를 만들 때 [eqn: vec OC]와 같은 벡터 [eqn: vec c]를 [eqn: vec a]와 [eqn: vec b]의 합이라 하고 [eqn: vec a ```+`` vec b][eqn: =`` vec c]로 표시한다.

[그림 6.7]  두 벡터의 합(평행사변형법)

- 벡터의 덧셈에 대한 성질

∙ 교환법칙 성립 : [eqn: vec a`` +` vec b```=` vec b ``+` vec a]

∙ 결합법칙 성립 : [eqn: (`vec a`` +` vec b``) `+` vec c```= `vec a`` +` ( `vec b`` +``vec c`)]

∙ 덧셈에 대한 항등원 : [eqn: vec 0]

⇨ [eqn: vec a ``+`` vec 0 ``=`` vec 0 ``+`` vec a ``=`` vec a]

∙ 덧셈에 대한 [eqn: vec a]의 역원 : [eqn: - vec a]

⇨ [eqn: vec a ``+`` (- vec a ``)`=``(- vec a ``)`+`` vec a ``=`` vec 0]

(2) 벡터의 뺄셈 (덧셈에 대한 역 연산)

두 벡터 [eqn: vec a], [eqn: vec b`]에 대하여 [eqn: vec b ```+` vec x ``=`` vec a]를 만족하는 벡터 [eqn: vec x]를  [eqn: vec x ``=``vec a ``-`` vec b]로 표시한다.

[eqn: vec b ``+` vec x ``=` vec a ```LRARROW ``` vec x ``=` vec a ``-` vec b]

[eqn: vec a`]

[eqn: vec b`]

[eqn: veca``-``vec b `]

[그림 6.8]  두 벡터의 차

[eqn: veca`` -` vec b]는 [eqn: vec a], [eqn: vec b]의 시점을 일치시켰을 때 [eqn: vec b]의 종점에서 [eqn: vec a]의 종점으로 향하는 벡터이다.

(3) 벡터의 스칼라배(실수배)

∙ 벡터의 스칼라배 (실수 [eqn: m`]과 벡터 [eqn: vec a]와의 곱 [eqn: m ``vec a])

- [eqn: vec a`` !=` vec 0]일 때
① [eqn: m`＞``0]이면 방향은 [eqn: vec a]와 같은 방향이고 크기는 [eqn: m vert vec a vert]
② [eqn: m`＜`0]이면 방향은 [eqn: vec a]와 반대, 크기는 [eqn: vert m vert cdot vert vec a vert]
③ [eqn: m `=`0]이면 [eqn: vec a]와 관계없이 [eqn: vec 0](영벡터)이다. 즉, [eqn: 0 cdot vec a ```=``vec 0]

- [eqn: vec a ``=` vec 0]일 때는 임의의 [eqn: m]에 대하여  [eqn: m ``vec a``=``vec 0].

∙ [eqn: 1 cdot vec a = vec a],  [eqn: (-1) cdot vec a = -vec a],  [eqn: 0 cdot vec a = vec 0 `` `]

[그림 6.9]  벡터의 스칼라배

- 실수 [eqn: k], [eqn: l]과 벡터 [eqn: vec a], [eqn: vec b]에 대하여

[eqn: k(`l` vec{a} `)``=`(`k`l`)` vec{a} ```# # (`k`+`l`)` vec{a} ``=`k` vec{a} `+`l` vec{a}# # k(` vec{a} `+` vec{b} `)``=`k` vec{a} `+`k` vec{b}]- 결합법칙

분배법칙

6.1.4  위치벡터 (position vector)

벡터를 평행이동 시켜 시점을 [eqn: O]로 고정시킬 때  [eqn: vec a```=`vec OP]인 점 [eqn: P]에 대하여, 벡터 [eqn: vec a]를 점 [eqn: O]에 대한 점 [eqn: P]의 위치벡터(position vector)라고 한다.

(Ex) [eqn: vec AB], [eqn: vec CD]를 원점 [eqn: O]를 시점으로 하는 위치벡터로 나타내면 [eqn: vec AB ```=`vec a], [eqn: vec CD ```=`vec b]이다.

[eqn: O]

[eqn: y]

[eqn: x]

[그림 6.10]  위치벡터의 표현

- 벡터는 어디에 위치하든 크기와 방향이 같으면 같은 벡터이다.

- 만일, [eqn: vec OA]가 위치벡터이면 [eqn: O]가 원점이고, [eqn: vec PQ]가 위치벡터이면 P가 원점이다.

- 두 점 [eqn: A], [eqn: B]의 위치벡터를 각각 [eqn: vec a], [eqn: vec b]라 하면 [eqn: vec AB ```=`vecb ````- `vec a]가 된다. ([그림 6.11] 참조)

즉, 시점이 원점이 아닌 벡터는 언제나 두 위치벡터의 차로 표현할 수 있다.

[eqn: A]

[eqn: B]

[그림 6.11]  위치벡터의 예

예제 6.7

두 점 [eqn: A], [eqn: B]의 위치벡터를 [eqn: vec a], [eqn: vec b]라 할 때 선분 [eqn: AB]를 [eqn: m``:``n]으로 내분하는 점 [eqn: P]의 위치벡터 [eqn: vec p]는 [eqn: {m vec b ```+``n vec{a}} over {m``+``n}]임을 보여라.

풀이

선분 [eqn: AB]를 [eqn: m``:``n]으로 내분하는 점 [eqn: P]의 위치벡터를 [eqn: vec OP ```=`vec p],

외분하는 점의 위치벡터를 [eqn: vec OQ ```=`vec q]라 하면,

[eqn: vec p ```=``veca ``+``vec AP`]이고,  [eqn: AP ``=][eqn: {m} over {m+n} {AB}`]이므로

벡터의 스칼라배에 따라 [eqn: vec{AP} ```=` {m} over {m+n} ``vec{AB}```=`{m} over {m+n} `` ( vec{OB}``-`vec{OA})`]가 되고

[eqn: vec p ```=``veca ``+``vec AP` ``=` vec{a}```+`{m} over {m+n} ( `vec{b}``-`vec{a}`)].

[eqn: therefore ~~vec p ```=` {m vec{b} ``+``n vec{a}} over {m``+``n}`]

6.2

벡터의 내적

6.2.1  내적의 정의

두 벡터  [eqn: vec a], [eqn: vec b]가 이루는 각을 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: vec a], [eqn: vec b]의 내적을 [eqn: vec a`` cdot`` vec b``= LEFT | `` vec a``RIGHT |``` LEFT | `` vec b``RIGHT | `cos `theta]로 정의한다.

[내적의 기하학적 의미]

내적 [eqn: vec a cdot `vec b```= LEFT | ``vec a``RIGHT |``` LEFT | ``vec b`` RIGHT |`` cos theta]는 [eqn: vec a]의 크기와 [eqn: vec b]의 [eqn: vec a] 위로의 정사영의 크기를 곱한 것을 말한다.

[그림 6.12]  내적의 기하학적 설명

- 평면벡터의 내적 (6.2.2절 참조)

평면에서  [eqn: vec a ``= ( a_1 ,``` a_2 )], [eqn: vec b ``= ( b_1 , ```b_2 )]일 때, [eqn: vec a ``` cdot ``vec b ```=`a_1 `b_1 `+` a_2 `b_2]

- 공간벡터의 내적 (6.2.2절 참조)

공간에서 [eqn: vec a ``=` ( a_1 , ```a_2 , ```a_3 )], [eqn: vec b ``= ( b_1 , ```b_2 ,```b_3 )]일 때 [eqn: vec a ``cdot ``vec b ```=`a_1 `b_1 `+` a_2 `b_2 `+ a_3 `b_3]

- 두 벡터가 수직일 조건: 두 벡터 [eqn: vec a], [eqn: vec b]가 수직이면 [eqn: theta =]90°([eqn: cos theta = 0])이므로

[eqn: a_1 `b_1 ``+`` a_2 `b_2 ``=``0], [eqn: a_1 b _1 `+`a_2 b_2 `+`a_3 b_3 ``=`0]	(6.3)

- 두 벡터가 평행일 조건: 두 벡터 [eqn: vec a], [eqn: vec b]가 평행이면 [eqn: theta =]0°([eqn: cos theta = 1])이므로

[eqn: (a_1 b_1 + a_2 b_2 )^2 = (a_1^{2} + a_2^{2}``)``(b_1^{2}+ b_2^{2}`)]	(6.4)

- 벡터의 내적에 대한 특징

∙ 두 벡터의 시점을 일치시켰을 때 만들어진 각을 두 벡터가 이루는 각이라 한다. (일반적으로, 각 [eqn: theta]의 범위는 [eqn: 0 ≦`` theta ``≦ pi]로 한다.)

∙ 벡터의 내적 : 두 벡터 [eqn: vec a], [eqn: vec b]가 이루는 각을 [eqn: theta]라 할 때 [eqn: LEFT | `` vec a`` RIGHT |```` LEFT | `` vec b``RIGHT | ``cos theta]를 두 벡터 [eqn: vec a]와 [eqn: vec b]의 내적이라 하고 [eqn: vec a` cdot `vec b]로 표시한다. 즉, [eqn: vec a cdot `vec b```= LEFT | ``vec a``RIGHT |``` LEFT | ``vec b`` RIGHT |`` cos theta]

∙ 내적의 표시 :  [eqn: vec a` cdot `vec b] 또는 [eqn: (`vec a`,``` vec b `)]

∙ [eqn: vec a ``=` vec 0] 또는 [eqn: vec b ``=` vec 0]이면 두 벡터가 이루는 각을 정할 수 없으므로 [eqn: vec a` cdot vec b ``=` 0]으로 정의한다.

∙ [eqn: vec a ``=` vec b]일 때, [eqn: cos0°`=1]     [eqn: THEREFORE `` vec{a} ` CDOT ` vec{a} ```=` LEFT | `` vec{a} `` RIGHT | ``` LEFT | `` vec{a} `` RIGHT | ``=` LEFT | `` vec{a} `` RIGHT | ^{2}]

∙ 벡터의 내적은 벡터가 아니고 하나의 실수이다. 그래서 벡터의 내적을 스칼라 곱이라고도 한다. 또한 [eqn: theta]의 값에 따라 양, 0, 음의 값을 갖는다.

6.2.2  내적의 성분표현

(1) 평면벡터의 내적

[eqn: vec a ``= ( a_1 , ```a_2 )], [eqn: vec b ```= ( b_1 ,``` b_2 )]일 때, 두 벡터의 내적은

[eqn: vec a cdot `vec b```= LEFT | ``vec a``RIGHT |``` LEFT | ``vec b`` RIGHT |`` cos theta =` a_1 `b_1 `+` a_2 `b_2]

- 두 점 [eqn: A], [eqn: B]의 성분은 각각 [eqn: A(a_1`,```a_2 )], [eqn: B(b_1`,```b_2 )]로 나타낸다.

- [eqn: vec OA], [eqn: vec OB]가 이루는 각 [eqn: ANGLE`` AOB```=`theta]로 정의된다.

① [eqn: vec OA], [eqn: vec OB]가 둘 다 [eqn: vec 0]가 아닐 때

[eqn: LEFT | ``vec a``RIGHT |``=``bar OA`= LEFT | ```vec OA```RIGHT |`= sqrt { a_1`^2 + a_2`^2 }]

[eqn: LEFT | ``vec b``RIGHT |``=``bar OB`= LEFT | ```vec OB```RIGHT |`= sqrt { b_1`^2 + b_2`^2 }]

[eqn: LEFT | ``AB````RIGHT | = LEFT | ```vec AB ````RIGHT | = root{(b_1 - a_1 )^2 + (b_2 - a_2 ) ^2 }]

코사인 제2법칙 : [eqn: c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos theta]을 이용하면,

[eqn: TRIANGLE OAB`]에서 [eqn: cos theta`={ LEFT | ``vec a``RIGHT |^2`+LEFT | ``vec b``RIGHT |^2`-LEFT | ``vec AB```RIGHT |^2} OVER {2LEFT | ``vec a``RIGHT | `` LEFT | ``vec b``RIGHT |}]

[eqn: LEFT | ``vec a``RIGHT |```LEFT | ``vec b``RIGHT |```cos theta ={1 over 2} left {LEFT | ``vec a``RIGHT |^2 +```LEFT | ``vec b``RIGHT |^2` -`LEFT | ``vec AB``RIGHT |^2` RIGHT }]

[eqn: LEFT | ``vec a``RIGHT |```LEFT | ``vec b``RIGHT |```cos theta =a_1`b_1 + a_2`b_2]

[eqn: therefore ~~vec a cdot `vec b```= LEFT | ``vec a``RIGHT |``` LEFT | ``vec b`` RIGHT |`` cos theta =` a_1 `b_1 `+` a_2 `b_2]

② [eqn: vec a ```= `vec 0], [eqn: vec b ```=` vec 0`]일 때도 성립

(2) 공간벡터의 내적

공간벡터는 평면 벡터의 확장으로 볼 수 있다.

즉, [eqn: vec a `= ( a_1 , ```a_2 ,```a_3 )], [eqn: vec b ```=` ( b_1 ,``` b_2 ,```b_3 )]일 때,

[eqn: vec{a} ` CDOT ` vec{b} ```= LEFT | `` vec{a} `` RIGHT | ``` LEFT | `` vec{b} `` RIGHT | ```cos theta `=``a _{1} `b _{1} ``+``a _{2} `b _{2} ``+a` _{3} `b _{3}]	(6.5)

6.2.3  내적의 연산

[eqn: vec a], [eqn: vec b], [eqn: vec c]가 임의의 벡터이고 [eqn: m]이 임의의 실수일 때

① 교환법칙 : [eqn: vec a `cdot vec b ```=`` vec b `cdot vec a`]

② 결합법칙 : [eqn: (m `vec a `)`cdot vec b ```=``vec a `cdot (m`vec b ``)```= ``m `(`vec a `cdot vec b``)]

③ 분배법칙 : [eqn: vec a `cdot `(`vec b `+`vec c ``)`` =``vec a`cdot vec b```+`vec a`cdot vec c]
[eqn: (vec a ``+``vec b``)`cdot`vec c ``=``vec a`cdot vec c```+`vec b` cdot vec c]

④ [eqn: vec a `cdot vec a ``=` LEFT |`` vec a``RIGHT | ^2 ``≧`0] (단, 등호는 [eqn: vec a`` =`` vec 0]일 때)

⑤ 내적계산의 기본공식

∙ (1) [eqn: (vec a`` +` vec b ``) cdot (vec a ``+` vec b ``) ```= LEFT | ``vec a``RIGHT | ^2 +`2`` vec a`cdot vec b `+ LEFT | ``vec b``RIGHT | ^2]

∙ (2) [eqn: (vec a`` -` vec b ``) cdot (vec a ``-` vec b ``) ```= LEFT | ``vec a``RIGHT | ^2 -`2`` vec a`cdot vec b `+ LEFT | ``vec b``RIGHT | ^2]

∙ (3) [eqn: (vec a`` +` vec b ``) cdot (vec a ``-` vec b ``) ```= LEFT | ``vec a``RIGHT | ^2 -`` LEFT | ``vec b``RIGHT | ^2]
⇨[eqn: LEFT | `` vec a`` +` vec b ```RIGHT | ^2`= (vec a ``+` vec b ``) ` cdot ` (vec a ``+` vec b ``)]

예제 6.8

두 벡터 [eqn: vec a], [eqn: vec b]가 이루는 각의 크기가 120°이고, [eqn: LEFT | ``vec a``RIGHT |``=``2], [eqn: LEFT | ``vec b``RIGHT |``=``3]일 때, [eqn: 2 vec a ``-`` 3 vec b] 크기가 [eqn: root{133}]임을 확인하여라.

풀이

[eqn: LEFT | ``2 `vec a - 3 `vec b```RIGHT | ^2 `=( 2 `vec a - 3 `vec b`) cdot ( 2 `vec a - 3 `vec b `)]

[eqn: = 4`` LEFT | ``vec a``RIGHT | ^2` - 12 ``vec a cdot vec b `+` 9`` LEFT | ``vec b``RIGHT | ^2`= 4 cdot 2^2 - 12 cdot 2 cdot 3 cdot cos 120° + 9 cdot 3^2 =133].

([eqn: cos 120° = ``cos(180° - 60°) = ``-cos60° = ``-{1 over 2}])

[eqn: vec a ``= vec OA `` != `` vec 0 `,~ vec b ```=` vec OB `]라 하고 [eqn: B]에서 [eqn: OA]의 연장선에 내린 수선의 발을 [eqn: C]라 하면 [eqn: vec{OC}`]를 [eqn: vec b]의 [eqn: vec a] 방향의 사영(projection)이라 하고[eqn: `][eqn: proj` ``_{vec{``a``}} ````` vec{b}]로 표시한다.

[eqn: proj `` _{` vec{``a``}} ``` vec{b} ````=``left (` {vec{a} `` cdot ` vec{`b}} over {vec{a} `` cdot ` vec{a}} ` right )` vec{a}`]	(6.6)

(증명)

[eqn: theta]를 [eqn: vec a]와 [eqn: vec b]가 이루는 각이라 하자.

그러면 [eqn: |``proj` _{``vec{``a``}} ``` vec{b} ```|```=`|`` vec{b} ``|`cos theta `]이고, 방향은 [eqn: vec a] 방향이다.

[eqn: proj``` _{vec {``a``} }`` `` vec b ` & =` LEFT | ``vec b ``` RIGHT | `cos theta `` {vec a} over {LEFT | ` vec a ` RIGHT |}# # `````````````````````````````````````````` & =` {LEFT | ``vec a` ` RIGHT |`` LEFT | ` `vec b `` RIGHT |` cos theta } over {LEFT | `` vec a `` RIGHT |^2}``vec a #`# &=` {vec{a} cdot vec{b}} over {vec{a} ` cdot vec{a}} `` vec{a}`]	(6.7)

예제 6.9

대각선이 직교하는 직사각형은 정사각형임을 보여라.

풀이

대각선이 직교함은  [eqn: LEFT (` vec{a} ``+`` vec{b} `` RIGHT ) `` cdot `` LEFT ( ` vec{a} `-` vec{b} ` RIGHT ) `=`0`]임을 뜻한다.

따라서, [eqn: vec{a} ` cdot`` vec{a} ``-`` vec{b} ` cdot ` vec{b} ```=`0`]임을 의미한다. ([eqn: LEFT |`` vec a``RIGHT | ^2 = LEFT |`` vec b``RIGHT | ^2])

[그림 6.13]  예제 6.9의 설명

6.3

벡터의 외적

6.3.1  외적의 정의

벡터 곱(벡터의 외적): [eqn: vec{a} `` TIMES ` vec{b} `]([eqn: vec a] cross [eqn: vec b]로 읽음)

- [eqn: vec{a} `` TIMES ` vec{b} `]는 벡터로서 크기와 방향을 가진다.

- [eqn: vec{a} `` TIMES ` vec{b} `]의 크기: [eqn: LEFT | ``vec a `` TIMES ` vec b`` RIGHT |] = [eqn: LEFT | ``vec a``RIGHT |` ``` LEFT | ``vec b``RIGHT | ``sin theta] ([eqn: theta`]는 벡터 [eqn: vec a]와 벡터 [eqn: vec b]의 사잇각)

- [eqn: vec{a} `` TIMES ` vec{b} `]의 방향: 벡터 [eqn: vec a]를 벡터 [eqn: vec b] 방향으로 회전시킬 때, 오른나사가 진행하는 방향

- 벡터 [eqn: vec b]가 벡터 [eqn: vec a]를 기준으로 얼마나 회전하려 하는지를 표시하는 척도

- [eqn: vec{a} `` TIMES ` vec{b} `]의 크기 = (벡터 [eqn: vec a]의 크기) × (벡터 [eqn: vec b]의 [eqn: vec a]에 대한 수직 방향 성분)

= [eqn: LEFT | ``vec a``RIGHT |`], [eqn: LEFT | ``vec b``RIGHT |`]를 두변으로 하는 평행사변형의 넓이

[eqn: vec b``sin theta]

[그림 6.14]  벡터 외적의 정의

[eqn: vec{a} `` TIMES ` vec{b} `]의 방향

- 아래 그림에서와 같이 오른 나사의 머리면에 [eqn: vec a]와 [eqn: vec b]를 위치하도록 한다.

- 벡터 [eqn: vec a]를 벡터 [eqn: vec b] 방향으로 회전시킬 때, 오른나사가 진행하는 방향을 [eqn: vec{a} `` TIMES ` vec{b} `]의 방향이다.

- 따라서, 벡터 [eqn: vec a]와 벡터 [eqn: vec{a} `` TIMES ` vec{b} `]는 서로 직교하게 된다.

- 물론 벡터 [eqn: vec b]와 벡터 [eqn: vec{a} `` TIMES ` vec{b} `]도 서로 직교하게 된다.

- [eqn: vec{b} `` TIMES ` vec{a} `]는 [eqn: vec{a} `` TIMES ` vec{b} `]와 반대 방향을 가리킨다. ([eqn: vec{b} `` TIMES ` vec{a} ```=] [eqn: -vec{a} `` TIMES ` vec{b}])

- 벡터 곱이라는 연산은 비호환(non-commutative) 연산이다.

[그림 6.15]  벡터 외적의 방향 정의

벡터[eqn: vec{a}]를 벡터[eqn: vec{b}] 방향으로

돌릴 때, 오른나사의 진행방향

오른나사를 써서 정의된 좌표계 (첫 번째 그림)

- [eqn: x]축을 [eqn: y]축 방향으로 회전시켰을 때, [eqn: z]축이 되도록 정의

[그림 6.16]  벡터 외적의 방향 좌표계 정의

벡터 곱의 계산

- 공간에서의 두 벡터 [eqn: vecA`=`a_1` `vec e_1 ``+``a_2 ``vec e_2 ``+``a_3 ``vec e_3], [eqn: vecB ```=`b_1` `vec e_1 ``+``b_2 ``vec e_2 ``+``b_3 ``vec e_3]에 대하여

- [eqn: vec{A} `` TIMES ` vec{B} ```= ` vecC]  ([eqn: vecC`=`x` `vec e_1 ``+``y ``vec e_2 ``+``z ``vec e_3])라 가정한다. ([그림 6.17])

- 단위벡터의 벡터 곱

[eqn: vec{e_1} `` TIMES ` vec{e_2} ```= ` vec{e_3}],  [eqn: vec{e_2} `` TIMES ` vec{e_1} ```= ` -vec{e_3}]

[eqn: vec{e_2} `` TIMES ` vec{e_3} ```= ` vec{e_1}],  [eqn: vec{e_3} `` TIMES ` vec{e_2} ```= ` -vec{e_1}]

[eqn: vec{e_3} `` TIMES ` vec{e_1} ```= ` vec{e_2}],  [eqn: vec{e_1} `` TIMES ` vec{e_3} ```= ` -vec{e_2}]

[eqn: vec{e_1} `` TIMES ` vec{e_1} ```= ` vec{e_2} `` TIMES ` vec{e_2} ``=``vec{e_3} `` TIMES ` vec{e_3} ```= vec 0]

[그림 6.17]  벡터 외적을 이용한 평행사변형의 넓이구하기

- 벡터 곱에서는 배분법칙이 성립하므로 ([eqn: vec{A} `` TIMES ` ( vec{B} ``+ vecC `) ```= `vec{A} `` TIMES ` vec{B} ```+``vec{A} `` TIMES ` vec{C}])

[eqn: vec{A} `` TIMES ` vec{B}] = [eqn: (`a_1` `vec e_1 ``+``a_2 ``vec e_2 ``+``a_3 ``vec e_3 ) `times`(`b_1` `vec e_1 ``+``b_2 ``vec e_2 ``+``b_3 ``vec e_3 )]

= [eqn: (a_ 2 b_ 3 -a_ 3 b_ 2 ) `vec e_1 ``+````(a_ 3 b_ 1 -a_ 1 b_ 3 ) `vec e_2 `+```(a_ 1 b_ 2 -a_ 2 b_ 1 ) `vec e_3]

= [eqn: dmatrix{``vec e_1 & ``vec e_2 & ``vec e_3`` # a_1 & a_2 & a_3 #b_1 & b_2 & b_3 }] = [eqn: {dmatrix{a_ 2 &````````a_ 3 `#b_ 2 &`````````b_ 3 `}} `` vec e_1``-`` {dmatrix{a_ 1 &```````a_ 3 `#b_ 1 &```````b_ 3 `}} ``vec e_2 ``+ `` {dmatrix{a_ 1 `````````& a_ 2#b_ 1 ````````&`b_ 2}} ``` vec e_3]

예제 6.10

두 벡터 [eqn: A`＝`(1,``` 3,``` 2)], [eqn: B`＝`(4,``` 0,``` -3)]의 외적을 구하여라. 또 [eqn: A], [eqn: B]를 두 변으로 하는 평행사변형의 넓이를 구하여라.

풀이

[eqn: A` TIMES`B````= LEFT {`` DMATRIX { { 3}& {````````2` }# { 0}& {-3` } } , ```-DMATRIX { { 1}& {````````2` }# { 4}& {-3` } },```DMATRIX { { 1}& {3` }# { 4}& {0` } } ``RIGHT }=(-9,```11,```-12)]

[eqn: A], [eqn: B]를 두 변으로 하는 평행사변형의 넓이 = [eqn: ∣A TIMES B∣``=SQRT { 9^2 + 11^2 + 12^2} =SQRT { 346}].

예제 6.11

공간에서의 세 점 [eqn: P`＝(2, ```2, ```0)], [eqn: Q`＝(-1,``` 0,``` 2)], [eqn: R`＝(0,``` 4,``` 3)]을 꼭지점으로 가지는 삼각형의 넓이를 구하여라.

풀이

[eqn: A=` `VEC PQ `` =(-3,```-2,```2)], [eqn: B= ``VEC PR`` =(-2,```2,````3)]이라 하자.

[eqn: A `TIMES`B= LEFT ( `` DMATRIX { { -2}& {2` }# { ````````2}& {3` } } ,``` -DMATRIX { {-3}& {2` }# { -2}& {3` } },````DMATRIX { {-3}& {-2` }# {-2`}& {`````````2` } } ```RIGHT )=(-10,```5,```-10)]

[eqn: |``A `TIMES`B``|= sqrt {10^2 + 5^2 + 10^2} ``=`` sqrt 225 ``=`` 15]

이므로, 구하는 삼각형의 넓이는 [eqn: TRIANGLE PQR``= `1 over 2 ∣A TIMESB∣= 15 over 2]이다.

6.3.2  외적의 성질

① [eqn: vec a]와 [eqn: vec b]가 평행일 필요충분조건은 [eqn: vec a``times vec b``= vec 0]이다. (단, [eqn: vec a`!=vec 0], [eqn: vec b`!=vec 0])

② [eqn: LEFT | `` vec{a} ` ``TIMES `` vec{b} `` RIGHT |]는 [eqn: vec a]와 [eqn: vec b]가 만드는 평행사변형의 넓이이다.
평행사변형의 넓이 [eqn: =``LEFT | `` vec{a} `` RIGHT | ``` LEFT | `` vec{b} `` RIGHT | ``sin theta]

③  [eqn: r], [eqn: s]가 실수일 때 [eqn: LEFT ( `r vec{a} ` RIGHT ) ` TIMES ` LEFT ( `s vec{b} ` RIGHT ) = LEFT ( `rs` RIGHT ) LEFT ( ` vec{a} ` TIMES ` vec{b} ` RIGHT )]

④ [eqn: vec{a} ` TIMES ` LEFT ( ` vec{b} `+` vec{c} ` RIGHT ) ``= vec{a} ` TIMES ` vec{b} `+` vec{a} ` TIMES ` vec{c}]
[eqn: LEFT ( ` vec{b} `+` vec{c} ` RIGHT ) ` TIMES ` vec{a} ``=` vec{b} ` TIMES ` vec{a} `+` vec{c} ` TIMES ` vec{a}]

⑤ [eqn: vec{a} ``=` LEFT ( `a _{1} ,```a _{2} ,```a _{3} ` RIGHT ) ,` ```vec{b} ``=` LEFT ( `b _{1} ,````b _{2} ,````b _{3} ` RIGHT )]이면
[eqn: vec{a} ` TIMES ` vec{b} ``= LEFT ( ``a _{2} b _{3} -a _{3} b _{2} ,````a _{3} b _{1} -a _{1} b _{3} ,````a _{1} b _{2} -a _{2} b _{1} ` RIGHT )]이다.

예제 6.12

세 벡터의 성분을 각각 [eqn: A＝(1,``` 3,``` -2)], [eqn: B＝(0,``` -1,``` 2)], [eqn: C`＝(4,``` 0,`` 2)]일 때 [eqn: (A` times B`) `times C`]와 [eqn: A``times(B``` times C`)]를 구하여라.

풀이

우선 [eqn: A TIMES B`]를 구하고 [eqn: (A TIMES `B`) TIMES C]를 구해보자.

[eqn: A TIMES B= LEFT ( ``` dmatrix{````````3&-2`#-1&````````2`} ,```- dmatrix{1&-2`#0&````````2`} ,``` dmatrix{1&````````3`#0`&-1`} ``` RIGHT ) =(4,```-2,``-1)]

[eqn: (A TIMES B) TIMES C= LEFT (`` DMATRIX { { -2}& {-1` }# { `````````0}& {````````2` } } , ```-DMATRIX { {4}& {-1` }# { 4}& {````````2` } },```DMATRIX { {4}& {-2` }# {4`}& {````````0` } } ``` RIGHT )=(-4,``-12,``8)].

한편, [eqn: B``` TIMES C]와 [eqn: A TIMES (B`` TIMES C`)]는 다음과 같이 구할 수 있다.

[eqn: B` TIMES C= LEFT (```DMATRIX { { -1}& {2` }# { ````````0}& {2` } } , ```-DMATRIX { {0}& {2`` }# { 4}& {2`` } }, ````DMATRIX { {0}& {-1` }# {4`}& {````````0` } } ```RIGHT )=(-2,```8,```4)]

[eqn: A TIMES (B ``TIMES C)= LEFT (``` DMATRIX { { 3}& {-2` }# {8}& {```````4` } } , ```-DMATRIX { {````````1}& {-2` }# { -2}& {```````4` } },```DMATRIX { {1}& {3` }# {-2`}& {8` } } ```RIGHT )=(28,```0,```14)]

6.4

벡터의 응용

6.4.1  벡터의 직선과 평면의 방정식

두 점 [eqn: A(``vec a``)], [eqn: B(``vec b``)]를 지나는 직선의 벡터방정식은 다음과 같다.

[eqn: vec p ``=`` vec a ``+`` t``( vec b``- vec a ``)]	(6.10)

즉, 다시 말해 두 점 [eqn: A(``vec a``)], [eqn: B(``vec b``)]를 지나는 직선의 방정식은 직선상의 임의의 점 [eqn: P`]의 위치 벡터를 [eqn: vec OP ````=`` vec p``]라 할 때, [eqn: vec p ``=`` vec a ``+`` t``( vec b`- vec a ``)`], 또는 [eqn: vec p = (1-t) vec a `+` t` vec b``]이다.

[eqn: vec AP ````=`` t ``vec AB``] (t는 임의의 실수)

[eqn: LRARROW ~~ vec OP ````-````vec OA````=`` t ``(vec OB````-````vec OA )]

[eqn: LRARROW ~~ vec p ````-````vec a````=`` t ``(vec b````-````vec a )]

[eqn: therefore ~~ vec p ````=````vec a````+`` t ``(vec b````-````vec a )]

- 두 점 [eqn: A(x_1 , ```y_1 , ```z_1 )], [eqn: B(x_2 ,``` y_2 , ```z_2 )]를 지나는 직선의 방정식

[eqn: A], [eqn: B]의 위치벡터를 [eqn: vec OA ``=`` vec a], [eqn: vec OB``=` vec b]라 가정하자.

직선상의 임의의 점 [eqn: P]의 위치벡터를 [eqn: vec OP```=` vec x]라 할 때, [eqn: vec x ``=`` vec a ``+`` t``( vec b`- vec a ``)]이므로

여기에 [eqn: vec x ``= (x,```y,```z)], [eqn: vec a `= (x_1 ,```y_1 ,```z_1 )], [eqn: vec b`` = (x_2 ,```y_2 ,```z_2 )]를 대입하면

[eqn: (x,``y,``z)`=`(x_1 , ```y_1 ,``` z_1 ) + t ``(x_2 - x_1 ,`` `y_2 - y_1 ,``` z_2 - z_1 )]가 된다.

따라서, 이식을 [eqn: t]의 표현으로 다시 쓰면,

[eqn: t``=``{x- `x_1} over {x_2 - x_1 } = {y`-`y_1} over {y_2 - y_1 } = {z`-`z_1} over {z_2 - z_1 }]가 되는 직선의 방정식을 표현할 수 있다.

예제 6.13

공간에서 두 점 [eqn: (-1,```2,```3)]과 [eqn: (2,```3,```-1)]을 지나는 직선의 방정식을 구하여라.

풀이

[eqn: {x+1} over 3 `= ``y-2`` = {z-3} over {-4}]

예제 6.14

두 점 [eqn: A(x_1 , ```y_1 )], [eqn: B(x_2 , ```y_2 )]를 지나는 직선의 벡터방정식을 이용하여 직선의 방정식을 구하여라.

풀이

우선 직선의 벡터방정식을 다음과 같이 가정하자.

[eqn: vec x ``=`` vec a ``+`` t``( vec b`- vec a ``)]

여기에  [eqn: vec x = (x,y)], [eqn: vec a = (x_1 ,y_1 )`], [eqn: vec b = (x_2 ,y_2 )]을 대입하면

[eqn: (x,y)=(x_1 , y_1 ) + t ``(x_2 - x_1 ,`` y_2 - y_1 )`]

여기서 [eqn: t`]의 표현으로 다시 쓰면

[eqn: t``=``{x- `x_1} over {x_2 - x_1 } = {y`-`y_1} over {y_2 - y_1 }]

즉, [eqn: y-y_1 = {y_2 - `y_1} over {x_2 - x_1 } ( x - x_1 )]이라는 직선의 방정식을 구할 수 있다.

예제 6.15

다음 두 점 [eqn: A`(1,```2,```3)], [eqn: B`(2,```-3,```5)]를 지나는 직선의 방정식을 구하여라.

풀이

공식을 이용하면 다음을 쉽게 알 수 있다.

[eqn: {x-1} = {y-2} over -5 = {z-3} over 2``]

예제 6.16

응용문제로서 두 직선의 교점의 방정식을 구하는 문제이다. 네 개의 점이 다음과 같이 주어졌을 때  [eqn: A`(3,```1,```-1)], [eqn: B`(1,```2,```3)], [eqn: C`(1,``-3,``5)], [eqn: D`(2,``-1,``2)], 두 직선 [eqn: dyad AB`][eqn: dyad CD`]의 교점을 구하여라.

풀이

우선 두 점을 연결하는 직선의 방정식을 구해본다.

[eqn: dyad AB ```:``{x-3} over {-2} = {y-1} over {1} = {z+1} over {4}``]

[eqn: dyad CD ```:``{x-1} over {1} = {y+3} over {2} = {z-5} over {-3}``]

이 경우 [eqn: z]축이 없다고 생각하면 [eqn: x`y]평면처럼 생각할 수 있고, [eqn: x,```y]만의 관계식으로 [eqn: x,```y] 구한 후 [eqn: z]값을 구한다.

따라서 위 두 직선의 방정식에서 [eqn: x,```y]만의 관계식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

[eqn: x+2y = 5], [eqn: y=2x-5``]

이때, 두 개의 일차연립방정식을 풀면, [eqn: x=3], [eqn: y=1]이 된다.

이를 위 두 개의 직선의 방정식에 대입하여 [eqn: z]값을 찾을 수 있다.

그러므로, 구하고자 하는 교점은

[eqn: x=3], [eqn: y=1], [eqn: z=-1]

이 된다.

- 점 [eqn: A(x _ 1 ,```y_ 1 ,```z_ 1 `)]을 지나고, 벡터 [eqn: vec h` = ( a,```b,```c`)]에 수직인 평면 [eqn: alpha]의 방정식

[그림 6.18]  평면 방정식 구하기

평면 [eqn: alpha] 위의 임의의 점을 [eqn: P(x,```y,```z`)]라 하면, [eqn: vec AP BOT vec h `]이므로 [eqn: vec AP cdot vec h `=`0].

그러므로, [eqn: ( vec OP `-` vec OA ) cdot vec h `=`0]이다.

[eqn: vec OP ``= vec x], [eqn: vec OA ``= vec a]라 하면 [eqn: ( vec x `- vec a `) cdot vec h `=`0]․․․①

[eqn: vec x ``=`(`x,```y,```z`),```` vec a ``=`(`x_ 1 ,```y_ 1 ,```z_ 1 `),```` vec h ``=`(`a,```b,```c`)]이므로 ①은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

[eqn: (x`-x_ 1 ,```y-y_ 1 ,```z-z_ 1 `) cdot (a,```b,```c`)`=`0# # THEREFORE `a(x-x_ 1 )+b(y-y_ 1 )+c(z-z_ 1 )`=`0]

위의 평면 방정식을 변형하면 [eqn: ax+by+cz`-(`ax_ 1 +by_ 1 +cz_ 1 )=`0]이 되고,

여기서 [eqn: `-(`ax_ 1][eqn: +by_ 1 +cz_ 1 )]은 일정하므로 이를 [eqn: d]로 놓으면, [eqn: a``x `+` b``y `+` c``z` `+` d``=``0]가 된다.

이를 평면 방정식의 일반형이라 하고, 이 표현은 법선벡터인 [eqn: vec h = ( a,```b,```c)]에 수직한다는 의미와 같다.

여기서, [eqn: x,```y,``z]의 계수 [eqn: a,```b,```c]는 이 평면의 법선벡터인 [eqn: vec h ``= ( a,```b,```c)]의 [eqn: x,````y,```z] 성분으로 되어 있다.

예제 6.17

점[eqn: (2,```-1,``3)]을 지나고 [eqn: 2x + 3y - 5z + 1 = 0]에 평행한 평면의 방정식을 구하여라.

풀이

[eqn: 2x + 3y - 5z + 1 = 0``]의 법선벡터는 [eqn: vec n =(2,``3,][eqn: -5)]이다.

일반형을 이용하면 [eqn: ax+by +cz+d=0]에서 [eqn: 2x+ 3y -5z+d=0]이 된다.

여기서, 점[eqn: (2,```-1,```3)]지나므로 [eqn: d ``=```-(`ax_ 1][eqn: +by_ 1 +cz_ 1 )] [eqn: =14]가 된다.

따라서, 구하고자 하는 평면의 방정식은 [eqn: 2x+ 3y -5z + 14 =0]이다.

6.4.2  벡터의 응용 (생략)

벡터의 응용분야는 이루 말할 수 없이 많다. 공학이나 과학분야에 적용되는 회로분야, 전기자기학분야, 컴퓨터 관련분야 등 이 세상에 보이는 모든 정보를 벡터 또는 행렬로 표현할 수 있다 해도 과언이 아니다.

이러한 수많은 응용분야 중 하나를 소개한다. 이미 멀티미디어라는 단어를 방송 등 여러 매체를 통해 들어왔을 것이다. 멀티미디어는 여러 정보들의 모임이라 생각하면 된다. 여기서 정보를 문자나 숫자로만 표현할 경우에는 수십 또는 수백 자 분량의 정보를 그림이나 그래프를 이용하여 그 의미를 쉽게 전달하는 사례를 많이 볼 수 있다. 이것은 그림, 그래프와 같은 영상 매체들이 많은 정보를 함축적으로 표현할 수 있고, 사람들에게 직관적으로 느낌을 줄 수 있기 때문이다. 멀티미디어 환경에서는 지금까지 많이 사용하였던 텍스트 정보 보다는 그래픽과 이미지 정보의 사용이 늘어나고 있다. 일반적으로 사진이나 그래픽 영상 등은 디지털 형태로 컴퓨터에 저장하기 위해서는 많은 저장 공간을 필요로 하고 있으나 자료의 시각적 효과가 뛰어나므로 많이 활용되고 있다.

일반적으로 그래픽과 이미지의 용어는 구별 없이 사용되고 있으나 이의 구분을 좀 더 명확하게 하여보자. 그래픽 편집기 등을 이용하여 제작한 데이터를 그래픽 데이터라 하고, 스캐너나 비디오 보드를 이용하여 얻어진 데이터를 이미지 데이터라고 한다. 좀 더 전문적인 구분은 어떠한 영상 이미지에서 영상의 형태를 인식하여 구조적으로 표현한 것이 그래픽이고, 영상의 전체 모형을 형상화하여 비구조적인 형태로 나타낸 것을 이미지라 한다.

그래픽 데이터와 이미지 데이터를 컴퓨터 내부적으로 어떻게 표현하고 처리하는가에 따라 비트맵(bitmap) 방식과 벡터(vector) 방식으로 구분된다. 비트맵 방식은 어떠한 그림을 픽셀이라고 하는 점의 집합으로 나타내는 방식이고, 벡터 방식은 도형의 특성을 코드화하여 나타내는 방식이다. 비트맵 방식은 그래픽과 이미지 데이터를 표현할 때에 많이 사용하는 방식이며, 벡터 방식은 도형의 특성이 쉽게 수학적인 도형 형태로 모델링이 가능한 그래픽 데이터를 표현할 때에 사용되는 방식이다.

비트맵은 픽셀의 집합으로 이루어진 그림을 0과 1로 표현하여 나타내는 표현 방식이다. 영상이 칼라이면 한 개의 픽셀 당 24비트를 할당하여 주고 흑백인 경우에는 1비트를 할당하여 나타낸다. 화면의 한 픽셀에 대한 정보는 비트들의 그룹으로 표현되고 전체 그래픽은 이러한 그룹들의 배열로 표현된다. 비트맵은 픽셀의 집합이므로 영상에 대한 회전, 확대, 축소 등의 독립적인 연산은 불가능하다. [그림 6.19(a)]는 흑백 비트맵 그래픽을 나타내고 있으며, (b)는 그것을 표현하는 각 픽셀의 색상에 대한 비트 값을 나타내고 있다.

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[그림 6.19]  (a)비트맵 디스플레이, (b) 비트맵의 표현

사진이나 비디오 정지 화면을 캡쳐(capture)한 경우와 같은 매우 복잡하고 많은 객체들로 구성되어 있으므로 명령어의 집합을 사용하는 벡터 방식으로는 표현하기 어려우며 주로 비트맵 방식으로 표현된다.

벡터 방식은 도형의 특성을 나타내는 명령어의 집합으로 영상을 표현하는 방식이다. 벡터 방식은 주로 그래픽 편집기 프로그램을 이용하여 작성한다. 벡터 방식에 사용되는 명령어들은 선의 종류, 도형의 종류, 위치, 특성 등을 구분하여 정의한다. 예를 들어, 화면에 나타날 직선이나 곡선과 같은 선의 종류; 직사각형, 원 등의 도형의 종류; 위치에 대한 [eqn: x], [eqn: y] 좌표 값, 색상, 굵기와 같은 것을 명령어로 정의하여 나타낸다. 벡터 방식은 도형의 특성이 수학적인 형태로 모델화되어 있어서 크기 조절, 회전, 선의 굵기, 색상 등의 특성을 변경시킬 수 있는 연산 등을 수행할 수 있다. [그림 6.20(a)]는 벡터 방식의 간단한 그래픽을 나타내고 있으며, [그림 6.20]의 (b)는 벡터 영상을 표현하기 위해 사용되는 명령어 예를 설명하고 있다.

[그림 6.20]  (a) 벡터 영상, (b) 벡터 명령어의 표현

비트맵 그래픽과 벡터 그래픽은 그래픽의 처리 시간과 저장 공간의 측면에서 서로 다른 특성을 갖는다. 벡터 그래픽은 그래픽을 구성하는 객체들에 대한 정보로 기록되어 있기 때문에 구성하는 객체들이 다양하고 많을수록 그래픽 처리 시간이 많이 소요되며 처리 시간과 저장 공간은 그래픽의 복잡성에 따라 증가한다. 반면에 비트맵 방식의 그래픽은 품질이 같을 경우 모두 같은 처리 시간과 저장 공간을 사용한다. 따라서 필요한 저장 공간의 크기는 압축을 하지 않는다면 쉽게 계산할 수 있다.

연습문제

1

다음 두 평면이 수직일 때, 상수 [eqn: a`]의 값을 구하여라.

연습문제

[eqn: x + 2y + az + 3 = 0], [eqn: ax - 4y + 3z + 1 = 0]

2

아래의 그림과 같은 정오각형 [eqn: ABCDE]에서 [eqn: rm vec AB =it vec a ,~ rm vec BC =it vec b`]라 할 때, [eqn: rm vec CD]를 [eqn: vec a], [eqn: vec b]로 나타내어라.

3

점 [eqn: ( 2,``` 1,``` -2 )]를 지나고 [eqn: vec u`` = ( 1,``` 2,``` 3 )]에 평행한 직선의 방정식을 구하여라.

4

내적의 연산법칙  [eqn: vec a cdot vec b ``=` vec b cdot vec a`]이 성립함을 밝혀라.

5

세 점 [eqn: A ( 4, ``` 1, ``` 0 )], [eqn: B ( 0 , ``` 1, ``` 2 )], [eqn: C ( 3 , ``` 0 , ``` - 1 )]을 지나는 평면의 방정식을 구하여라.

6

다음을 구하여라.

(1) [eqn: vec a = ( 1 ,`` sqrt 2 ,`` 1 )]이 [eqn: x]축, [eqn: y]축의 양의 방향과 이루는 각을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 할 때, [eqn: sin `alpha + cos beta]

(2) [eqn: vec a = ( 4 ,`` `-2 ,``` -4 )]에 대하여 [eqn: LEFT | ``` vec a```RIGHT |] 및 방향코사인 [eqn: cos gamma]

7

두 벡터 [eqn: vec a = ( 1, ```2, ``` 1 )], [eqn: vec b = ( - 2, ```- 1,``` 1 )]이 이루는 각의 크기 [eqn: theta]를 구하여라.

(단, [eqn: 0^◦`≦`theta `≦` `180^◦])

8

벡터 [eqn: vec a ``=(x, ```y, ```z)] [eqn: vec b`` = (1, ```2, ```2 )]에 대하여 [eqn: LEFT | ``` a```RIGHT | `=`2]일 때 [eqn: vec a ``cdot`` vec b`]의 최대값을 구하여라.

9

평행사변형 [eqn: ABCD`]에서 변 [eqn: AB`]를 [eqn: 2``:``1]로 내분하는 점을 [eqn: P`], 대각선 [eqn: DB]를 [eqn: 3``:``1]로 내분하는 점을 [eqn: Q]라 하면, 세 점 [eqn: P], [eqn: Q], [eqn: C]는 한 직선 위에 있음을 밝혀라.

A

B

C

Q

D

P

10

[eqn: vec a` `= ( -1,``` 2,`` `5 )], [eqn: vec b`` = ( 2,``` k-1 ,``` k + 1 )]에 대하여 [eqn: vec a` ``bot`` vec b]일 때,  [eqn: k]의 값을 구하여라.

11

두 점 [eqn: ( 2,``` 3 ,``` -1 )], [eqn: ( 5,``` -2,``` 1 )]을 지나는 직선의 방정식을 구하여라.

12

삼각형 [eqn: ABC`]에서 [eqn: vec AB``` = vec a], [eqn: vec BC ```= vec b`]라 하고 [eqn: bar AC]의 중점을 [eqn: D], [eqn: bar BC]를 [eqn: 2``:``1]로 내분하는 점을 [eqn: E]라 하면 [eqn: vec DE ``= m ` vec a` + n` vec b]이다. 이 때, 실수의 합 [eqn: m + n]의 값을 구하여라.

13

한 변의 길이가 [eqn: a]인 정사각형 [eqn: ABCD`]에서 [eqn: vec AB ```= vec a`], [eqn: vec AC ```= vec b], [eqn: vec AD``` = vec c]일 때, [eqn: vec a` + vec b` + vec c`]의 크기는

[eqn: a]이다.

안에 알맞은 수를 구하여라.

A

B

C

D

[eqn: vec a`]

[eqn: vec b`]

[eqn: vec c`]

14

[eqn: vert vec a vert = 2], [eqn: vert vec b` vert = 3]이고 [eqn: vec a], [eqn: vec b]가 이루는 각의 크기가 [eqn: 60^◦]일 때, 다음 값을 구하여라.

(1) [eqn: vert vec a` ``+`` vec b` vert]

(2) [eqn: ( vec a` - 2 vec b` ) cdot ( 2 vec a` + vec b` )]

15

한 모서리의 길이가 [eqn: a`]인 정육면체 [eqn: A BC D`-EFGH]에서 다음 내적을 구하여라.

(1)  [eqn: vec AB cdot vec AC]

(2)  [eqn: vec AB cdot vec DH]

(3)  [eqn: vec AF cdot vec CD]

16

두 벡터 [eqn: vec a` `= ( 1,``` 2 )], [eqn: vec b`` = ( 3,``` 1)]에 대하여 [eqn: vec a` - 3 vec b`]와 [eqn: 2 vec a` - k` vec b`]가 서로 수직이라고 한다. 이 때, 상수 [eqn: k`]의 값을 구하여라.

17

점 [eqn: A ( 3,`` `5 , ``` - 2 )]를 지나고 평면 [eqn: 2 x - y + 3z = 0]에 평행한 평면의 방정식을 구하여라.

18

아래의 그림과 같은 부채꼴 [eqn: O AB`]에서 [eqn: vec OA``` = vec a], [eqn: vec OB ```= vec b]라 할 때,[eqn: ANGLE A OB]를 이등분하는 벡터 [eqn: vec OC]를 [eqn: vec a], [eqn: vec b]로 나타내어라. [eqn: left( 단, `` angle AOB```= pi over 2 right)]