3장. 삼각함수

IT 전공자를 위한 기초수학

3

3.1 일반각과 호도법

3.2 삼각함수의 정의와 성질

3.3 삼각함수의 여러 가지 공식

3.4 삼각함수의 법칙

3.5 역삼각함수

3.1

일반각과 호도법

(1) 일반각 (육십분법)

- 각을 나타내는 단위로 도(degree)를 사용

- [eqn: barOP]를 점 [eqn: O]를 기준으로 1바퀴 회전한 값을 [eqn: 360]도라 정의 ([eqn: 360 DEG]로 표기)

- [eqn: 1DEG]는 [eqn: 1]바퀴 회전한 양의 [eqn: { 1} over { 360}]에 해당

- 각의 크기는 시계방향으로 회전하면 음의 값, 반시계방향으로 회전하면 양의 값으로 정의

- (Ex) [그림 3.1]의 경우에는 [eqn: alpha>0], [eqn: beta<0]이 된다.

- [eqn: bar OP]를 양의 방향으로 [eqn: alpha]만큼만 회전한 경우와 [eqn: alpha ``±`(n`` TIMES `360 DEG ) `````(n은`자연수)]만큼 회전한 경우 모두 점 [eqn: P`]가 동일한 위치에 있게 된다.

[그림 3.1]  일반각의 정의

[그림 3.2]  360도의 의미

(2) 라디안 (호도법)

- 각을 나타내는 단위로 라디안(radian)을 사용

- 1라디안 (혹은 1호도) = 반지름의 길이가 [eqn: r]인 원호위에 호의 길이가 [eqn: r]인 호 [eqn: arch {PQ }]를 잡을 경우 이 호에 대한 중심각 [eqn: ANGLE POQ]의 크기

- 이 각은 반지름 [eqn: r]의 길이에 관계없이 항상 일정하다.

- 1바퀴 회전한 각의 크기는 [eqn: 2pi] 라디안이 된다.

- 중심각 [eqn: ∠ POQ]의 크기는 원호 [eqn: arch { PQ}]의 길이에 비례

- [eqn: barOP]가 1바퀴 회전했을 때 원호 [eqn: arch { PQ}]의 길이(원둘레)는 [eqn: 2 pi r]이다.

- 1바퀴 회전했을 때 회전한 각의 크기를 [eqn: x][rad]이라 하면 [eqn: 1:r = x:2pir]에서 [eqn: x=2pi][rad]

[그림 3.3]  1라디안과 호도법

- 라디안과 도(degree)의 관계

[eqn: 1] [rad] = [eqn: {180 ° } over {pi }] = 57[eqn: °]17’45”	(3.1)

[eqn: 1°]= [eqn: {pi } over {180 ° }] [rad] = 0.01745[rad]	(3.2)

예제 3.1

다음의 도를 라디안으로 변환하여라.

(1) [eqn: 10]°	(2) [eqn: 400]°

풀이

(1) [eqn: 1]°[eqn: = {pi } over {180}] 라디안이므로 [eqn: 10` TIMES {pi } over {180} `=` {pi } over {18}][rad]

(2) 마찬가지로 [eqn: 400` TIMES {pi } over {180} = {20 pi } over {9}][rad]

예제 3.2

다음의 라디안으로 표시된 각도를 도로 변환하여라.

(1) [eqn: 0.2]	(2) [eqn: 7 pi]

풀이

(1) [eqn: 0.2 TIMES {180°} over {pi } = {36°} over {pi }]

(2) [eqn: 7 pi TIMES {180°} over {pi } =7 TIMES 180°]

[그림 3.4]  부채꼴

부채꼴 [eqn: OPQ]의 면적

- [eqn: l] = 점 [eqn: P]에서 점 [eqn: Q]까지 원호의 길이 = [eqn: r theta]

(중심각이 1[rad]일 때 호의 길이는 [eqn: r], 중심각이 [eqn: theta]일 때 호의 길이 [eqn: l])

(비례식 [eqn: 1``:``r = theta``:l] 사용)

- [eqn: S] = 부채꼴 [eqn: OPQ]의 면적 = [eqn: {1} over {2} r ^{2} theta = {1} over {2} rl```]

(중심각이 [eqn: 2pi]일 때 부채꼴의 면적이 [eqn: pi r ^{2}], 중심각이 [eqn: theta]일 때의 부채꼴의 면적 [eqn: S])

(비례식 [eqn: 2pi ``:` pir^2 = theta ``:`` S] 사용)

3.2

삼각함수의 정의와 성질

[그림 3.5]  삼각함수를 정의하기 위한 직각삼각형

- sine, cosine, tangent 함수의 정의

[eqn: sin` theta = {a} over {c}]	(3.5)

[eqn: cos` theta = {b} over {c}]	(3.6)

[eqn: tan` theta = {sin theta } over {cos theta } = {a} over {b}]	(3.7)

- cosecant, secant, cotangent 함수의 정의

[eqn: csc` theta``=`` {1} over {sin theta } ```=`` {c} over {a}]	(3.8)

[eqn: sec` theta``=`` {1} over {cos theta } ``=`` {c} over {b}]	(3.9)

[eqn: cot` theta ``=`` {1} over {tan theta } ``=`` {b} over {a}]	(3.10)

[표 3.1]  특수각의 삼각함수

[eqn: theta] 삼각함수	0°	30°	45°	60°	90°
[eqn: sin theta]	0	[eqn: {1} over {2}]	[eqn: {1} over {sqrt {2}}]	[eqn: {sqrt {3}} over {2}]	1
[eqn: cos theta]	1	[eqn: {sqrt {3}} over {2}]	[eqn: {1} over {sqrt {2}}]	[eqn: {1} over {2}]	0
[eqn: tan theta]	0	[eqn: {1} over {sqrt {3}}]	1	[eqn: sqrt {3}]	-

- Note: 변의 길이 1인 정사각형의 반, 변의 길이 2인 정삼각형의 반 이용

직각삼각형에서 피타고라스의 정리 ([eqn: c ^{2} = a ^{2} + b ^{2}])을 이용하면 다음 식을 유도할 수 있다.

[eqn: sin ^{2} theta +cos ^{2`} ` theta `= {a ^{2}} over {c ^{2}} + {b ^{2}} over {c ^{2}} ``=`1]	(3.11)

이를 통하여 다음의 두 관계식을 유도할 수 있다.

[eqn: 1``+`tan ^{2} ` theta ``=``1+ {a ^{2}} over {b ^{2}} `=` {c ^{2}} over {b ^{2}} =`sec ^{2} ` theta]	(3.12)

[eqn: `1``+`cot ^{2} `` theta ``=`1+ {b ^{2}} over {a ^{2}} `=` {c ^{2}} over {a ^{2}} `=`csc ^{2} ` theta]	(3.13)

예제 3.3

[eqn: sin theta = {1} over {3}]이고 [eqn: {pi } over {2} LEQ theta LEQ pi]이다. [eqn: tan` theta]를 구하여라.

풀이

[eqn: sin ^{2} theta +cos ^{2`} ` theta `=`1]에서 [eqn: cos theta =± sqrt {1-sin ^{2} theta } =± {2 sqrt {2}} over {3}]이다.

그리고 [eqn: {pi } over {2} LEQ theta LEQ pi]에서는 [eqn: cos theta]는 음수이므로 [eqn: cos theta =- {2 sqrt {2}} over {3}]이다.

따라서 [eqn: tan theta = {sin theta } over {cos theta } =- {1} over {2 sqrt {2}}]이다.

(1) sine 함수의 그래프 ([eqn: y = sin theta])

- 정의구역: 실수 전체의 집합 ([eqn: theta > 0])

- 치역: [eqn: -1 LEQ y LEQ 1]

[그림 3.6]  [eqn: y=sin theta]의 그래프

(2) cosine 함수의 그래프 ([eqn: y = cos theta])

- 정의구역: 실수 전체의 집합 ([eqn: theta > 0])

- 치역: [eqn: -1 LEQ y LEQ 1]

[그림 3.7]  [eqn: y=cos theta]의 그래프

(3) tangent 함수의 그래프 ([eqn: y=tan theta])

- 정의구역:  [eqn: n pi - {pi } over {2} <theta <n pi + {pi } over {2}] [eqn: (n은~정수)]

- 치역: 실수 전체의 집합

[그림 3.8]  [eqn: y = tan theta]의 그래프

주기

- sine 함수와 cosine 함수의 주기: [eqn: 2 pi `]

[eqn: sin(2n pi ``+`` theta )````=`````sin theta #`# cos(2n pi ``+`` theta )`````=`````cos theta]

- tangent 함수의 주기: [eqn: pi `]

[eqn: tan(n pi ```+``` theta )`````=`````tan theta]

음각의 삼각함수

- sine 함수: 원점에 대칭인 기함수(odd function) ([그림 3.6] 참조)

[eqn: sin(- theta )=-sin theta]	(3.14)

- cosine 함수: [eqn: y]축에 대칭인 우함수(even function) ([그림 3.7] 참조)

[eqn: cos(- theta )=cos` theta]	(3.15)

- tangent 함수: 다음의 관계식이 성립하므로 기함수이다. ([그림 3.8] 참조)

[eqn: tan(- theta )= {sin(- theta )} over {cos(- theta )} = {-sin( theta )} over {cos( theta )} =-tan` theta]	(3.16)

- cotangent, cosecant, secant 함수:

[eqn: cot(- theta )= {cos(- theta )} over {sin(- theta )} =-cot` theta]	(3.17)

[eqn: sec(- theta )= {1} over {cos(- theta )} = {1} over {cos` theta } =sec` theta]	(3.18)

[eqn: csc(- theta )= {1} over {sin(- theta )} =- {1} over {sin` theta } =-csc` theta]	(3.19)

보각공식

[eqn: sin( pi - theta )=sin theta]

[eqn: cos( pi - theta )=-cos theta]

[eqn: tan( pi - theta )=-tan theta]

여각공식

[eqn: sin left ( {pi } over {2} - theta right )=cos theta]

[eqn: cos left( {pi } over {2} - theta right )=sin theta]

[eqn: tan left ( {pi } over {2} - theta right )=cot theta]

일반적으로 보각공식, 여각공식을 포함하여 [eqn: {n pi } over {2} ± theta] [eqn: (`n은``정수)]의 각에 대한 삼각함수 변환

은 다음과 같이 요약할 수 있다.

첫째, [eqn: n]이 짝수이면 sin은 sin, cos은 cos, tan은 tan 그대로 되며, [eqn: n]이 홀수이면 sin은 cos, cos은 sin, tan은 cot로 변한다.

둘째, [eqn: theta]는 항상 예각으로 간주하고, [eqn: {n pi } over {2} ± theta]가 나타내는 동경을 그린다. 이 때 그 동경이 몇

사분면에 존재하느냐에 따라서 그 사분면에서  변환전 삼각함수의 부호가 양이면 +를 음이면 -를 추가한다. 삼각함수의 부호는 [표 3.2]와 같다.

[표 3.2]  사분면에 따른 삼각함수의 부호

사분면 삼각함수	1	2	3	4	사분면 삼각함수
[eqn: sin theta]	+	+	-	-	[eqn: csc theta]
[eqn: cos theta]	+	-	-	+	[eqn: sec theta]
[eqn: tan theta]	+	-	+	-	[eqn: cot theta]

Note: 보각공식과 여각공식은 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 계산할 수 있다.

(Ex) [eqn: sin( pi - theta )=sin theta] 보각공식

덧셈정리 [eqn: sin( alpha ```-``` beta )```=```sin` alpha ``cos` beta ```-```cos` alpha ``sin` beta] 이용

[eqn: therefore ``sin( pi - theta )= ```sin` pi ``cos` theta ```-```cos` pi ``sin` theta =sin theta]

예제 3.4

다음을 [eqn: 45°]보다 작은 양의 각의 삼각함수로 고쳐라.

(1) [eqn: sin250°]          (2) [eqn: cos140°]         (3) [eqn: tan290°]

풀이

(1) [eqn: 250°=90° TIMES 3-20°] 이므로
[eqn: sin250°=sin(90° TIMES 3-20°)=sin({3pi over 2} -20°) #~~~~~~~= sin({3pi over 2}) cos(20°) ``-`` cos({3pi over 2}) sin(20°)=``-cos20°]

(2) [eqn: 140°=90° TIMES 2-40°] 이므로
[eqn: cos140°=cos(90° TIMES 2-40°)=cos(pi -40°) ##~~~~~~~= cos(pi) cos(40°) ``+`` sin(pi) sin(40°)=``-cos40°]

(3) [eqn: 290°=90° TIMES 3+20°] 이므로
[eqn: tan290°=tan(90° TIMES 3+20°)= {sin(90° TIMES 3+20°)} over{cos(90° TIMES 3+20°)} ##~~~~~~~ = {sin({3pi over 2}) cos(20°) ``+`` cos({3pi over 2}) sin(20°)} over {cos({3pi over 2}) cos(20°) ``-`` sin({3pi over 2}) sin(20°)} ## ~~~~~~~= ``{- cos(20°)s} over {sin(20°)} ~=~ -cot20°]

3.3

삼각함수의 여러 가지 공식

3.3.1  삼각함수의 덧셈정리

- 삼각함수에는 덧셈정리를 비롯하여 배각공식, 반각공식, 곱의 형식과 합의 형식 상호간의 변환공식 등 많은 공식이 있다.

- 이 공식들은 삼각함수의 덧셈정리로부터 유도된다.

덧셈정리

(1) [eqn: sin( alpha ```+``` beta )```=```sin` alpha ``cos` beta ```+```cos` alpha ``sin` beta]

(2) [eqn: sin( alpha ```-``` beta )```=```sin` alpha ``cos` beta ```-```cos` alpha ``sin` beta]

(3) [eqn: cos( alpha ```+``` beta )```=```cos` alpha ``cos` beta ```-```sin` alpha ``sin` beta]

(4) [eqn: cos( alpha ```-``` beta )```=```cos` alpha ``cos` beta ```+```sin` alpha ``sin` beta]

(5) [eqn: tan( alpha ```+``` beta )```=``` {tan` alpha ```+```tan` beta } over {1```-```tan` alpha ``tan` beta }]

(6) [eqn: tan( alpha ```-``` beta )```=``` {tan` alpha ```-```tan` beta } over {1```+```tan` alpha ``tan` beta }]

[그림 3.9]  삼각함수의 덧셈정리 증명

[그림 3.9] 설명

- 점 [eqn: P]에서 [eqn: x]축과 [eqn: alpha]의 각을 이루는 직선에 수선을 내리고 그 교점을 [eqn: Q]라 한다.

- 점 [eqn: P]와 점 [eqn: Q]에서 [eqn: x]축에 수선을 내리고 그 교점을 각각 [eqn: M,~N]이라고 정의한다.

- 또한 점 [eqn: Q]에서 선분 [eqn: PM]에 수선을 내리고 그 교점을 [eqn: R]이라 정의한다.

- 엇각의 정의에 의해 [eqn: angle OQR = alpha]이므로 [eqn: angle RPQ = alpha]가 된다.

삼각함수의 덧셈정리 증명

(1) [eqn: sin( alpha ```+``` beta )```=```sin` alpha ``cos` beta ```+```cos` alpha ``sin` beta]

[eqn: sin( alpha + beta )= {MP} over {OP} = {MR+RP} over {OP} = {NQ} over {OP} + {RP} over {OP}]

[eqn: sin(alpha+beta)= &NQ over OP + RP over OP = NQ over OQ OQ over OP + RP over QP QP over OP# # =& sin alpha cos beta + cos alpha sin beta]	(3.20)

(2) [eqn: sin( alpha ```-``` beta )```=```sin` alpha ``cos` beta ```-```cos` alpha ``sin` beta]

식 (3.20)에서 [eqn: beta]대신 [eqn: -beta]를 대입하면

[eqn: sin( alpha ```-``` beta )```=`sin` alpha ``cos(- beta )`~+`cos` alpha ``sin(- beta )]

cosine 함수는 우함수, sine 함수는 기함수이므로

[eqn: sin( alpha ```-``` beta )```=```sin` alpha ``cos` beta ```-```cos` alpha ``sin` beta]

(3) [eqn: cos( alpha ```+``` beta )```=```cos` alpha ``cos` beta ```-```sin` alpha ``sin` beta]

[eqn: cos( alpha + beta )= & {OM} over {OP} = {ON} over {OP} - {MN} over {OP} = {ON} over {OQ} {OQ} over {OP} - {MN} over {PQ} {PQ} over {OP}# # = & {ON} over {OQ} {OQ} over {OP} - {RQ} over {PQ} {PQ} over {OP} =cos alpha cos beta -sin alpha sin beta]	(3.21)

(4) [eqn: cos( alpha ```-``` beta )```=```cos` alpha ``cos` beta ```+```sin` alpha ``sin` beta]

식 (3.21)에서 [eqn: beta]대신 [eqn: -beta]를 대입하면

[eqn: cos( alpha ```-``` beta )```=```cos` alpha ``cos(- beta )```-```sin` alpha ``sin(- beta )]

cosine 함수는 우함수, sine 함수는 기함수이므로

[eqn: cos( alpha ```-``` beta )```=```cos` alpha ``cos` beta ```+```sin` alpha ``sin` beta]

(5) [eqn: tan( alpha ```+``` beta )```=``` {tan` alpha ```+```tan` beta } over {1```-```tan` alpha ``tan` beta }]

[eqn: tan( alpha ```+``` beta )```=``` {sin( alpha ```+``` beta )} over {cos( alpha ```+``` beta )}# `````````````````````````````````````````````=``` {sin` alpha ``cos` beta ```+```cos` alpha ``sin` beta } over {cos` alpha ``cos` beta ```-```sin` alpha ``sin` beta }]

이 식의 분모, 분자를 [eqn: cos alpha cos beta ( != 0)]로 나누면

[eqn: tan( alpha ```+``` beta )```=``` {tan` alpha ```+```tan` beta } over {1```-```tan` alpha ``tan` beta }]	(3.22)

(6) [eqn: tan( alpha ```-``` beta )```=``` {tan` alpha ```-```tan` beta } over {1```+```tan` alpha ``tan` beta }]

[eqn: tan( alpha ```-``` beta )```=``` {sin( alpha ```-``` beta )} over {cos( alpha ```-``` beta )}# `````````````````````````````````````````````=``` {sin` alpha ``cos` beta ```-```cos` alpha ``sin` beta } over {cos` alpha ``cos` beta ```+```sin` alpha ``sin` beta }]

이 식의 분모, 분자를 [eqn: cos alpha cos beta]로 나누면

[eqn: tan( alpha ```-``` beta )```=``` {tan` alpha ```-```tan` beta } over {1```+```tan` alpha ``tan` beta }]

예제 3.5

cos15°, tan75°의 값을 구하여라.

풀이

(1) [eqn: 15°=45°-30°]이므로,
[eqn: cos15°= & cos(45°-30°) = cos45°cos30°+sin45°sin30°# # = & {sqrt {2}} over {2} {sqrt {3}} over {2} + {sqrt {2}} over {2} {1} over {2}= {sqrt {6} + sqrt {2}} over {4}]

(2) [eqn: 75°=45°+30°]이므로,
[eqn: tan75 DEG ```= & tan(45 DEG ``+```30 DEG )# # = & {tan45 DEG ``+```tan30 DEG } over {1````-```tan45 DEG tan30 DEG }# # =` & `` {1``+``` {1} over {sqrt {3}}} over {1``-``` {1} over {sqrt {3}}}# # =` & `` {sqrt {3} ``+1} over {sqrt {3} -1} ``=`` {sqrt {3} ``+1} over {sqrt {3} -1} {sqrt {3} ``+1} over {sqrt {3} +1} ``=`` {4 + 2 sqrt{3}} over 2# # =` & ``2```+``` sqrt {3}]

예제 3.6

[eqn: cos` alpha ```=``` {1} over {3} ,~``cos` beta ```=` {1} over {4} ``]일 때 [eqn: sin( alpha ```+``` beta ),] [eqn: cos( alpha ```+``` beta ),] [eqn: tan( alpha ````+``` beta )``]를 구하여라. (단, [eqn: alpha] ,[eqn: beta] 는 모두 [eqn: 0]과 [eqn: {pi } over {2}] 사이에 있음)

풀이

[eqn: alpha], [eqn: beta]는 모두 [eqn: 0]과 [eqn: {pi } over {2}] 사이에 있으므로 [eqn: sin alpha >0,~sin beta >0]이다.

따라서

[eqn: sin` alpha ```= & sqrt {1```-```cos ^{2} ` alpha } ```=``` {2 sqrt {2}} over {3}# # sin` beta ```= & sqrt {1```-```cos ^{2} ` beta } ```=``` {sqrt {15}} over {4}]

그러므로

[eqn: sin( alpha ```+``` beta )&=` sin` alpha ``cos` beta ```+```cos` alpha ``sin` beta # # & =` {2 sqrt {2}} over {3} {1} over {4} ```+``` {1} over {3} {sqrt {15}} over {4}# # & =` {2 sqrt {2} + sqrt {15}} over {12}]

[eqn: cos( alpha ```+``` beta )```=` & cos` alpha ``cos` beta ```-```sin` alpha ``sin` beta # # ``= & {1} over {3} {1} over {4} `-``` {2 sqrt {2}} over {3} {sqrt {15}} over {4}# # = & ` {1-2 sqrt {30}} over {12}]

[eqn: tan( alpha ```+``` beta )```=` & ` {sin( alpha ```+``` beta )} over {cos( alpha ```+``` beta )}# # = & ``` {{2 sqrt {2} + sqrt {15}} over {12}} over {{1-2 sqrt {30}} over {12}}# # = & {2 sqrt {2} + sqrt {15}} over {1-2 sqrt {30}}]

예제 3.7

[eqn: tan` alpha =1,~tan beta =2,~tan gamma =3]이고 [eqn: alpha ,~ beta ,~ gamma]는 모두 예각([eqn: 0]과 [eqn: {pi } over {2}] 사이)이다.

(1) [eqn: tan( alpha + beta )]를 구하여라.

(2) [eqn: alpha + beta + gamma]는 몇 도인가?

풀이

(1) tangent 함수의 덧셈정리로부터
[eqn: tan( alpha + beta )= & {tan alpha +tan beta } over {1-tan alpha tan beta }# # = & {1+2} over {1-2} =``-3]

(2) 마찬가지로, 덧셈정리를 쓰면
[eqn: tan( alpha + beta + gamma )= & {tan( alpha + beta )+tan gamma } over {1-tan( alpha + beta ) CDOT tan gamma }# # = & {-3+3} over {1-(-3) CDOT 3} =0]
그런데 [eqn: alpha ,~ beta ,~ gamma]는 모두 예각이므로 [eqn: 0°< alpha + beta + gamma <270°]를 만족해야 한다.       따라서 [eqn: alpha + beta + gamma =180°]이다.

3.3.2  기타 유용한 삼각함수 공식

기본공식	음각공식	보각공식	여각공식
(1) [eqn: sin ^{2} theta +cos ^{2`} ` theta ``=``1] (2) [eqn: 1``+`tan ^{2} ` theta ``=``sec ^{2} ` theta] (3) [eqn: 1``+`cot ^{2} ` theta ``=``csc ^{2} ` theta]	(1) [eqn: sin(- theta )``=``-sin theta] (2) [eqn: cos(- theta )``=``cos theta] (3) [eqn: tan(- theta )``=``-tan theta]	(1) [eqn: sin( pi - theta )``=``sin theta] (2) [eqn: cos( pi - theta )``=``-cos theta] (3) [eqn: tan( pi - theta )``=``-tan theta]	(1) [eqn: sin left ( {pi } over {2} - theta right )``=``cos theta] (2) [eqn: cos left ( {pi } over {2} - theta right )``=``sin theta] (3) [eqn: tan left( {pi } over {2} - theta right )``=``cot theta]
덧셈정리		미분․적분공식
(1) [eqn: sin( alpha + beta )``=``sin` alpha ``cos` beta ``+``cos` alpha ``sin` beta] (2) [eqn: sin( alpha - beta )``=``sin` alpha ``cos` beta ``-``cos` alpha ``sin` beta] (3) [eqn: cos( alpha + beta )``=``cos` alpha ``cos` beta ``-``sin` alpha ``sin` beta] (4) [eqn: cos( alpha - beta )``=``cos` alpha ``cos` beta ``+``sin` alpha ``sin` beta] (5) [eqn: tan( alpha + beta )``=`` {tan` alpha ``+``tan` beta } over {1``-``tan` alpha ``tan` beta }] (6) [eqn: tan( alpha - beta )``=`` {tan` alpha ``-``tan` beta } over {1``+``tan` alpha ``tan` beta }]		(1) [eqn: (sinx) prime ``=``cosx] (2) [eqn: (cosx) prime ``=``-sinx] (3) [eqn: (tanx) prime ``=``sec ^{2} x] (1) [eqn: int _{} ^{} {sinxdx``=``-cosx``+``C}] (2) [eqn: int _{} ^{} {cosxdx``=``sinx``+``C}] (3) [eqn: int _{} ^{} {sec ^{2} xdx``=``tanx``+``C}]
배각공식		반각공식
(1) [eqn: sin`2` alpha ``=``2`sin` alpha `cos` alpha] (2) [eqn: cos`2` alpha ``=``2`cos ^{2} ` alpha ``-``1``=``1``-``2`sin ^{2} ` alpha] (3) [eqn: tan`2` alpha ``=`` {2`tan` alpha } over {1``-``tan ^{2} ` alpha }]		(1) [eqn: sin ^{2} ` {alpha } over {2} ``=`` {1``-``cos` alpha } over {2}] (2) [eqn: cos ^{2} ` {alpha } over {2} ``=`` {1``+``cos` alpha } over {2}] (3) [eqn: tan ^{2} ` {alpha } over {2} ``=`` {1``-``cos` alpha } over {1``+``cos` alpha }]
곱 → 합(또는 차) 변환공식		합(또는 차) → 곱 변환공식
(1) [eqn: sin` alpha ``cos` beta ``=`` {1} over {2} LEFT { sin(` alpha + beta `)``+``sin(` alpha - beta `) RIGHT }] (2) [eqn: cos` alpha ``sin` beta ``=`` {1} over {2} LEFT { sin(` alpha + beta `)``-``sin(` alpha - beta `) RIGHT }] (3) [eqn: cos` alpha ``cos` beta ``=`` {1} over {2} LEFT { cos(` alpha + beta `)``+``cos(` alpha - beta `) RIGHT }] (4) [eqn: sin` alpha ``sin` beta ``=``- {1} over {2} LEFT { cos(` alpha + beta `)``-``cos(` alpha - beta `) RIGHT }]		(1) [eqn: sin` alpha ``+``sin` beta ``=``2`sin` {alpha + beta } over {2} `cos` {alpha - beta } over {2}] (2) [eqn: sin` alpha ``-``sin` beta ``=``2`cos` {alpha + beta } over {2} `sin` {alpha - beta } over {2}] (3) [eqn: cos` alpha ``+``cos` beta ``=``2cos` {alpha + beta } over {2} `cos` {alpha - beta } over {2}] (4) [eqn: cos` alpha ``-``cos` beta ``=``-`2sin` {alpha + beta } over {2} `sin` {alpha - beta } over {2}]

사인법칙	제1코사인법칙	제2코사인법칙
[eqn: {a} over {sinA} ``=`` {b} over {sinB} ``=`` {c} over {sinC}]	(1) [eqn: a``=``b`cosC``+``c`cosB] (2) [eqn: b``=``c`cosA``+``a`cosC] (3) [eqn: c``=``a`cosB``+``b`cosA]	(1) [eqn: a ^{2} `=`b ^{2} `+`c ^{2} `-`2bc`cosA] (2) [eqn: b ^{2} `=`c ^{2} `+`a ^{2} `-`2ca`cosB] (3) [eqn: c ^{2} `=`a ^{2} `+`b ^{2} `-`2ab`cosC]

- 배각공식들은 삼각함수 덧셈정리 (1), (3), (5)에서 [eqn: beta] 대신 [eqn: alpha]를 대입하면 구할 수 있다.

- 반각공식들은 배각공식들을 이용하여 유도할 수 있다.

예제 3.8

배각공식을 이용하여 [eqn: cos` alpha = {4} over {5}]일 때, [eqn: sin`2` alpha ,```cos`2` alpha ,```tan`2` alpha ``]를 구하여라.

풀이

[eqn: cos` alpha = {4} over {5}]이므로 [eqn: sin` alpha =± {3} over {5} ,~tan` alpha =± {3} over {4}]를 얻는다.

배각공식으로부터

[eqn: sin`2` alpha =2`sin` alpha `cos` alpha] [eqn: =2 CDOT LEFT ( ± {3} over {5} RIGHT ) CDOT {4} over {5}] [eqn: =~± {24} over {25}]

[eqn: cos`2` alpha =1-2`sin ^{2} ` alpha] [eqn: =~1-2 LEFT ( ± {3} over {5} RIGHT ) ^{2}]  [eqn: =~ {7} over {25}]

[eqn: tan`2 alpha = {2`tan` alpha } over {1-tan ^{2} ` alpha }] [eqn: = ~{2 CDOT LEFT ( ± {3} over {4} RIGHT )} over {1- LEFT ( ± {3} over {4} RIGHT ) ^{2}}]  [eqn: =~`+- {24} over {7}]

예제 3.9

반각공식을 이용하여 [eqn: sin` {pi } over {12} ,```cos` {pi } over {12} ,```tan` {pi } over {12} `]를 구하여라.

풀이

[eqn: sin` {pi } over {12} =`sin` {{pi } over {6}} over {2} ``=`` sqrt {{1-cos {pi } over {6}} over {2}} `=` {sqrt {2- sqrt {3}}} over {2}], [eqn: (sin` {pi } over {12} > 0)]

[eqn: cos` {pi } over {12} =cos {{pi } over {6}} over {2} ``=`` sqrt {{1+cos {pi } over {6}} over {2}} = {sqrt {2+ sqrt {3}}} over {2}], [eqn: (cos` {pi } over {12} > 0)]

[eqn: tan` {pi } over {12} = {sin {pi } over {12}} over {cos {pi } over {12}} = {{sqrt {2- sqrt {3}}} over {2}} over {{sqrt {2+ sqrt {3}}} over {2}} = {sqrt {2- sqrt {3}}} over {sqrt {2+ sqrt {3}}}]

- 곱 → 합(또는 차) 변환공식

먼저 sine에 대한 덧셈정리를 쓰고

[eqn: sin( alpha + beta )=sin` alpha `cos` beta +cos` alpha ``sin` beta]	(3.23)

[eqn: sin( alpha - beta )=sin` alpha `cos` beta -cos` alpha ``sin` beta]	(3.24)

(1) 식 (3.23)과 식 (3.24)의 두 식의 각 변을 더하면

[eqn: sin(` alpha + beta `)+sin(` alpha - beta `)=2`sin` alpha ``cos` beta]

[eqn: therefore~~][eqn: sin` alpha ``cos` beta = {1} over {2} LEFT { sin(` alpha + beta `)+sin(` alpha - beta `) RIGHT }]

(2) 식 (3.23)과 식 (3.24)의 각 변을 빼주면

[eqn: sin(` alpha + beta `)-sin(` alpha - beta `)=2`cos` alpha ``sin` beta]

[eqn: therefore~~][eqn: cos` alpha ``sin` beta = {1} over {2} LEFT { sin(` alpha + beta `)-sin(` alpha - beta `) RIGHT }]

다음에 cosine에 대한 덧셈정리를 쓰고

[eqn: cos(` alpha + beta `)=cos` alpha ``cos` beta -sin` alpha ``sin` beta]	(3.25)

[eqn: cos(` alpha - beta `)=cos` alpha ``cos` beta +sin` alpha ``sin` beta]	(3.26)

(3) 식 (3.25)과 식 (3.26)식을 서로 더하면

[eqn: cos(` alpha + beta `)+cos(` alpha - beta `)=2`cos` alpha ``cos` beta]

[eqn: therefore~~][eqn: cos` alpha ``cos` beta = {1} over {2} LEFT { cos(` alpha + beta `)+cos(` alpha - beta `) RIGHT }]

(4) 식 (3.25)과 식 (3.26)식의 각 변을 빼주면

[eqn: cos(` alpha + beta `)-cos(` alpha - beta `)=-2`sin` alpha ``sin` beta]

[eqn: therefore~~][eqn: sin alpha ``sin` beta =- {1} over {2} ` LEFT { cos(` alpha + beta `)-cos(` alpha - beta `) RIGHT }]

예제 3.10

[eqn: cos40°cos80°cos160°]의 값을 구하여라.

풀이

[eqn: cos` alpha ``cos` beta = {1} over {2} LEFT { cos(` alpha + beta `)+cos(` alpha - beta `) RIGHT }] 변환공식을 이용한다.

[eqn: cos40°cos80°= & {1} over {2} LEFT ( cos120°+cos40° RIGHT )# = & {1} over {2} LEFT ( - {1} over {2} +cos40° RIGHT )# = & - {1 over 4} + {1 over 2} `cos 40°]

이므로

[eqn: cos40°cos80°cos160°= & LEFT ( - {1} over {4} + {1} over {2} `cos40° RIGHT ) cos160°# = & - {1} over {4}` cos160°+ {1} over {2} `cos40°cos160°# = & {1} over {4}` cos20°+ {1} over {4} LEFT ( cos200°+cos120° RIGHT )# = & {1} over {4`}` cos20°- {1} over {4}` cos20°- {1} over {8} =~- {1} over {8}]

예제 3.11

[eqn: sin52.5°```sin7.5°]의 값을 구하여라.

풀이

[eqn: sin alpha ``sin` beta =- {1} over {2} ` LEFT { cos(` alpha + beta `)-cos(` alpha - beta `) RIGHT }] 변환공식을 사용한다.

[eqn: sin52.5 °`` sin7.5 ° = & - {1} over {2} LEFT ( cos60 ° -cos45 ° RIGHT )# = & - {1} over {2} LEFT ( {1} over {2} - {sqrt {2}} over {2} RIGHT ) = {sqrt {2} -1} over {4}]

- 합(또는 차) → 곱 변환공식

이 변환공식은 곱=>합(또는 차) 변환공식으로부터 구할 수 있다.

[eqn: A = alpha + beta ,~B = alpha - beta]	(3.27)

라 하고 [eqn: alpha,~beta]에 대하여 풀면

[eqn: alpha = {A +B} over {2} ,~ beta = {A - B} over {2}]	(3.28)

식 (3.27)과 식 (3.28)을 곱 ⇒ 합(또는 차) 변환공식에 대입한 후 [eqn: A]를 [eqn: alpha]로 [eqn: B]를 [eqn: beta]로 바꾸면 합(또는 차) ⇒ 곱 변환공식을 얻을 수 있다.

(Ex)  [eqn: sin` alpha ``+``sin` beta ``=``2`sin` {alpha + beta } over {2} `cos` {alpha - beta } over {2}]  공식 유도

[eqn: sin` alpha ``cos` beta = {1} over {2} LEFT { sin(` alpha + beta `)+sin(` alpha - beta `) RIGHT }]

위 식에 식 (3.27)과 (3.28)을 대입하면

[eqn: sin` {{A+B} over 2} ``cos` {{A-B} over 2} = {1} over {2} LEFT { sin` A +sin` B RIGHT }]

[eqn: sin` A +sin` B ~~=~ 2 LEFT{ sin` {{A+B} over 2} ``cos` {{A-B} over 2} `RIGHT }]

[eqn: A]를 [eqn: alpha]로 [eqn: B]를 [eqn: beta]로 바꾸면

[eqn: therefore ~~sin` alpha ``+``sin` beta ``=``2`sin` {alpha + beta } over {2} `cos` {alpha - beta } over {2}]

예제 3.12

[eqn: sin`105°+sin`15°]를 구하여라.

풀이

[eqn: sin`105°+sin15°]

[eqn: =`2`sin` {105°`+15°} over {2} `cos` {105°-15°} over {2}]

[eqn: =`2sin60°cos45°=2`][eqn: ․][eqn: {sqrt {3}} over {2} ․ {sqrt {2}} over {2} = {sqrt {6}} over {2}]

3.3.3  삼각함수의 합성

삼각함수의 합성: [eqn: a`sin theta +b`cos theta]의 형태를 sine만의 함수 또는 cosine만의 함수로 표현

삼각함수의 합성

(1) [eqn: a`sin theta +b`cos theta = sqrt {a ^{2} +b ^{2}} `sin( theta + psi )], [eqn: cos psi= a over sqrt{a^2 +b^2}, ~sin psi = b over sqrt{a^2 +b^2}]

(2) [eqn: a`sin theta +b`cos theta = sqrt {a ^{2} +b ^{2}} `cos( theta - psi )], [eqn: ~cos psi = {b} over {sqrt {a ^{2} +b ^{2}}} ,~sin psi = {a} over {sqrt {a ^{2} +b ^{2}}}]

[그림 3.10]  삼각함수의 합성

(1) 좌표평면 위에 점 [eqn: P(a,~b)]를 잡고 선분 [eqn: OP]와 [eqn: x]축과의 양의 방향의 각도를 [eqn: psi]라 정의한다. (단, 상수 [eqn: a]와 [eqn: b]는 동시에 0이 되지 않는다고 가정한다.) 그러면,

[eqn: sin` psi ```=``` {b} over {sqrt {a ^{2} ```+```b ^{2}}}], [eqn: cos` psi ```=``` {a} over {sqrt {a ^{2} ```+```b ^{2}}}]

그러므로,

[eqn: a`sin` theta + b`cos` theta = sqrt {a ^{2} + b ^{2}} LEFT ( {a} over {sqrt {a ^{2} + b ^{2}}} `sin` theta + {b} over { sqrt { a ^{2} + b ^{2}}} `cos` theta RIGHT )#]

[eqn: = sqrt {a ^{2} + b ^{2}} `(cos` psi ` `sin` theta + sin` psi ``cos` theta )#]

[eqn: = sqrt {a ^{2} + b ^{2}} `sin( theta + psi )]

(2) 또한 [eqn: psi]를 다음과 같이 정의하면

[eqn: sin` psi ```=``` {a} over {sqrt {a ^{2} ```+```b ^{2}}}],  [eqn: cos` psi ```=``` {b} over {sqrt {a ^{2} ```+```b ^{2}}}]

[eqn: a`sin` theta ```+```b`cos` theta &=` sqrt {a ^{2} ```+```b ^{2}} LEFT ( {a} over {sqrt {a ^{2} ```+```b ^{2}}} `sin` theta ```+``` {b} over {sqrt {a ^{2} ```+```b ^{2}}} `cos` theta RIGHT )## &=` sqrt {a ^{2} ```+```b ^{2}} `(sin` psi ```sin` theta ```+```cos` psi ``cos` theta )## &=` sqrt {a ^{2} ```+```b ^{2}} `cos( theta ```-``` psi )]

예제 3.13

[eqn: f(x)```=``sinx``+` sqrt {3} `cos`x`]의 최대값과 최소값을 구하고, 또한 그 때의 [eqn: x]값을 구하여라. 단, [eqn: 0 LEQ x LEQ {pi } over {2}]이다.

풀이

삼각함수의 합성을 이용하면

[eqn: sin x`+` sqrt {3} `cos`x``=` & ` sqrt {3```+```1} ` LEFT ( {1} over {sqrt {3```+```1}} `sin`x``+``` {sqrt {3}} over {sqrt {3```+```1}} `cos`x RIGHT )# = & `2(sin`x``cos {pi } over {3} ``+``cos`x``sin` {pi } over {3} )# = & `2`sin(x+ {pi } over {3} )]

그런데, [eqn: 0`` LEQ ``x`` LEQ `` {pi } over {2}]이므로 [eqn: {pi } over {3} ` LEQ ``x``+`` {pi } over {3} LEQ {pi } over {2} +` {pi } over {3}]이다.

그러므로, [eqn: x+ {pi } over {3} =][eqn: {pi } over {2}] (즉 [eqn: x```= {pi } over {6}]) 일 때, 최대값은 2이고,

[eqn: x+ {pi } over {3} = {5 pi } over {6}] (즉 [eqn: x= {pi } over {2}])일 때, 최소값은 1이다.

3.4

삼각함수의 법칙

3.4.1  sine 법칙

[그림 3.11]  삼각형의 기본형

[eqn: TRIANGLE ABC]의 세 각의 크기를 [eqn: A,~B,~C] 세 변의 길이를 [eqn: a,~b,~c]라 할 때

sine 법칙

[eqn: {a} over {sinA} ```=``` {b} over {sinB} ```=``` {c} over {sinC}]

sine 법칙의 증명

(1)	(2)	(3)

[그림 3.12]  sine 법칙 증명

- [그림 3.12]에서와 같이 [eqn: TRIANGLEABC]에서 각 [eqn: C]가 예각, 직각, 둔각일 경우를 생각한다.

(1) [eqn: C<90°]일 경우: [eqn: B]에서 [eqn: bar { AC}]에 수선을 긋고 수선의 길이를 [eqn: h]라 정의한다. 이 경우

[eqn: h=c sinA =a sinC]

이므로

[eqn: a over sinA = c over sinC]

을 얻는다. [eqn: A]에서 [eqn: barBC]에 수선을 긋고 같은 방법을 사용하면

[eqn: b over sinB = c over sinC]

를 얻는다. 따라서

[eqn: a over sinA = b over sinB = c over sinC]

(2) [eqn: C=90°]일 경우

[eqn: a=c sinA , ~~b = c sin B]

이다. 또한 [eqn: sinC = sin 90° = 1]이므로 위의 식으로부터

[eqn: a over sinA = b over sinB = c = c over sinC]

(3) [eqn: C>90°]일 경우: [eqn: B]에서 [eqn: barAC]의 연장선에 수선을 긋고 수선의 길이를 [eqn: h]라 하면

[eqn: h=c sinA = a sin(180^o -C) = a sin C]

이므로

[eqn: a over sinA = c over sinC]

을 얻는다. [eqn: A]에서 [eqn: barBC]에 수선을 긋고 같은 방법을 사용하면

[eqn: b over sinB = c over sinC]

를 얻는다. 따라서

[eqn: a over sinA = b over sinB = c over sinC]

예제 3.14

[eqn: TRIANGLEABC]에서 [eqn: ANGLEA=30°], [eqn: ANGLEB=45°], [eqn: a=5]일 때 [eqn: b]의 길이를 구하여라.

풀이

sine 법칙

[eqn: {a} over {sin`A} ```=``` {b} over {sin`B}]

을 이용하면

[eqn: {5} over {sin`30 DEG } ```=``` {b} over {sin`45 DEG }]

이므로

[eqn: b```=``` {5`sin`45 DEG } over {sin`30 DEG } ```=```5 sqrt {2}]

3.4.2  cosine 법칙

[eqn: TRIANGLE ABC]의 세 각의 크기를 [eqn: A,~B,~C] 세 변의 길이를 [eqn: a,~b,~c]라 할 때

제 1 cosine 법칙

[eqn: (1)``````a```=```b`cos`C```+```c`cos`B]

[eqn: (2)``````b```=```c`cos`A```+```a`cos`C]

[eqn: (3)``````c```=```a`cos`B```+`b`cos`A]

제 2 cosine 법칙

[eqn: (1)~a ^{2} = b ^{2} + c ^{2} - 2bc`cos`A]

[eqn: (2)~b ^{2} = c ^{2} + a ^{2} - 2ca`cos`B]

[eqn: (3)~c ^{2} = a ^{2} + b ^{2} - 2ab`cos`C]

제 1 cosine 법칙의 증명 ((2)번 항)

- 각 C가 예각, 직각, 둔각인 세 가지 경우를 생각할 수 있다.

(1)	(2)	(3)

[그림 3.13]  cosine 법칙 증명

(a) 그림 (1)과 같이 [eqn: C]가 예각인 경우는

[eqn: b = c`cos`A + a`cos`C]

(b) 그림 (2)의 경우와 같이 각 [eqn: C]가 직각일 때는

[eqn: b = c`cos`A]

이 경우 [eqn: C]가 직각이어서 [eqn: cosC=0]이므로 [eqn: b = c`cos`A + a`cos`C]로 표현할 수 있다.

(c) 그림 (3)과 같이 각 [eqn: C]가 둔각일 때는

[eqn: b`&=c`cos`A-a`cos(180°-C)## &= c`cos`A + a`cos`C]

- (1)번 항과 (3)번 항도 동일한 방법을 사용하여 증명할 수 있다.

- 제 2 cosine 법칙의 유도

먼저 제 1 cosine 법칙을 다시 쓰면

[eqn: a = c`cos`B + b`cos`C]	(3.29)

[eqn: b = c`cos`A + a`cos`C]	(3.30)

[eqn: c = a`cos`B + b`cos`A]	(3.31)

식 (3.29)에 [eqn: a]를 곱하면,

[eqn: a ^{2} = ac`cos`B + ab`cos`C]	(3.32)

식 (3.30)에 [eqn: b]를 곱하면

[eqn: b ^{2} = bc`cos`A + ba`cos`C]	(3.33)

식 (3.31)에 [eqn: c]를 곱하면

[eqn: c ^{2} = ca`cos`B + cb`cos`A]	(3.34)

식 (3.33)와 식 (3.34)를 합한 후 식 (3.32)를 빼면,

[eqn: a ^{2} = b ^{2} + c ^{2} - 2bc`cos`A]

식 (3.32)와 식 (3.34)를 합한 후 식 (3.33)을 빼면,

[eqn: b ^{2} = c ^{2} + a ^{2} - 2ca`cos`B]

식 (3.32)와 식 (3.33)을 합한 후 식 (3.34)를 빼면,

[eqn: c ^{2} = a ^{2} + b ^{2} - 2ab`cos`C]

예제 3.15

[eqn: TRIANGLE ABC`]에서 [eqn: a=2sqrt{3},~b=c= 2]일 때 [eqn: ANGLEA]를 구하여라.

풀이

제 2 cosine 법칙 (1)을 사용하면  ([eqn: a ^{2} =b ^{2} +c ^{2} -2bc`cos`A])

[eqn: (2 sqrt {3} ) ^{2} =2 ^{2} +2 ^{2} -2 CDOT 2 CDOT 2cosA]

이므로 [eqn: cosA=- {1} over {2}] 따라서 [eqn: ANGLE A=120°]

3.5

역삼각함수

[그림 3.14]  [eqn: y`=`sin`x]의 그래프

[eqn: y=sin`x]의 역함수

- [eqn: y=sin`x]는 치역 [-1, 1]의 각 [eqn: y]에 대하여 [eqn: sin`x`=`y]를 만족하는 [eqn: x]가 무수히 많다.

- 따라서 sine함수의 역함수는 존재하지 않는다.

- 그러나 sine 함수의 정의역을 제한한 함수는 전단사함수이므로 역함수가 존재한다.

[eqn: f:` LEFT [ - {pi } over {2} ,` {pi } over {2} RIGHT ] ` -> `` LEFT [ -1,`1 RIGHT ] ,`````f(x)`=`sin`x]

- 이 역함수는 다음과 같이 표기한다.

[eqn: f ^{-1} (x)`=`sin ^{-1} x]

- [eqn: y`=`sin ^{-1} x] 의 그래프는 [eqn: y`=`sin`x`` LEFT ( x IN LEFT [ - {pi } over {2} ,` {pi } over {2} RIGHT ] RIGHT )]와 직선 [eqn: y=x]에 대칭임

[eqn: y=cos`x]의 역함수

- cosine 함수의 정의역을 제한한 함수 [eqn: g]는 역함수 [eqn: g ^{-1}]가 존재한다.

[eqn: g`:` LEFT [ 0,` pi RIGHT ] ` -> `` LEFT [ -1,`1 RIGHT ] `````f(x)`=`cos`x]

[eqn: g ^{-1} (x)`=`cos ^{-1} x]

[eqn: y=tan`x]의 역함수

- tangent 함수의 정의역을 제한한 함수 [eqn: h]는 역함수 [eqn: h ^{-1}]가 존재한다.

[eqn: h`:` LEFT ( - {pi } over {2} ,` {pi } over {2} RIGHT ) ` -> `R`````h(x)`=`tan`x]

[eqn: h ^{-1} (x)`=`tan ^{-1} x]

예제 3.16

[eqn: y =sin ^{-1} {1} over {2}]과 [eqn: y=cos ^{-1} {1} over {2} ~~ LEFT ( 단,```0 LEQ y LEQ {pi } over {2} RIGHT )]의 [eqn: y]값을 각각 구하여라.

풀이

[eqn: sin ^{-1} {1} over {2}={pi } over {6},~~cos ^{-1} {1} over {2}= { pi} over { 3}]이다.

예제 3.17

[eqn: y=tan ^{-1} x`( vert x vert < INF ,`- {pi } over {2} <y< {pi } over {2} )]이다. [eqn: siny]와 [eqn: cosy]를 구하여라.

풀이

역함수의 정의로부터 [eqn: x=tany]이다.

따라서 밑변이 1이고 높이가 [eqn: x], 빗변이 [eqn: sqrt {1+x ^{2}}]인 직각삼각형에서 빗변과 밑변의 사이각이 [eqn: y]임을 알 수 있다.

따라서 [eqn: siny= {x} over {sqrt {1+x ^{2}}}]이고 [eqn: cosy= {1} over {sqrt {1+x ^{2}}}]이다.

연습문제

1

다음에서 육십분법은 호도법으로, 호도법은 육십분법으로 나타내어라.

연습문제

(1) [eqn: 45 DEG]	(2) [eqn: 72 DEG]

(3) [eqn: {pi } over {6}]	(4) [eqn: {3} over {2} pi]

2

다음 부채꼴의 호의 길이와 넓이를 구하여라.

(1) 반지름 [eqn: 3 rmcm], 중심각 [eqn: {pi } over {6}]	(2) 반지름 [eqn: 15 rmcm], 중심각 [eqn: 144 DEG]

3

부채꼴의 중심각의 크기가 [eqn: 45 °]이고 넓이가 [eqn: 8 pi]일 때, 반지름의 길이와 호의 길이를 구하여라.

4

다음 부등식을 만족시키는 [eqn: theta]는 몇 사분면의 각인가?

(1) [eqn: sin theta >0], [eqn: cos theta >0]	(2) [eqn: cos theta <0], [eqn: tan theta >0]

5

다음 함수의 그래프를 그리고, 최대값과 최소값, 주기를 구하여라.

(1) [eqn: y=sin(x-60 DEG )]	(2) [eqn: y=2sinx]

(3) [eqn: y=cos2x]

6

[eqn: y=3tan2x]의 그래프를 그려라.

7

다음 함수의 최대값, 최소값과 주기를 각각 구하여라.

(1) [eqn: y=-sinx+2]	(2) [eqn: y=3cos {x} over {2}]

8

[eqn: theta]가 다음과 같을 때, [eqn: sin theta], [eqn: cos theta], [eqn: tan theta]의 값을 구하여라.

(1) [eqn: {2} over {3} pi]	(2) [eqn: - {3} over {4} pi]

(3) [eqn: 750 °]	(4) [eqn: {20} over {3} pi]

9

[eqn: tan theta +cot theta =3]일 때, 다음의 값을 구하여라.

(1) [eqn: sin theta cos theta]	(2)[eqn: sin theta +cos theta]

10

[eqn: {cscA} over {cotA`+`tanA}]를 간단히 하여 한가지 형태의 삼각함수로 표현하여라.

11

[eqn: tan`A`= {5} over {12}]이고 [eqn: sin`B`= {3} over {5}]일 때 [eqn: cos(A+B)] 를 구하시오. 이 때 [eqn: A]와 [eqn: B]는 예각이라고 가정한다.

12

[eqn: sin`4x`]를 [eqn: sin`x] 와 [eqn: cos`x]의 항으로만 나타내어라.

13

[eqn: TRIANGLE ABC]에서 각 [eqn: A], 각 [eqn: B], 각 [eqn: C]와 마주보는 변을 각각 [eqn: a,~b,~c]라고 할 때 sin 법칙을 이용하여 나머지 각과 변의 값을 모두 구하여라.(단, [eqn: TRIANGLE ABC]는 예각 삼각형이다.)

(1) [eqn: a= sqrt {3}], [eqn: b=1], [eqn: B=30 DEG]           (2) [eqn: A=60°], [eqn: C=45°], [eqn: c=4]

14

[eqn: TRIANGLE ABC]에서 각 [eqn: A], 각 [eqn: B], 각 [eqn: C]와 마주보는 변을 각각 [eqn: a,~b,~c]라고 할 때 cos 법칙을 이용하여 다음을 구하여라.

(1) [eqn: TRIANGLE ABC]에 대하여 [eqn: A`=60°], [eqn: b=2], [eqn: c=3]일 때, [eqn: a]를 구하여라.

(2) [eqn: TRIANGLE ABC]에서 [eqn: A=45°], [eqn: b=1+ sqrt {3} ,```c= sqrt {2}]일 때, [eqn: a]의 길이를 구하여라.