2장. 함수

IT 전공자를 위한 기초수학

2

2.1 함수의 분류

2.2 함수의 그래프

2.3 합성함수

2.4 역함수

2.5 분수함수와 무리함수

2.6 지수함수

2.7 로그함수

2.1

함수의 분류

2.1.1  함수의 정의

함수(function): 집합 [eqn: X]의 각 원소에 대해 집합 [eqn: Y]의 원소가 오직 하나씩 대응하는 관계

[그림 2.1]  함수의 정의

[eqn: f``:`X` -> `Y````````또는```````X` matrix{f#-> #} `Y]

함수 [eqn: f``:X -> Y`]에서

- 집합 [eqn: X`]를 함수 [eqn: f`]의 정의역(domain)이라 하고, [eqn: Y]를 공변역(codomain)이라 한다.

- 정의역의 원소를 나타내는 변수 [eqn: x`]를 독립변수라 하고 공변역의 원소를 나타내는 변수 [eqn: y`]를 종속변수라 한다.

- 만약 정의역과 공변역이 주어지지 않을 때는 실수 전체의 집합 [eqn: R`]로 본다.

- [eqn: X]의 원소 [eqn: x]에 대응되는 [eqn: Y]의 원소 [eqn: y]를 [eqn: y=f(x)`]로 쓴다.

-  [eqn: f(x)`]를 [eqn: x`]에 대한 [eqn: f`]의 함수값 또는 상(image)이라 한다.

- [eqn: x IN X`]인 [eqn: x`]의 함수값 전체에 대한 집합 [eqn: LEFT { f(x)````|```x` IN X RIGHT } `]를 함수 [eqn: f`]의 치역(range)이라 하며, [eqn: f(x)`]로 나타낸다. ([eqn: f(x)` SUBSET Y`])

[그림 2.2]  정의역, 치역, 공변역

예제 2.1

[eqn: X= LEFT { 1,~2,~3 RIGHT } `], [eqn: Y= LEFT { -1,~0,~1,`2,~3 RIGHT } `]에서 [eqn: f：X -> Y`], [eqn: f(x)=2x-3`]일 때 다음을 구하여라.

(1) 정의역	(2) 공변역	(3) [eqn: f`(1),~f(2),~(3)`]	(4) 치역

풀이

(1) [eqn: left{`1,~2,~3`}right]	(2) [eqn: LEFT { -1,~0,~1,```2,~3 RIGHT } `]

(3) [eqn: f(1)=`-1`,~f(2)`=`1`,~f(3)`=`3]	(4) [eqn: LEFT { -1,~1,~3 RIGHT } `]

예제 2.2

실수의 집합을 [eqn: R`]이라 한다. [eqn: R`]에서 [eqn: R`]로의 함수 [eqn: f`]가 다음과 같이 주어질 때, [eqn: f`(0)], [eqn: f`(1)], [eqn: f`(2)]의 값을 구하여라.

(1)  [eqn: f~:~x~`` -> ````x ^{2}]        (2)  [eqn: x```` REL -> {`f~} {} ````3x+2]         (3)  [eqn: f``(x)=x ^{2} -1]

풀이

(1) [eqn: f`(0)=0,~f`(1)=1,~f`(2)=4`]

(2)  [eqn: f`(0)=2,~f`(1)=5,~f`(2)=8`]

(3) [eqn: f`(0)=`-1,~f`(1)=0,~f`(2)=3`]

예제 2.3

다음 함수의 정의역과 치역을 구하여라.

(1) [eqn: y=3x+1```]	(2) [eqn: y=x ^{2} +2```]

(3) [eqn: y= sqrt {x-1} `]	(4) [eqn: y= {1} over {x-1} `]

풀이

(1) 정의역 : 모든 실수, 치역 : 모든 실수

(2) 정의역 : 모든 실수, 치역 : [eqn: "{"y vert y` GEQ `2인~모든~실수"}"`]

(3) 정의역 : [eqn: "{"x vert x` GEQ `1인~모든~실수"}"`], 치역 : [eqn: "{"y vert y` GEQ `0인~모든~실수"}"`]

(4) 정의역 : [eqn: "{"x vert x` != `1인~모든~실수"}"`], 치역 : [eqn: "{"y vert y` != `0인~모든~실수"}"`]

2.1.2  여러 가지 함수

(1) 단사함수(injection) (또는 일대일함수(one-to-one))

모든 [eqn: x _{1} `,~x _{2} `` IN X`]에 대하여 [eqn: x_1 != x_2`] 이면 [eqn: ``f`(x_1 ) != f`(x_2 )`]를 만족하는 함수

[그림 2.3]  단사함수의 예

(2) 전사함수(surjection)

모든 [eqn: y` IN Y`]에 대하여, [eqn: y=f`(x)]를 만족하는 [eqn: x IN A`]가 존재하는 함수

- 치역과 공변역이 동일한 집합

[그림 2.4]  전사함수의 예

(3) 전단사함수(bijection) 또는 일대일대응(one-to-one correspondence)

함수 [eqn: f~:X```` -> ```Y`]가 전사함수인 동시에 단사함수인 경우

- 정의역의 모든 원소와 공변역의 모든 원소가 일대일대응 관계에 있는 함수

[그림 2.5]  전단사함수의 예

(4) 항등함수와 상수함수

항등함수(identity function): 정의역의 임의의 원소에 그 자신과 같은 값을 대응시키는 함수

- [eqn: f`(x)`=`x`]

- 정의역, 치역과 공변역이 모두 같다.

- 항등함수는 일대일 대응이다.

[그림 2.6]  항등함수의 예

상수함수(constant function): [eqn: X`]의 모든 원소를 [eqn: Y`]의 한 원소로 대응시키는 함수

- 치역이 하나의 원소만을 갖는 단집합(singleton set)이 된다.

[그림 2.7]  상수함수의 예

2.2

함수의 그래프

2.2.1  함수의 그래프

함수 [eqn: y=f`(x)]의 그래프: 순서쌍[eqn: (x,```f(x))] 전체 집합을 좌표평면에 나타낸 것

- [eqn: f`(x)]를 그래프의 방정식이라 한다.

2.2.2  다항함수의 그래프

(1) 일차함수 ([eqn: y=ax+b`])

- 기울기가 [eqn: a`]이고 [eqn: y`]절편이 [eqn: b`]인 직선

- [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각을 [eqn: theta]라 하면 기울기 [eqn: a=tan theta]가 된다.

- [eqn: a>0]이면 증가함수가 되며, [eqn: a<0]이면 감소함수가 된다.

(2) 이차함수 ([eqn: y=ax ^{2} +bx+c(a != 0)`])

[eqn: y=ax ^{2} +bx+c=a LEFT ( x+ {b} over {2a} RIGHT ) ^{2} - {b ^{2} -4ac} over {4a} `]

로 변형되므로 [eqn: y=ax ^{2}]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: - {b} over {2a}], [eqn: y]축의 뱡향으로 [eqn: -{b ^{2} -4ac} over {4a} `]만큼

평행 이동한 것이다.

[eqn: & a>0`일```때,````x=`- {b} over {2a} `에서~최소값``- {b ^{2} -4ac} over {4a} 을```갖고# & a<0`일```때,````x=`- {b} over {2a} `에서~최대값``- {b ^{2} -4ac} over {4a} 을```갖는다.`]

(3) 삼차함수 ([eqn: y=ax ^{3} `])

- 원점을 지나고 원점에 대하여 대칭이다.

- [eqn: y=a(x-m) ^{3} +n]의 그래프는 [eqn: y=ax ^{3}]의 그래프를 [eqn: x]축으로 [eqn: m], [eqn: y]축으로 [eqn: n]만큼 평행 이동한 것이고 대칭의 중심은 [eqn: (m,~n)]이 된다.

(a) [eqn: y=ax`]의 그래프         (b) [eqn: y=ax ^{2}`]의 그래프        (c) [eqn: y=ax ^{3}`]의 그래프

[그림 2.8]  함수의 그래프

예제 2.4

다음 이차함수의 그래프를 그려라. 또 이 그래프의 축의 방정식, 꼭지점의 좌표를 구하여라.

(1) [eqn: y=3x ^{2} -6x```]

(2) [eqn: y=-x ^{2} +4x-3`]

(3) [eqn: y= {1} over {3} x ^{2} +2x-1`]

(4) [eqn: y=- {1} over {2} x ^{2} -3x+2`]

풀이

(1) [eqn: x=1,`(1,`-3)`]	(2) [eqn: x=2,`(2,`1)]

(3) [eqn: x=-3,`(-3,`-4)]	(4) [eqn: x=-3,`(-3, ``{13} over {2} )]

예제 2.5

다음 삼차함수의 그래프를 그려라.

(1) [eqn: y=2x ^{3}`]	(2) [eqn: y= {1} over {2} x ^{3} ```]

(3) [eqn: y=-x ^{3} ```]	(4) [eqn: y=-(x+1) ^{3} +1`]

(5) [eqn: y=2x ^{3} +6x ^{2} +6x+3`]	(6) [eqn: y=2(x-1) ^{3} +2`]

(7) [eqn: y=x ^{3} +3x ^{2} +3x```]	(8) [eqn: y=-x ^{3} -6x ^{2} -12x-7`]

풀이

2.3

합성함수

두 함수 [eqn: f~:X``` -> `Y, ```~g~:Y -> Z`]가 주어질 때, [eqn: X`]의 임의의 원소 [eqn: x`]의 함수 값은 [eqn: Y`]의 원소 [eqn: f`(x)`]이고, [eqn: f`(x)`]의 [eqn: g`]에 의한 함수 값은 [eqn: Z`]의 원소 [eqn: g(f(x))`]이다.

[eqn: f`]와 [eqn: g`]의 합성함수([eqn: g CIRC f`]): [eqn: X`]의 각 원소 [eqn: x]에 [eqn: g(f`(x))`]를 대응시키는 [eqn: X`]에서 [eqn: Z`]로의 함수

- [eqn: g CIRC f``:X``` -> ```Z`]를 [eqn: (g CIRC f`)(x)`=`g(f`(x))```````(x` IN X)`]로 나타낸다.

[eqn: X`]

[eqn: x`]

[eqn: g`]

[eqn: f`]

[eqn: g(f(x))`]

[eqn: f(x)`]

[eqn: Z`]

[eqn: Y`]

[eqn: g CIRC f`]

[그림 2.9]  합성함수의 예

예제 2.6

[eqn: R]이 실수의 집합일 때 함수 [eqn: f```:R~ -> ~R`]에서 [eqn: f(x)＝x ^{2} ＋2`]이고, [eqn: g```:R~ -> ~R`]에서 [eqn: g(x)＝3x＋4`]이면, 합성함수 [eqn: g` CIRC f`,````f` CIRC g`]를 구하여라.

풀이

(1) [eqn: g` CIRC f`(x)＝g(f`(x))＝g(x ^{2} ＋2)＝3(x ^{2} ＋2)＋4＝3x ^{2} ＋6＋4＝3x ^{2} ＋10]

(2) [eqn: f` CIRC g(x)＝f`(g(x))＝f`(3x＋4)＝(3x＋4) ^{2} ＋2＝9x ^{2} ＋24x＋16＋2＝9x ^{2} ＋24x＋18]

- 일반적으로 합성함수는 교환법칙(commutative law)이 성립하지 않는다.

- 그러나 결합법칙은 항상 성립한다.

[eqn: f```:A`` -> `B,````g```:B``` -> ```C,```h```:C``` -> ```D`]라 할 때, [eqn: h CIRC (g CIRC f`)=(h CIRC g) CIRC f=h CIRC g CIRC f`]

예제 2.7

[eqn: f(x)= {x} over {x-1} `]일 때, [eqn: f`(f`(x))=x ^{3} `]을 만족시키는 [eqn: x]의 값을 구하여라.

풀이

주어진 식을 간단히 하면,

[eqn: {{x} over {x-1}} over {{x} over {x-1} -1} `=` {{x} over {x-1}} over {{x-x+1} over {x-1}} `=` {{x} over {x-1}} over {{1} over {x-1}} = x]이므로,

[eqn: f`(f`(x))`=`x ^{3} `=`x`].

[eqn: x ^{3} -x=`0`은`,`x(x ^{2} -1)`=`x(x+1)(x-1)`=0]

따라서, [eqn: x`=`0,~1] 또는 [eqn: -1]이 된다.

다만 [eqn: x=1]인 경우 [eqn: f(x)= {x} over {x-1}]의 분모가 0이 되므로, 제외함.

[eqn: THEREFORE `x=0,~-1]

예제 2.8

음이 아닌 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f`(x)＝x ^{4} ,````g(x)＝x＋2`]인 실수 [eqn: x`]에 대하여, [eqn: h(x)＝][eqn: x ^{2} ＋1`]이라 할 때, [eqn: h∘g∘f,```````f∘g∘h,```````f∘h∘g`]를 각각 구하여라.

풀이

[eqn: h CIRC g CIRC f(x)````` ＝`````h(g(x ^{4} ))`````＝h(x ^{4} ＋2)]

[eqn: ```~~~~~~~~~~~~ ＝```(x ^{4} ＋2) ^{2} ＋1```＝x ^{8} ＋4x ^{4} +5`````(단,```x는``음이```아닌```실수)]

[eqn: f CIRC g CIRC h(x)````` ＝`````f(g(x ^{2} ＋1))```＝```f(x ^{2} ＋1＋2)]

[eqn: ```~~~~~~~~~~~~＝```(x ^{2} ＋3) ^{4} `````(단,```x는```실수)]

[eqn: f CIRC h CIRC g(x) ````` ＝`````f(h(x＋2))＝```f((x＋2) ^{2} ＋1)=f(x ^{2} +4x+5)]

[eqn: ```~~~~~~~~~~~~＝```(x ^{2} ＋4x+5) ^{4} `````(단,``x는```음이```아닌```실수)]

예제 2.9

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f``]가 [eqn: f` LEFT ( {x+1} over {2} RIGHT ) =3x+2`]를 만족시킬 때,

[eqn: f` LEFT ( {1-2x} over {3} RIGHT ) `]를 구하여라.

풀이

[eqn: f`` LEFT ( {x+1} over {2} RIGHT ) =3x+2]에서 [eqn: {x+1} over {2} =t`]라 두면 [eqn: x=2t-1]이고, 이것을 주어진 식에 대입하면

[eqn: f`(t`)` & =`3(2t-1)`+2# # f`(t`) & =`6t-1# # & THEREFORE f` LEFT ( {1-2x} over {3} RIGHT ) =`6 TIMES LEFT ( {1-2x} over {3} RIGHT ) -1# # & =`-4x+1]

2.4

역함수

[eqn: f`]의 역함수: 함수 [eqn: f``:X`` -> `Y`]에서 [eqn: Y`]의 원소 [eqn: y`]에  [eqn: f`(x)`=`y`]를 만족시키는  [eqn: x`]를 대응시키는 함수

- [eqn: f ^{-1} ``:Y``` -> ```X`] 또는  [eqn: x=f ^{-1} (y)]로 나타낸다.

- 일반적으로, 이 대응관계가 반드시 함수인 것은 아니다.

- 함수 [eqn: f``]의 역함수 [eqn: f ^{-1} `:Y``` -> ```X`]가 존재하기 위한 필요충분조건은 [eqn: f`]가 전단사함수(일대일대응)일 때이다.

[eqn: f`]

[eqn: f ^{-1} `]

[eqn: x`]

[eqn: f ^{-1} (y)`]

[eqn: f(x)`]

[eqn: y`]

[eqn: X`]

[eqn: Y`]

[그림 2.10]  역함수의 예

임의의 일대일대응인 두 함수 [eqn: f```:X`` -> ``Y``,````g```:Y```` -> ``Z`]에 대하여,

[eqn: (f ^{-1} ) ^{-1} =f]

[eqn: f CIRC f ^{-1} =I=f ^{-1} CIRC f]([eqn: I`]는 항등함수)

[eqn: (g CIRC f`) ^{-1} =f ^{-1} CIRC g ^{-1}]

함수 [eqn: y=f(x)]와 그의 역함수 [eqn: y=f^-1`(x)]의 그래프는 직선 [eqn: y=x]에 대하여 서로 대칭이다.

역함수 계산 방법

- 먼저 주어진 함수가 일대일대응인가를 확인한다.

- 일대일대응이라면 [eqn: y=f(x)`]를 [eqn: x`]에 관하여 정리하여 [eqn: x=g(y)`]로 고친다.

- [eqn: x=g(y)`]에서 [eqn: x`] 대신 [eqn: y`], [eqn: y`] 대신 [eqn: x`]를 대입하여 [eqn: y=g(x)`]로 역함수를 구한다.

- 이 때 정의역은 치역으로, 치역은 정의역으로 바뀐다.

예제 2.10

함수 [eqn: f`(x)=2x+1`]의 역함수를 구하여라.

풀이

- 함수 [eqn: f`(x)]가 일대일대응이므로 역함수  [eqn: f ^{-1}]가 존재한다.

- [eqn: y=2x+1]로 놓고 정리하면 [eqn: x = {1} over {2} (y-1)].

- [eqn: x`] 대신 [eqn: y`], [eqn: y`] 대신 [eqn: x`]를 대입하면 [eqn: y = f ^{-1} (x)= {1} over {2} (x-1)].

예제 2.11

다음 함수의 역함수를 구하여라.

(1) [eqn: y=-2x+1`]          (2) [eqn: y=3x-2`]         (3) [eqn: y= {1} over {2} x```]

풀이

(1) [eqn: y=- {1} over {2} (x-1)]         (2) [eqn: y= {1} over {3} (x+2)]         (3) [eqn: y=2x``]

예제 2.12

다음 함수의 역함수를 구하여라.

(1) [eqn: y=-x+2~(-1` LEQ `x` LEQ `2)`]

(2) [eqn: y=3x-1~(0` LEQ `x` LEQ `2)`]

풀이

주어진 정의역은 치역으로, 치역은 정의역으로 바뀐다.

(1) [eqn: y=-x+2~(0 LEQ x LEQ 3)]

(2) [eqn: y= {1} over {3} (x+1)`(-1 LEQ x LEQ 5)]

예제 2.13

[eqn: f`]는 [eqn: Z](정수의 집합)에서 [eqn: Z]로의 함수이고, [eqn: f(x)＝x ^{2}`]이면 역함수가 존재하는가?

풀이

[eqn: f`(－1)＝f`(1)＝1~ RARROW `f``]의 역함수는 존재하지 않음 (일대일대응 아님)

예제 2.14

두 함수 [eqn: f`(x)=x+1,```g(x)=-x+1`]에 대하여 다음 물음에 답하여라.

(1) 역함수 [eqn: f ^{-1} (x),~g ^{-1} (x)`]를 구하여라.

(2) 합성함수 [eqn: (g CIRC f``)(x)`]와 그 역함수 [eqn: (g CIRC f``) ^{-1} (x)`]를 구하여라.

풀이

역함수는 위와 같은 방법으로 계산하면 되고, 합성함수는 대입하여 계산하면 된다.

(1) [eqn: f ^{-1} (x)=x-1,~g ^{-1} (x)=-x+1]

(2) [eqn: (g CIRC f``)(x)=-x,~(g CIRC f``) ^{-1} (x)=-x``]

예제 2.15

함수 [eqn: y=2x+3~(0` LEQ `x` LEQ `2)`]의 역함수를 구하고, 그 그래프를 그려라.

풀이

[eqn: y= {1} over {2} (x-3)~(3 LEQ x LEQ 7)]

2.5

분수함수와 무리함수

2.5.1  분수함수

분수함수: [eqn: x`]에 관한 분수식으로 표시되는 함수

(Ex) [eqn: y= {k} over {x}`][eqn: (k`는````상수, ```k` != `0)`]

(i)  [eqn: k`＞0`]이면,	[eqn: x`＞`0일``````때````````````````````````````y``＞0# # x`＜`0일``````때```````````````````````````y`＜`0`]

이므로 이 함수의 그래프는 1사분면과 3사분면에 나타난다.

(ii) [eqn: k`＜0``]이면,	[eqn: x`＞0일``````때````````````````````````````y`＜0# # x＜`0일``````때``````````````````````````y`＞0`]

이므로 이 함수의 그래프는 2사분면과 4사분면에 나타난다.

[eqn: y`]

[eqn: x`]

[eqn: y`]

[eqn: x`]

[eqn: k>0`]	[eqn: k<0`]

[그림 2.11]  분수 [eqn: y= {k} over {x} `]의 그래프

이와 같은 그래프를 직각 쌍곡선이라 한다. [eqn: y= {k} over {x}`][eqn: (k`는````상수, ```k` != `0)`]에서

- [eqn: x`]의 절대값이 커질수록 [eqn: y`]의 절대값은 작아지므로, 쌍곡선은 [eqn: x`]축에 가까워진다.

- [eqn: x`]의 절대값이 작아질수록 [eqn: y`]의 절대값은 커지므로, 쌍곡선은 [eqn: y`]축에 가까워진다.

- 이때, [eqn: x`]축과 [eqn: y`]축을 쌍곡선의 점근선이라 한다.

(Ex) 분수함수 [eqn: y= {k} over {x-m} +n] [eqn: (k`는`상수,``k` != `0)`]의 그래프

- [eqn: y= {k} over {x}]의 그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: m`,~y]축의 방향으로 [eqn: n`]만큼 평행이동

- 점 [eqn: (m,`n)]에 관하여 대칭인 직각 쌍곡선

- 점근선은 [eqn: x=m,```y=n`]

- 정의역은 [eqn: R- LEFT { m RIGHT } ``], 치역은 [eqn: R- LEFT { n RIGHT }]이 된다.

2.5.2  무리함수

무리함수: [eqn: x`]에 관한 무리식인 함수

(Ex) [eqn: y= sqrt {ax} `]의 그래프

- [eqn: a`＞0`]일 때, 정의역은 [eqn: LEFT { x`|``x GEQ 0 RIGHT }]이며, 치역은 [eqn: LEFT { y``|``y`` GEQ `0 RIGHT }`]이다. (1사분면)

- [eqn: a`< 0`]일 때, 정의역은 [eqn: LEFT { x`|``x LEQ 0 RIGHT }]이며, 치역은 [eqn: LEFT { y``|``y`` GEQ `0 RIGHT }`]이다. (2사분면)

- [eqn: y=- sqrt {ax} `]의 그래프는  [eqn: x]축에 대하여 서로 대칭인 그래프

[eqn: y`]

[eqn: y= sqrt {ax}]

[eqn: y=- sqrt {ax}`]

[eqn: a<0`]

[eqn: y= sqrt {ax}]

[eqn: a>0`]

[eqn: y=- sqrt {ax}`]

[eqn: x`]

[그림 2.12]  [eqn: y= sqrt {ax} `]의 그래프

(Ex) [eqn: y= sqrt {a(x-m)} +n`(a != 0)`]의 그래프

- [eqn: y= sqrt {ax} `]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: m,~y]축의 방향으로 [eqn: n`]만큼 평행이동

- [eqn: a`＞0`]일 때 정의역은 [eqn: LEFT { x`|``x GEQ m RIGHT }]이며, 치역은 [eqn: LEFT { y``|``y`` GEQ `n RIGHT }`]이다.

예제 2.16

[eqn: f`(x)`=` sqrt {x+1} (x GEQ 3)]의 역함수의 식 [eqn: f ^{-1} (x)]을 구하여라.

풀이

(1) [eqn: f`(x)`=` sqrt {x+1} (x` GEQ `3)]의 치역은  [eqn: f`(x)` GEQ `2]

(2) [eqn: y = sqrt {x+1}]로 놓고,  [eqn: x]에 대해 정리하면 [eqn: x = y^2 - 1 `]

(3) [eqn: x`] 대신 [eqn: y`], [eqn: y`] 대신 [eqn: x`]를 대입하면 [eqn: y=x ^{2} -1(x GEQ 2) THEREFORE f ^{-1} (x)=x ^{2} -1(x GEQ 2)]

2.6

지수함수

2.6.1  지수함수와 그래프

(1) 지수함수

✺ 지수법칙

[eqn: m,```n]을 양의 유리수라 할 때

[1] [eqn: a ^{m} CDOT a ^{n} =a ^{m+n} ```]	[2] [eqn: a ^{m} ``÷a ^{n} `=a ^{m-n} ```]

[3] [eqn: LEFT ( a`b RIGHT ) ^{m} =a ^{m} b ^{m} `]	[4] [eqn: LEFT ( {a`} over {b`} RIGHT ) ^{m} = {a ^{m} ``} over {b ^{m} ``} ```]	[5] [eqn: LEFT ( a ^{m} `` RIGHT ) ^{n} =a ^{m`n} ```]

✺ 0 또는 음의 정수인 지수의 정의

[eqn: a`]는 0이 아닌 실수이고, [eqn: n`]이 양의 정수일 때

[eqn: a ^{0} =1`],   [eqn: a ^{-n} = {1} over {a ^{n}} `]

[eqn: x`]의 지수함수:  [eqn: y=a ^{x} (a>0,~a != 1)`]

- 정의역: 실수 전체의 집합, [eqn: a`]: 밑(base)

예제 2.17

[eqn: sqrt {2} ,`` ^{3} sqrt {3} ,`` ^{5} sqrt {5} `]의 대소를 비교하여라. (생략)

풀이

① [eqn: sqrt {2} `]와 [eqn: ` ^{3} sqrt {3} `]의 비교

두 수를 각각 6제곱하면 : [eqn: LEFT ( sqrt {2} RIGHT ) ^{6} = LEFT ( 2 ^{{1} over {2}} RIGHT ) ^{6} =2 ^{3} `=8]
[eqn: LEFT ( ` ^{3} sqrt {3} RIGHT ) ^{6} = LEFT ( 3 ^{{1} over {3}} RIGHT ) ^{6} =3 ^{2} `=9] [eqn: THEREFORE ` sqrt {2} <` ^{3} sqrt {3}]	(ⅰ)

② [eqn: sqrt {2}]와 [eqn: ` ^{5} sqrt {5}]의 비교

두 수를 각각 10제곱하면 : [eqn: LEFT ( sqrt {2} RIGHT ) ^{10} = LEFT ( 2 ^{{1} over {2}} RIGHT ) ^{10} =2 ^{5} =32]
[eqn: LEFT ( ` ^{5} sqrt {5} RIGHT ) ^{10} = LEFT ( 5 ^{{1} over {5}} RIGHT ) ^{10} =5 ^{2} =25]  [eqn: THEREFORE ^{5} sqrt {5} < sqrt {2}]	(ⅱ)

(ⅰ)(ⅱ)에서 [eqn: ` ^{5} sqrt {5} `＜` sqrt {2} `＜ ^{3} sqrt {3}]이므로, 답은 [eqn: ` ^{5} sqrt {5} `＜` sqrt {2} ＜ ^{3} sqrt {3}]이다.

(2) 지수함수의 그래프

- 지수함수 [eqn: y=a ^{x}]의 그래프

① [eqn: a``＞1`]일 때	② [eqn: 0``＜a``＜1`]일 때

[그림 2.13]  [eqn: a＞1]	[그림 2.14]  [eqn: 0``＜a``＜1]

예제 2.18

지수함수 [eqn: y= LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x} `]의 그래프를 그려라.

풀이

[eqn: y= LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x}][eqn: = {1} over {2 ^{x}} =2 ^{-x}]

즉, [eqn: y= LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x}]의 그래프는 [eqn: y=2 ^{x}]

의 그래프와 [eqn: y`]축에 대하여 대칭이다.

(3) 지수함수[eqn: (y=a ^{x} ,~a`＞0,~a` != 1)]의 성질

① 정의구역은 실수 전체의 집합 [eqn: R`]이고, 치역은 양수 전체의 집합 [eqn: LEFT { y vert y``＞0 RIGHT } `]인 단사함수이다.

② 그래프는 점[eqn: LEFT ( 0,~1 RIGHT ) `]을 지나고, 직선 [eqn: y=0(x축)`]이 점근선이다.

③ [eqn: a>1`]일 때는 증가함수이고, [eqn: 0`＜`a``＜`1`]일 때는 감소함수이다.

④ [eqn: y=a ^{x} `]의 그래프와 [eqn: y= LEFT ( {1} over {a} RIGHT ) ^{x} `]의 그래프는 [eqn: y`]축 대칭이다.

(4) 지수함수 [eqn: f(x)=a ^{x} `]의 최대 ․ 최소

① [eqn: a``＞1`]일 때,
[eqn: alpha ` LEQ `x` LEQ ` beta `]이면 [eqn: f`( alpha )]는 최소값, [eqn: f`( beta )]는 최대값

② [eqn: 0<a<1`]일 때,
[eqn: alpha ` LEQ `x` LEQ ` beta `]이면 [eqn: f`( alpha )]는 최대값, [eqn: f`( beta )]는 최소값

예제 2.19

오른쪽 그림은 [eqn: y=log _{a} ``x`](단, [eqn: a>1`])의 그래프이다.

이 때, [eqn: ` ^{6} sqrt {A ^{log _{a} ``B ^{2}}} `]을 [eqn: a,~b,~c`]의 관계식으로 나타내면?

풀이

지수와 로그는 역함수 관계

[eqn: c=log``a B,~b=log``a A]이므로 [eqn: B=a ^{c} ,] [eqn: A=a ^{b}]가 되어 [eqn: root {6} of {A ^{logaB ^{2}}} = root {6} of {(a ^{b} ) ^{2c}} =(a ^{2bc} ) ^{{1} over {6}}=a ^{{1 } over {3 }bc}]

2.6.2  지수방정식과 지수부등식

(1) 지수방정식의 풀이

[eqn: a``＞`0,~b``＞`0,```a` != 1,~b` != 1`]일 때

① [eqn: a ^{f(x)} =a ^{g(x)} `]의 꼴 : [eqn: f`(x)=g(x)`]에서 [eqn: x`]의 근을 구한다.

② [eqn: a ^{f(x)} =b ^{g(x)} `]의 꼴 : 양변에 로그를 취한다.

③ [eqn: f` LEFT ( a ^{x} )=0 RIGHT .]의 꼴 : [eqn: a ^{x} =t(t>0)]로 치환하고 [eqn: t`]에 관한 방정식으로 변형하여 푼다.

④ [eqn: a ^{f(x)} =b ^{f(x)} `]의 꼴 : [eqn: a=b`] 또는 [eqn: f`(x)=0`]이다.

예제 2.20

다음을 풀이하여라.

(1) [eqn: 3 ^{x-2} =81`]	(2) [eqn: 3 ^{1-x} =27`]

풀이

(1) [eqn: 3 ^{x-2} =3^4`] [eqn: ~therefore ``x=6]	(2) [eqn: 3 ^{1-x} =3^3`][eqn: ~~therefore ``x=-2]

예제 2.21

[eqn: 4 ^{x} -2 ^{x+1} +1=0]의 근은?

풀이

[eqn: 2 ^{x} =t`]로 치환하면 [eqn: t ^{2} -2t+1=0~~~~~`t=1``]

[eqn: THEREFORE `2 ^{x} =1``]이므로 [eqn: x=0``]

(2) 지수부등식의 풀이 요령

[eqn: a>0,~b>0,`a != 1,~b != 1`]일 때

① [eqn: a ^{f(x)} >a ^{g(x)} `]의 꼴
[eqn: -a>1`]이면 [eqn: f(x)>g(x)`]를 푼다.
[eqn: -0<a<1`]이면 [eqn: f(x)<g(x)`]를 푼다.

② [eqn: f(a ^{x} )>0`]의 꼴 : [eqn: a ^{x} =t(t>0)`]로 치환하고 [eqn: t`]에 관한 부등식으로 변형하여 푼다.

지수부등식

[Ⅰ] [eqn: a`＞`1```]일 때 [eqn: x`＜`y```]이면 [eqn: a ^{x} ＜a ^{y} ```]

[Ⅱ] [eqn: 0`＜`a`＜`1```]일 때 [eqn: x`＜`y```]이면 [eqn: a ^{x} ＞a ^{y} ```]

예제 2.22

다음 지수부등식을 풀어라.

(1) [eqn: 2 ^{x} >1`]	(2) [eqn: ( {1} over {2} ) ^{x} >( {1} over {2} ) ^{2x+1} `]

풀이

(1) [eqn: 1=2 ^{0}]이므로 [eqn: 2 ^{x} >2 ^{0}]
그런데 밑 [eqn: 2]는 [eqn: 1]보다 크므로 ∴[eqn: x>0]

(2) 밑 [eqn: {1} over {2}]은 [eqn: 1]보다 작으므로 [eqn: x]의 값이 증가함에 따라 [eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x}]은 감소한다.
그러므로 [eqn: x<2x+1]  ∴[eqn: x>-1]

2.7

로그함수

2.7.1  로그함수와 그래프

(1) 로그함수 정의

지수함수와 로그함수

- 지수함수 [eqn: y=a ^{x} ```(``a``>``0,```a` != ``1``)`]은 실수 전체의 집합에서 양수 전체의 집합으로의 일대일 대응이다.

- 따라서 임의의 양수 [eqn: b`]에 대하여 [eqn: a ^{x} =b`]을 만족하는 실수 [eqn: x`]는 오직 하나 존재한다.

- [eqn: a``>``0`,```a`` != ``1,```b``>``0``일```때,~~~~a ^{x} =b````` LRARROW ````x=log _{a} ``b~`]

y

y=ax

b

1

0

x

log ab

[eqn: y=a ^{x} `]에서 [eqn: x`]를 [eqn: x=log _{a} `b```]

([eqn: a`]를 밑으로 하는 [eqn: b``]의 로그,

[eqn: b`]를 [eqn: log _{a} `b`]의 진수)

[그림 2.15]  로그함수

로그함수: 지수함수의 역함수

- [eqn: y=log _{a} `x``` LRARROW ``x=a ^{y} `]이다.

- 그런데, [eqn: x=a ^{y}`]은 지수함수 [eqn: y=a ^{x}`]의 역함수이다.

- 그러므로 로그함수 [eqn: y=log _{a} `x`]는 지수함수 [eqn: y=a ^{x}`]의 역함수이다.

- [eqn: y=log _{a} x`]의 그래프는 [eqn: y=a ^{x}`]의 그래프와 직선 [eqn: y=x`]에 대하여 대칭이다.

예) [eqn: log _{3} `3``=1`]      [eqn: log _{2} ``1``=0`]

예) [eqn: f``(x)`=log _{2} `x`]의 역함수는?    [eqn: f`` ^{-1} (x)=2 ^{x} `]
[eqn: f``(x)`=log _{a} `x`]의 역함수는?    [eqn: f`` ^{-1} (x)=a ^{x} `]

예제 2.23

다음 등식을 로그를 사용하여 나타내어라.

(1) [eqn: 3 ^{4} =81`]

(2) [eqn: 10 ^{-3} =0.001`]

풀이

(1) [eqn: 4=log _{3} 81]  ([eqn: 4=log _{3} 81=log _{3} 3 ^{4}])

(2) [eqn: -3=log _{10} 10 ^{-3}]  ([eqn: -3=log _{10} (0.001)=log _{10} 10 ^{-3}])

(2) 로그함수와 그래프

- [eqn: y=log _{2} x`]의 그래프는 [eqn: y=2 ^{x}`]의 그래프와 직선 [eqn: y=x`]에 대하여 대칭이다.

[eqn: y=x]

[eqn: y=log _{2} x]

[eqn: y=2 ^{x}]

1

[그림 2.16]  로그함수와 그래프

예제 2.24

함수 [eqn: y= LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x}]의 그래프를 이용하여 함수 [eqn: y=log _{{1} over {2}} x`]의 그래프를 그려라.

풀이

[eqn: y= LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x}]를 [eqn: y=x`]에 대칭이동하면 [eqn: y=log _{{1} over {2}} x`] 그래프를 얻는다.

(3) 로그함수의 성질

1) 로그함수의 성질

① 정의역은 양의 실수 전체의 집합이고, 치역은 실수 전체의 집합이다.

② [eqn: a``>``1]일 때, [eqn: x``]의 값이 증가하면 [eqn: y``]의 값도 증가한다.
[eqn: 0``<``a``<``1]일 때, [eqn: x``]의 값이 증가하면 [eqn: y``]의 값은 감소한다.

③ 그래프는 점[eqn: (`1`,`0`)]을 지난다.

④ 그래프의 점근선은 [eqn: y``]축이다.

2) 로그의 성질

[eqn: a>0,```a != 1,```M>0,```N>0] 일 때

[1] [eqn: log _{a} 1=0,`log _{a} a=1]

[2] [eqn: log _{a} MN``=`log _{a} M+log _{a} N]

[3] [eqn: log _{a} {M} over {N} `=`log _{a} M-log _{a} N]

[4] [eqn: log _{a} M ^{n} =nlog _{a} M]

[5] 밑을 바꾸는 공식
[eqn: c>0],  c[eqn: !=]1일 때, [eqn: log _{a} b= {log _{c} b} over {log _{c} a}]

[2]증명: [eqn: log _{a} M``=`x_1], [eqn: log _{a} N``=`x_2],  [eqn: log _{a} MN``=`log _{a} a^{x_1} a^{x_2} ``=`` log _{a} a^{x_1 + x_2} ``=`` x_1 + x_2]

[5]증명: [eqn: log _{a} b= x]라 하면 [eqn: a^x = b], 양변에 [eqn: c]를 밑으로 하는 로그를 취하면 [eqn: log _{c} a^x = log _{c} b]

[eqn: therefore x log _{c} a = log _{c} b] [eqn: therefore x = {log _{c} b }over {log _{c} a}]

* 상용로그 : 로그에서 밑을 10으로 하는 로그
- 양수 [eqn: a]의 상용로그: [eqn: log_10` a] = [eqn: log`a]

* 자연로그 : 로그에서 밑을 [eqn: e]로 하는 로그

- 양수 [eqn: a]의 자연로그: [eqn: log _{e} a] = [eqn: ln`a]

- [eqn: e]=2.7182818.... = [eqn: lim _{x -> 0} {(1+x) ^{ { 1} over {x } }] =  [eqn: lim _{x -> INF } {} (1+ {1} over {x} ) ^{x}]

예제 2.25

[eqn: 1 LEQ x LEQ 100]의 범위에서 [eqn: y=x ^{1-log _{10} ``x}]의 최대값과 최소값을 구하여라.

풀이

식의 양변에 밑이 10인 로그를 취하면

[eqn: log _{10} ``y=log _{10} ``x ^{1-log _{10} ``x} =(1-log _{10} ``x)``log _{10} ``x]

[eqn: log _{10} ``x=t`]라 하면 [eqn: 0 LEQ t` LEQ `2] ([eqn: BECAUSE `1` LEQ `x` LEQ `100])

[eqn: log _{10} ``y=-t ^{2} +t=- LEFT ( t- {1} over {2} RIGHT ) ^{2} + {1} over {4}] 그러면 [eqn: t= {1} over {2}]일 때 [eqn: log _{10} ``y`]의 최대값은 [eqn: {1} over {4}] 따라서 [eqn: log _{10} ``y= {1} over {4} ~~~~ THEREFORE ```y= `10^{1 over 4} `=`` ^{4} sqrt {10}]

그리고 [eqn: t=2]일 때 [eqn: log _{10} ``y]의 최소값은 [eqn: -2]

따라서  [eqn: log _{10} ``y=-2~~~~ THEREFORE ``y=10 ^{-2} = {1} over {100}]

2.7.2  로그방정식과 로그부등식

(1) 로그방정식

로그방정식: 로그의 진수에 미지수가 들어 있는 방정식

- 로그의 밑이 다른 것은 밑을 같게 하고, 로그함수의 다음 성질을 이용하여 푼다.

[eqn: log _{a} A`] [eqn: RARROW `] [eqn: A>0`]
[eqn: log _{a} x _{1} =log _{a} x _{2} `] [eqn: LRARROW `] [eqn: x _{1} =x _{2} `]

예제 2.26

다음 로그방정식을 풀어라.

[eqn: log _{3} (x+4)+log _{3} (x-4)=2`]

풀이

주어진 방정식을 변형하면 [eqn: log _{3} (x+4)(x-4)=2]

[eqn: (x+4)(x-4)=3 ^{2}], 정리하면 [eqn: x^2 = 25].   [eqn: therefore ``x=5,```x=-5]

그런데 로그 진수는 양수이어야 하므로 즉, [eqn: x-4>0]이므로 구하는 근은  [eqn: x=5]이다.

(2) 로그부등식

로그부등식: 로그의 진수에 미지수가 들어 있는 부등식

- 로그의 밑이 다른 것은 밑을 같게 하고, 로그함수의 다음 성질을 이용하여 푼다.

[eqn: log _{a} A`] [eqn: RARROW `] [eqn: A>0`]

[eqn: a>1`]일 때,     [eqn: log _{a} x _{1} <log _{a} x _{2} `] [eqn: LRARROW `] [eqn: x _{1} <x _{2} `]

[eqn: 0<a<1`]일 때,   [eqn: log _{a} x _{1} <log _{a} x _{2} `] [eqn: LRARROW `] [eqn: x _{1} >x _{2} `]

예제 2.27

다음 로그부등식을 풀어라.

(1) [eqn: logx+log(x-3)`` <= ``1``]	(2) [eqn: 2log _{{1} over {2}} (x-4)>log _{{1} over {2}} (x-2)`]

풀이

(1) 로그의 진수는 양수이어야 하므로 [eqn: x>0,~x-3>0]	∴[eqn: x>3]	①

[eqn: logx(x-3)`` LEQ ``log10`]

[eqn: x(x-3)` LEQ `10`]

[eqn: (x+2) (x-5) <= 0]	∴[eqn: -2` LEQ ``x` LEQ `5`]	②

구하는 해는 ①, ②를 동시에 만족시키는 [eqn: x]의 범위이므로	∴[eqn: 3<x`` LEQ ``5``]

(2) 로그의 진수는 양수이어야 하므로 [eqn: x-4>0, & x-2>0]	∴[eqn: x>4]	①

[eqn: log _{{1} over {2}} (x-4) ^{2} >log _{{1} over {2}} (x-2)]이고, 로그의 밑이 1보다 작으므로

[eqn: (x-4) ^{2} <(x-2)]	∴[eqn: 3<x<6]	②

[eqn: x ^{2} -8x+16`<x-2# # `x ^{2} -9x+18<0# # (x-3)(x-6)``<0]

구하는 해는 ①, ②를 동시에 만족시키는 [eqn: x`]의 범위이므로	∴[eqn: 4<x<6]

연습문제

1

두 집합 [eqn: X= LEFT { -1,`0,`2 RIGHT } ,`Y= LEFT { 2,`3,`6 RIGHT }]가 있다. [eqn: X]의 각 원소 [eqn: x]에 [eqn: Y]의 각 원소 [eqn: y]를 [eqn: y=x ^{2} +2]의 관계에 의하여 대응시키고 그림으로 나타내시오. 그리고 함수 [eqn: y]는 어떠한 함수인가?

연습문제

2

다음 대응 중에서 함수인 것을 찾고, 그 함수의 정의역과 공역을 구하여라.

(1)                          (2)                           (3)

1

3

5

2

4

[eqn: X]

[eqn: Y]

1

2

3

4

5

[eqn: X]

[eqn: Y]

1

2

3

7

8

9

[eqn: X]

[eqn: Y]

3

두 집합 [eqn: X= LEFT { -1,`0,`1,`2 RIGHT }], [eqn: `Y= LEFT { -2,`-1,`0,`1,`2 RIGHT }]에 대하여 [eqn: f`:`X` -> `Y],  [eqn: f(x)`=`-x+1]  이라 할 때 다음에 답하여라.

(1) 함수 [eqn: f]의 치역을 구하여라.

(2) 함수 [eqn: f]의 그래프를 집합을 써서 나타내어라.

(3) 함수 [eqn: f]의 그래프를 그려라.

4

두 함수 [eqn: f(x)`=`4x+1,``g(x)`=`x ^{2}]에 대하여 다음을 구하여라.

[eqn: (f CIRC g)(2),`(g CIRC f)(2),`(f CIRC g)(x),`(g CIRC f)(x)]

5

세 함수 [eqn: f(x)`=`2x+1,``g(x)`=`3x,``h(x)``=`x ^{2}]에 대하여 결합법칙 [eqn: (h CIRC g) CIRC f`=`h CIRC][eqn: (g CIRC f)]가 성립함을 보여라.

6

다음과 같이 정의된 함수 [eqn: f,`g]가 있다.

[eqn: f`:`x` -> `3x-b],	[eqn: g`:`x` -> `4`-`3x]

이 때 다음 물음에 답하여라.

(1) [eqn: (g CIRC f)(x)`=`(f CIRC g)(x)]가 항상 성립하는 [eqn: b]의 값을 구하여라.

(2) [eqn: b=2]일 때, [eqn: (f CIRC h)(x)`=`g(x)]를 만족시키는 함수 [eqn: h(x)]를 구하여라.

7

함수 [eqn: y=x ^{2} -1(x GEQ 0)]의 역함수를 구하고, 그 그래프를 그려라.

8

세 개의 함수 [eqn: f`:`x` -> `x+2,``g:`x` -> `3x,``h`:`x` -> `ax`+`b`(a` != `0)]가 주어질 때, 다음 물음에 답하여라.

(1) [eqn: (g CIRC f) ^{-1} `=`f ^{-1} CIRC g ^{-1}]가 성립함을 보여라.

(2) [eqn: g ^{-1} CIRC f ^{-1} =`h ^{-1}] 가 성립할 때, [eqn: a,```b]의 값을 구하여라.

9

함수 [eqn: f(x)= {ax+b} over {x+c}] 의 역함수가 [eqn: f ^{-1} (x)= {3x-1} over {x+2}]일 때, 상수 [eqn: a,`b,`c]의 값을 구하여라.

10

다음 무리함수의 정의역과 치역을 구하고, 그 그래프를 그려라

(1) [eqn: y`=` sqrt {4-2x} +1]	(2) [eqn: y=2- sqrt {4x-x ^{2}}]

11

다음 식을 간단히 하여라

(1) [eqn: root {3} of {128} ÷ root {3} of {2}]     (2) [eqn: root {3} of {sqrt {64}}]     (3) [eqn: root {3} of {a} TIMES root {5} of {a} TIMES root {6} of {a}]     (4) [eqn: sqrt {a sqrt {a sqrt {a}}}]

12

다음 함수의 최대값과 최소값을 구하여라.

(1) [eqn: y`=`2 ^{1-x} `(-2` LEQ `x` LEQ 1)]

(2) [eqn: y`=`4 ^{x} -3 ``․ ``2 ^{x} `(x LEQ 2)]

13

소음이 유리 한 장을 통과할 때마다 그 소음도가 20%씩 줄어든다고 한다. 이 유리를 적어도 [eqn: x`]장 겹쳐 놓으면 유리를 통과하는 소음이 처음의  [eqn: {1} over {2}`] 이하로 줄어든다. 이 때, [eqn: x`]의 값을 구하면? (단, [eqn: log``2=0.3`])

14

다음 식을 간단히 하여라.

[eqn: {log _{10} sqrt {2} +log _{10} 3-log _{10} sqrt {10}} over {log _{10} 1.8}]

15

다음 방정식을 풀어라

(1) [eqn: x ^{logx} `=`100x]	(2) [eqn: 3 ^{logx} ``․`` x ^{log3} -2(3 ^{logx} +x ^{log3} )+3`=`0]

16

다음 부등식을 풀어라

(1) [eqn: 2 ^{2x} -3 ``․`` 2 ^{x+2} +32`<`0]	(2) [eqn: log _{8} (1-x)`+`log _{64} (x+2)` GEQ `log _{4} x]