제 5 장  보의 휨해석과 설계

Structural Eng. Lab., Dept. of Civil. Eng., Taegu Univ.

Reinforced Concrete

5.1 설계의 기본개념

: 안전성에 중점을 둔 설계법. 사용성 검토: 처짐, 균열, 진동 등

→ 허용응력설계법 : 재료가 실제로 발휘하는 극한 응력보다 작은 허용응력의 규정을 두어 안전확보.

강도설계법 : 극한강도에 기초를 두어 강도는 감소계수, 하중은 증가계수를 사용하여 감소, 증가하여 사용.

c.f) 공칭강도([eqn: P_n`]): 최근 지식에 근거한 부재의 강도

설계강도([eqn: phi`M_n`]): 공칭강도 × 강도감소계수

소요강도([eqn: U`]): Service Load × 하중증가계수

[eqn: M_u``≦``M_d`,~~~M_d``=``phi`M_n`]

(5․1a)

[eqn: P_u``≦``P_d`,~~~P_d``=``phi`P_n`]

(5․1b)

[eqn: V_u``≦``V_d`,~~~V_d``=``phi`V_n`]

(5․1c)

5.2 단철근 직사각형 보

: 인장철근만을 사용한 보.

5.2.1 파괴형태

: 철근의 항복을 철근의 파괴, 콘크리트 상면의 압축변형률이 0.003에 도달한 것을 콘크리트의 파괴.

파괴의 기준: [eqn: epsilon_c`] = 0.003

[eqn: f_s`] = [eqn: f_y`]

• 연성파괴(ductile failure) : 저보강보.

: 콘크리트의 변형률 0.003에 도달하기 전 철근이 항복 → 하중증가 → 인장측에 균열 발생 → 점진적인 파괴

: 인장파괴(tension failure).

: 설계기준에 최대 철근비를 [eqn: 0.75`rho_b`]로 제한.

• 취성파괴(brittle failure) : 과보강보

: 철근 항복전 콘크리트가 0.003의 변형률에 도달 → 갑작스런 파괴

: 압축파괴(compression failure).

• 인장철근량이 너무 적어도 취성파괴 → 설계기준에 최소철근비를 둔다.  [eqn: rho_min``=``{0.8sqrt{f_ck`}}over{f_y}`b_w`d``≧``{14}over{f_y`}`]

5.2.2 최대 철근비와 최소 철근비

[eqn: rho_b`~=~alpha`{f_ck}over{f_y}}{0.003}over{{f_y}over{E_s}`~+~0.003}`]

(5․2a)

[eqn: alpha``=``0.85`beta_1`]이고 [eqn: E_s``=``2,000,000``kgf`/cm^2`]

[eqn: rho_b`~=~0.85`beta_1`{f_ck`}over{f_y}}{6000}over{f_y`~+~6000}`]

(5․2b)

[eqn: f_{c k}``＞``280`kgf`/cm^2`]일 때,[eqn: beta_1 ~ = ~ 0.85``-``0.007 ``left ({ f_ck `` - `` 280} over 10 right )``]하나 [eqn: beta_1`]의 값이 0.65보다 작아서는 안된다.

• 최대 철근비

[eqn: rho_max`` =`` 0.75rho_b`]

(5․4)

이유: [eqn: rho_b`]는 탄성설계법으로 계산되는 일반적인 보의 철근량에 비해 상당히 크다.  저보강보로 하여 CONC.의 취성파괴 방지.

• 최소 철근비

[eqn: A_{s.min}``=``{0.8sqrt{f_{c k}}}over{f_y}b_w`d`]

(5․5)

[eqn: rho_min``=``{{0.8`sqrt{f_ck`}}over{f_y`}}``≧``{14}over{f_y`}`]

(5․6)

이유: 인장철근이 지나치게 적을 경우 인장에 대해 철근이 저항하는 강도보다 무근콘크리트로써의 인장휨강도가 커서 CONC.의 취성파괴 우려

∴ 조건: RC보의 균열단면의 강도 [eqn: ≧] 무근콘크리트의 인장휨강도

• 정정 구조물로서 플랜지가 인장을 받는 T형 단면일 경우

식 (5․5) 및 [eqn: 14b_{w`d}/f_y`]에서 [eqn: b_w`]를 플랜지 폭과 같다고 놓고 계산한 값 중 큰 값

[eqn: A_{s.min}``=``{1.6 sqrt{f_{c k}}}over{f_y}b_w`d`]

위의 두 값중 작은 값 이상의 인장철근을 배치해야 한다.

5.2.3 설계 휨강도

[eqn: C``=``T`]

[eqn: C``=``0.85`f_ck`a`b``=``f_y`A_s``=``T`]

[eqn: ∴~a``=``{f_y`A_s`}over{0.85`f_ck`b}``=``{rho`f_y``d}over{0.85f_ck}`]

(5․8)

[eqn: M_n``=``A_s`f_y`left(d``-{a}over{2}right)`]

(5․9)

(5․9)에 식 (5․8)을 대입하면

[eqn: M_n``=``rho`f_y`b`d`^2`left(1``-``0.59`rho`{f_y}over{f_ck}right)`]

(5․10)

설계 휨강도 [eqn: M_d`]는

[eqn: M_d``=``phi`M_n``=``phi`A_s`f_y`left(d``-``{a}over{2}right)`]

(5․11)

[eqn: M_d``=``phi`M_n``=``phi`rho`f_y`b`d`^2` left(1``-``0.59rho`{f_y}over{f_ck`}right)`]

(5․12)

[eqn: phi`]=0.85

[eqn: R``=``rho`f_y`left(1``-``0.59{rho`f_y}over{f_ck`}right)`]

로 놓으면 식 (5․12)는

[eqn: M_d``=``phi`M_n``=``phi`R`b`d`^2`]

(5․13)

[eqn: R`] : 휨저항계수

예제 5-1 [eqn: b`]=28cm, [eqn: d`]=50cm, [eqn: A_s`]=3-[eqn: D`]25=15.20cm2 인 직사각형 단면의 설계휨강도는([eqn: M_d`])?

[eqn: f_{c k}`]=280kgf/cm2, [eqn: f_y`]=4000 kgf/cm2

(1) 철근비 검토

[eqn: rho``=``{A_s}over{b`d`}``=``{15.20}over{28×50`}``=``0.0109`]

[eqn: &rho_max``=``0.75`rho_b``=``0.75left(0.85beta_1`{f_ck`}over{f_y`}`{6000}over{6000``+``f_y`}right)`## &~~~~``=``0.75left(0.85``×``0.85``×``{240}over{4000`}``×``{6000}over{6000``+``4000`}right)``=``0.0197``＞``0.0109`]

[eqn: rho_min``=``{14}over{f_y`}``=``{14}over{4000`}``=``0.0035``＜``0.0109`]

[eqn: rho_min``＜``rho``＜``rho_max``] → 철근의 항복으로 파괴된다.

(2) 설계휨강도

[eqn: a``=``{f_y`A_s}over{0.85`f_ck`b`}``=``{15.20``×``4000}over{0.85``×``240``×``28`}``=10.6`cm`]

[eqn: M_n``=``A_s`f_y`left(d``-``{a}over{2}right)``=``15.2``×``4000``×``left(50``-``{10.6}over{2}right)``=``2,718,000 `kgf․cm`]

[eqn: M_d``=``phi`M_n``=``0.85``×2,718,000`kgf․cm``=``23.1`t․m`]

예제 5-2. [eqn: b`]=30cm, [eqn: d`]=44.5cm인 직사각형 단면에 4-[eqn: D`]29가 1단으로 배치되어 있다. [eqn: f_ck`]=270kgf/cm2, [eqn: f_y`]=4000kgf/cm2, 설계휨강도는([eqn: M_d`])?

(1) 철근비 검토

[eqn: A_s``=``4``×6.424``=``25.70`cm^2`]

[eqn: rho``=``{A_s}over{b`d`}``=``{25.70}over{30×44.5`}``=``0.0193`]

[eqn: &rho_max``=``0.75`rho_b``=``0.75left(0.85beta_1`{f_ck`}over{f_y`}`{6000}over{6000``+``f_y`}right)`## &~~~~``=``0.75left(0.85``×``0.85``×``{270}over{4000`}``×``{6000}over{6000``+``4000`}right)``=``0.0293``＞``0.0193`]

[eqn: rho_min``=``{14}over{f_y`}``=``{14}over{4000`}``=``0.0035``＜``0.0193`]

[eqn: rho_min``＜``rho``＜``rho_max``] → 철근의 항복으로 파괴된다.

(2) 설계휨강도

[eqn: a``=``{f_y`A_s}over{0.85`f_ck`b`}``=``{25.70``×``4000}over{0.85``×``270``×``30`}``=14.9`cm`]

[eqn: M_n``=``A_s`f_y`left(d``-``{a}over{2}right)``=``25.70``×``4000``×``left(44.5``-``{14.9}over{2}right)``=``3,808,740 `kgf․cm`]

[eqn: M_d``=``phi`M_n``=``0.85``×38.09`t․m``=``32.4`t․m`]

5.2.4 단 면 설 계

([eqn: rho``≤``rho_b`]이면 단철근보로 계산)

5.3 복철근 직사각형보

[1] 압축철근이 항복할 경우([eqn: f_y^`'``=``f_y`]) ; 두 부분으로 나누어 생각

그림 5.4(a)와 같이([eqn: T``=``C`])

[eqn: A_s`f_y``=``A_s^'`f_y``+``0.85`f_ck`a`b`]

[eqn: ∴``a``=``{(A_s``-``A_s^'`)}over{0.85`f_ck`a`b`}`]

(5․14a)

[eqn: rho``=``{A_s}over{b`d}`,``rho^'``=``{A_s^'}over{b`d}`]([eqn: rho`] : 인장철근비, [eqn: rho^'`]: 압축철근비)

[eqn: a``=``{9rho``-``rho^')`f_y`d`over{0.85`f_ck}`][eqn: a``=``{(rho``-``rho^'`)}over{0.85`f_ck}`]

(5․14b)

• 단면의 저항모멘트 = 압축철근([eqn: A_s`^'`])의 우력모멘트 + 인장철근([eqn: A_s`])의 우력모멘트

[eqn: M_n1``=``A_s`^'`f_y`(d``-``d`^'`)`]

(a)

[eqn: M_n2``=``(A_s``-``A_s`^'`)`f_y``left(d``-``{a}over{2}right)`]

(b)

[eqn: M_n``=````(A_s``-``A_s`^'`)`f_y``left(d``-``{a}over{2}right)``+``A_s`^'`f_y`(d``-``d`^'`)`]

(5․15)

• 설계휨강도([eqn: M_d`]) = [eqn: phi`M_n`]

[eqn: M_d``=``phi`M_n``=``M_{d`1}``+``M_{d`2}``=``phi`M_{n`1}``+``phi`M_{n`2}`]           [eqn: ``=``phi LEFT [ f_y`(A_s``-`A_s^'`)`left(d``-``{a}over{2}`right)``+``f_y`A_s`^'`(d``-``d^'`) RIGHT]]

(5․16)

[eqn: A_s`f_y``=``A_s^'`f_y``+``0.85`f_ck`a`b`]

위 식에서 [eqn: barrho``=``{A_s}over{b`d``}`,~rho``=``{A_s^'`}over{b`d``}`]라 놓으면

[eqn: barrho`b`d`f_y``=``rho^'`b`d`f_y``+``0.85`f_{c k}`(beta_1`c`)`b]

• 평형철근비는

[eqn: barrho``=``0.85`beta_1`{f_{c k}over{f_y}}{c}over{d}``+``rho^'`]

(c)

[eqn: barrho``=``rho_b``+``rho^'`]

(e)

• 최대철근비는

(취성파괴에 대한 여유를 단철근의 경우도 동일하게 하기 위해)

[eqn: rho_max``=``0.75rho_b``+``rho^'`]

(5․17)

• 파괴시 압축철근이 항복하기 위한 조건 최소인장철근비

[eqn: epsilon_s^'``=``epsilon_y`]로 놓으면          [eqn: c``=``{epsilon_c}over{epsilon_c``-``epsilon_y}d^`'`]

[eqn: A_s`f_y``=``A_s^'`f_y``+``0.85`f_ck`a`b`]

[eqn: barrho``=``{A_s}over{b`d},~rho^'``=``{A_s^`'}over{b`d},~a``=``beta_1`c`]를 대입하면

∴ [eqn: barrho``=``0.85`beta_1`{f_ck}over{f_y}{c}over{d}``+``rho^`'`]

[eqn: ∴~rho_min``=``0.85`beta_1`{f_ck}over{f_y}`{epsilon_c}over{epsilon_c``-``epsilon_y`}``+``rho^'`]

(5․18a)

[eqn: epsilon_c``=``0.003,~epsilon_y``=``{f_y}over{E_s`},~E_s``=``2,000,000`k`gf`/cm^2`]를 대입하면

[eqn: ∴~rho_min``=``0.85`beta_1`{f_ck}over{f_y}`{6000}over{6000``-``f_y`}``+``rho^'`]

(5․18b)

(복철근 직사각형보에서 인장철근비 [eqn: rho`]가 [eqn: rho_max``＞``rho``＞``rho_min`]이면 압축철근도 항복한다.)

c.f)	( [eqn: c``-``d^`'``:``epsilon_s^'``=``c```:``epsilon_c`]

[eqn: epsilon_s^'``=``epsilon_c`․{c``-``d^`'}over{c}``=``epsilon_c`․left(1``-``{d^`'`}over{c}right)`]

[eqn: c``=``{a}over{k_1}``=``{1}over{k_1}․{(A_s``-``A_s`'`)f_y`}over{0.85`f_{c k}`b}``=``{(p``-p^'`)f_y``d`}over{0.85`k_1`f_{c k}`}]

[eqn: epsilon_s^`'``=``epsilon_c`left(1``-``{d^`'}over{c}right)```=``0.003`left[1``-``{0.85`k_1`f_{c k}}over{(p``-``p^'`)f_y`}․{d^`'}over{d`}right]`]

[eqn: epsilon_s^`'``≥``{f_y}over{E_s`}``→``-{0.85`k_1`f_{c k}}over{(p``-``p^`')f_y`}․{d^`'}over{d`}``≥``{f_y``-``6000}over{6000}`]

[eqn: ∴~rho_min``=``0.85`beta_1`{f_ck}over{f_y}`{6000}over{6000``-``f_y`}``+``rho^'`])

[2] 압축철근이 항복하지 않을 경우

[eqn: rho``＜``rho_min`]이면 : 상대적으로 압축철근이 강할 경우

• 최대철근비

[eqn: A_s`f_y``=``(A_s``-``A_s^`'`)`f_y``+``A_s^`'`f_s``'`]

; 압축철근중 일부는 항복하고 일부는 항복하지 않는 것으로 본다.

[eqn: barrho`b`d`f_y``=``rhob`d`f_y``+``rho^'`b`d`f_s^`'`]

[eqn: ∴~barrho_b``=``rho_b``+``rho^'`{f_s^`'}over{f_s}`]

(5․19a)

[eqn: rho_max``=``0.75rho_b``+``rho^'`{f_s^`'}over{f_y`}`]

(5․19b)

• 공칭강도

[eqn: f_s^`'``=``E_s`epsilon_s^`'``=``epsilon_s`{c``-``d^`'}over{c}`]

[eqn: A_s`f_s``=``0.85`beta_1`f_ck`b`c``+``A_s^`'`epsilon_c`E_s`{c``-``d^`'}over{c}`]

[eqn: M_n``=``0.85`f_ck`ab`left(d``-{d}over{2}right)``+``A_s`f_s^`'`(d``-``d^`'`)`]

(5․20)

설계모멘트

[eqn: M_d``=``phiM_n``=``phileft[0.85`f_ck`ab`left(d``-``{a}over{2}right)``+``A_s^`'`f_s^`'(d``-``d^`'`)right]`]

(5․21)

예제 5-4. [eqn: b`]=30cm, [eqn: d`]=46cm, [eqn: A_s`]=6-[eqn: D`]32=47.65cm2, [eqn: A_s`^'`]=2-[eqn: D`]29=12.84cm2, [eqn: d`]=6cm인 복철근 직사각형 단면의 설계 모멘트를 계산하라. [eqn: f_ck`]=350kg/cm2, [eqn: f_y`]=3500kg/cm2

[eqn: rho``=``{A_s}over{b`d`}``=``{47.65}over{30×46`}``=``0.0345], [eqn: rho^`'``=``{A_s^`'}over{b`d}``=``{12.84}over{30×46`}``=``0.0093`]

[eqn: &rho_b``=``0.85`k_1`{f_ck}over{f_y`}`{6000}over{6000``+``f_y`}`## &~~`=``0.85``×``0.80``×``{350}over{3500`}``×``{6000}over{6000``+``3500`}``=``0.0429`]

[eqn: rho_max``=``0.75rho_b``=``0.75``×``0.0429``=``0.0322``＜``0.0345``=``rho`]

∴ 복철근보로 계산한다.

[eqn: rho_max``=``0.75rho_b`+``rho^`'``=``0.75``×``0.0429``+``0.0093``=``0.0415``＞``0.0345`]

[eqn: &rho_min``=``0.85`{f_c`k}over{f_y`}{d^`'}over{d`}{6000}over{6000``-``f_y`}``+``rho^`'`## &~~~~`=``0.85``×``0.80``×``{350}over{3500`}{6}over{40`}{6000}over{6000``-``3500`}``+``0.0093``=``0.0338``＜``0.0345`]

연성파괴를 한다.

[eqn: &M_{d`1}``=``phi`M_{n`1}``=``phi`A_s^`'`f_s`(d``-``d^`')`## &~~~~`=``0.85``×``12.84``×``3500(46``-``6)``=``15.28`t․m`]

[eqn: a``=``{(A_s``-``A_s^`'`)f_y}over{0.85f_ck`b}``=``{(47.65``-``12.84)}over{0.85``×``350``×``30}``=``13.65cm]

[eqn: &M_{d`2}``=``phi`M_{n`2}``=``phi`(A_s``-``A_s^`'`)f_y`left(d``-``{a}over{2`}right)`## &~~~~`=``0.85(47.65``-``12.84)``×``3500``×``left(46``-``{13.65}over{2`}right)```=``40.57`t․m`]

[eqn: ∴~M_d``=``M_{d`1}``+``M_{d`2}``=``15.28``+``40.57``=``55.85`t․m]

5.3.2 단면설계

→ 압축철근을 사용하는 주된 목적 : 크리프와 건조수축으로 인한 장기처짐을 감소.

예제 5-5

활하중 3.6t/m, 고정하중(자중포함) 1.5t/m, 지간 5.4m. 직사각형 단면으로 설계하고자 한다.

폭 26cm, 높이 52cm로 제한된다. 이에 필요한 철근량은? [eqn: f_ck`]=210kgf/cm2, [eqn: f_y`]=30000kgf/cm2.

․소요강도 : [eqn: w``=``1.4D``+``1.7L``=``1.4``×1.6``+``1.7``×3.5``=``8.54`t/m`]

[eqn: M_u``=``{1}over{8}w`l`^2``=``{1}over{8}``×``8.22``×``5.4^2``=``29.96`t․m`]

[eqn: d``=``52``-10``=``42`cm`], [eqn: d^'``=``6`cm`]로 가정

․단철근보([eqn: rho``=``0.75`rho_b`]사용)로써의 저항모멘트

[eqn: &rho_max``=``0.75``×``0.85`k_1``{f_ck}over{f_y}`{6120}over{6120``+``f_y}`## &~~~~``=``0.75``×``0.85``×``0.85``×``{210}over{3000}``×``{6120}over{6120``+``3000`}``=``0.0254`]

[eqn: A_s``=``rhobd``=``0.0254``×``26``×``42``=``27.80`cm^2`]

[eqn: a``=``{f_y`A_s`}over{0.85`f_ck`b}``=``{3000``×``27.80}over{0.85``×``210``×``26}``=``17.97`]

[eqn: &M_max``=``phi`A_s`f_y`left(d``-``{a}over{2}`right)``=``0.85``×``27.80``×``3000``×``left(42``-``{17.94}over{2}`right)`## &~~~~~`=``2340433`kg․cm``=``23.4`t․m``＜``M_u``=``29.96`t․m`]

․[eqn: M_u``-``M_max``=``29.96``-``23.4``=``6.56`t․m`]에 대해 추가 인장 및 압축 철근 배치

(파괴시 압축철근도 항복한다고 가정 ← 가정에 대한 검토 필요)

[eqn: M_U`_1``=``phi`A_s`_1``f_y`(d``-``d`^'`)`]

[eqn: &A_s_1``=``{M_U_1`}over{phi`f_y`(d``-``d`^'`)`}``=``{656000}over{0.85``×``3000``×``(42``-``6`)`}## &~`~~=``7.15`cm^2``=``A_s`^'`]

[eqn: &∴~A_s``=``27.8``+``7.15``=``34.95`cm^2`## &~~~A_s`^'``=``7.15`cm^2`]

․파괴시 압축철근의 항복검사

[eqn: rho``=``{A_s}over{b`d`}``=``{34.95}over{26``×``42}``=``0.0320,~~rho^'``=``{A_s^'}over{b`d`}``=``{7.15}over{26``×``42}``=``0.0065`]

[eqn: rho``-``rho^'``=``0.0320``-``0.0065``=``0.0255`]

[eqn: &0.85`k_1`{f_ck}over{f_y`}`{d^'}over{d`}`{6120}over{6120``-``f_y`}`## &~~=``0.85``×``0.85``×``{210}over{3000`}`{6}over{42`}{6120}over{6120``-``3000`}``=``0.0142`]

[eqn: ∴~rho``＞rho_min`] : 압축철근 항복 → 앞에서 구한 철근량 그대로 사용.

5.4 T형보

5.4.1 T형 단면의 보

헌치(haunch) : 플랜지와 복부의 경계면에서 응력집중이나 전단응력을 완화할 목적으로 둔다.

계산에 있어서는 헌치의 영향을 무시하는 것이 보통.

(a) 부모멘트를 받는 경우 → 복부폭 [eqn: b_w`]를 폭으로 하는 직사각형 단면으로 계산

(b) 중립축이 플랜지에 있는 경우 → 플랜지 폭 [eqn: b`]를 폭으로하는 직사각형 단면으로 계산

(c) 중립축이 복부에 있을 경우 → T형단면.

5.4.2 플랜지의 유효폭

※ 응력분포 : 등가직사각형 응력분포 사용

: 플랜지가 폭방향으로 균일하게 작용한다고 가정할 수 있는 한계의 플랜지 폭

• 설계기준에서 T형단면의 플랜지의 유효 폭

<대칭 T형 단면>

① [eqn: 16`t_f``+``b_w`]

② 양쪽 슬래브의 중심간 거리

③ 보의 지간(支間)의 [eqn: {1}over{4`}`]

<비대칭 T형단면>

① [eqn: 6`t_f``+``b_1`]

② 보의 지간의 [eqn: {1}over{12`}`]+[eqn: b_1`]

③ 인접보와의 내측 거리[eqn: l_0`]의 [eqn: {1}over{2`}`]+[eqn: b_1`]

5.4.3 T형 단면 보의 계산

→ T형 단면보에서는 플랜지 면적이 커서 콘크리트의 압축력이 크기 때문에 일반적으로 압축철근을 필요로 하지 않는다.

→ 직사각형 단면에서 사용한 등가 사각형 응력분포를 사용.

5.4.4 설계 휨강도

[1]중립축

[eqn: 0.85`f_ck`a`b``=``f_y`A_s`]

[eqn: ∴~a``=``{A_s`f_y}over{0.85`f_ck`b`}``=``{rho`f_y`d}over{0.85`f_ck`}`]

(5․22)

→ [eqn: a``≦``t_f`] : 플랜지 폭 [eqn: b`]를 폭으로 하고 [eqn: d`]를 유효높이로 하는 직사각형 단면

→ [eqn: a``＞``t_f`] : T형 단면으로 계산.

c.f) [eqn: 0.85`f_ck`b`t_f``≧``A_s`f_y`] : 플랜지 폭 [eqn: b`]를 폭으로 하는 직사각형 단면

[eqn: 0.85`f_ck`b`t_f``＜``A_s`f_y`] : T형 단면으로 계산

[2] 설계 휨강도

→ T형보의 강도는 인장철근의 항복에 의해 지배된다고 본다

플랜지의 넓은 면적이 큰 압축력을 발휘하기 때문

• [eqn: M_{n`1}`](그림 d [eqn: C_1``=``T_1`])

[eqn: 0.85`f_ck`t_f`(b``-``b_w`)``=``A_sf`f_y`]

[eqn: ∴~A_sf``=``{0.85`f_ck``t_f`(b``-``b_w`)}over{f_y`}`]

(5․23)

[eqn: M_{n`1}``=``A_sf`f_y`left(d``-``{t_f}over{2}right)`]

(5․24)

• [eqn: M_{n`2}`](그림 e [eqn: C_2``=``T_2`])

[eqn: (A_s``-``A_sf`)`f_y``=``0.85`f_ck`a`b_w`]

[eqn: ∴~a``=``{(A_s``-``A_sf`)`f_y`}over{0.85`f_ck`b_w`}`]

(5․25)

[eqn: M_{n`2}``=``f_y`(A_s``-``A_sf`)`left(d``-``{a}over{2}right)`]

(5․26)

• 공칭강도

[eqn: M_n``=``M_{n`1}``+``M_{n`2}`]

• 설계 모멘트

[eqn: M_{d`1}``=``phi`M_n``=``phi`left[A_sf`f_y`left(d``-``{t_f}over{2}right)``+``f_y`(A_s``-``A_sf`)`left(d``-``{a}over{2}right)`right]`]

(5․27)

[3] 최대 철근비

: 인장철근의 변형률 → 항복 변형률 [eqn: epsilon_y`]

철근 → 극한 변형률 0.003           ⇒ 균형파괴(balanced failure)

[eqn: {c}over{d`}``=``{0.003}over{0.003``+``epsilon_y`}``=``{0.003}over{0.003``+``{f_y}over{E_s}}``=``{6000}over{6000``+``f_y`}`]

• 단면의 내력

[eqn: A_s`f_y``=``A_sf`f_y``+``(A_s``-A_sf`)`f_y``=``A_sf`f_y``+``0.85`f_ck`a`b_w`]

[eqn: barrho_b``=``{A_s}over{b`d}`,~rho_f``=``{A_sf}over{b_w``d`}`]

• 단면의 균형철근비

[eqn: barrho`b`d`f_y``=``0.85`f_ck`beta_1`c`b_w``+``rho_f`b_w`d`f_y`] [eqn: &∴~rho_b``=``{b_w}over{b}left(0.85`beta_1{f_ck}over{f_y`}`{6000}over{6000``+``f_y}``+``rho_f `right)`## &~~~~`~=``{b_w}over{b}`(rho_b``+``rho_f`)`]

[eqn: rho_b`] : 단철근 직사각형의 균형 철근비

• 철근비의 상한값

[eqn: rho_max``=``0.75(rho_b``+``rho_f`)`{b_w}over{b`}`]

(5․28)

c.f) 인장철근량을 [eqn: rho_max`]이하로 제한하면 대부분의 T형보는 응력사각형이 플랜지 내에 있게 되어 직사각형단면으로 계산.

예제 5-6.

[eqn: b`]=76cm, [eqn: t_f`]=18cm, [eqn: d`]=91cm, [eqn: b_w`]=36cm, [eqn: A_S`]=8-[eqn: D`]35=76.52cm2, 단철근 T형 단면의 보

설계 휨모멘트([eqn: M_d`])는? [eqn: f_ck`]=210kgf/cm2, [eqn: f_y`]=3500kgf/cm2

․T형 단면 확인

[eqn: a``=``{A_S`f_y}over{0.85`f_ck`b}``=``{76.52``×``3500}over{0.85``×``210``×``76}``=``19.7cm``＞``18`cm`]

∴ T형보

․철근비 검토

[eqn: A_sf``=``{0.85`f_ck`t`(b``-``b_w`)}over{f_y}``=``{0.85``×``210``×``18``×``(76``-``36)}over{3500}``=``36.72`cm^2`]

[eqn: A_s``-``A_sf``=``76.52``-``36.72``=``39.80`cm^2`]

[eqn: rho``=``{A_s}over{b`d`}``=``{76.52}over{76``×``91}``=``0.0111`]

[eqn: rho_f``=``{A_s}over{b_w`d}``=``{36.72}over{36``×``91}``=``0.0112`]

[eqn: rho_b``=``0.85`beta_1`{f_ck}over{f_y`}`{6000}over{6000``+``f_y}``=``0.85``×``0.85``×``{210}over{3500`}``×{6000}over{6000``+``3500`}``=``0.0274`]

[eqn: rho_max``=``0.75`(rho_b``+``rho_f`)`{b_w}over{b}``=``0.75`(0.0274``+``0.0112`)``×``{36}over{76`}``=``0.0137``＞``0.0111`]

[eqn: rho_max``＞``rho`]이므로 식 (5․27)을 사용

․설계휨강도

[eqn: M_n1``=``A_sf`f_y`left(d``-``{t_f}over{2}`right)``=``36.72``×``3500``×``left(91``-``{18}over{2}right)``=``10,538,640`kgf․cm`]

[eqn: a``=``{(A_s``-``A_sf`)`f_y}over{0.85`f_ck`b_w`}``=``{39.80``×``3500}over{0.85``×``210``×``36`}``=``21.7`cm`]

[eqn: M_n2``=``f_y`(A_s``-``A_sf`)`left(d``-``{a}over{2}right)``=``3500``×``39.80``×``left(91``-``{21.7}over{2}right)``=``11,164,895`kgf․cm`]

[eqn: ∴~M_d``=``phi`M_n``=``0.85`(M_n1``+``M_n2`)``=``0.85`(105,386``+``111,649`)``=``184,480`kgf․cm`]

․최소철근량 검사

[eqn: A_{s.min}``=``{0.8sqrt{f_{c k}}}over{f_y}``=``{0.8sqrt{210}}over{3500}``×``36``×``91``=``11.16`cm^2`]

[eqn: {14}over{f_y}`b_w`d``=``{14}over{3500}``×36``×``91``=``13.10`cm^2``＞``11.16`cm^2`]

∴ [eqn: A_{s.min}``=``13.10`cm^2``＜``76.52`cm^2`(A_s`)`]

5.4.5 단 면 설 계

예제 5-7.

[eqn: t_f`]=100mm, 보의 중심간격 2.44m, 보의 지간 [eqn: l`]=6.7m, [eqn: d`]=480mm, [eqn: b_w`]=300mm의 단면이 고정하중 모멘트 72.7KN․m과 사용 활하중 모멘트 172KN․m를 받도록 하고 싶다. 소요 [eqn: A_s`]? [eqn: f_ck`] = 30MPa, [eqn: f_y`] = 400MPa

ⅰ) 플랜지의 유효폭

[eqn: 16`t_f``+``b_w``=``16``×``10``+``30``=``rm190`cm``=``1900mm`]

양쪽 슬래브 중심간의 거리 = [eqn: rm244`cm``=``2440mm]

보의 지간의 [eqn: rm{1}over{4`}``=``670``×``{1}over{4`}``=``167`cm``=``1670mm`] : 가장 작은 값으로 유효폭

ⅱ) 극한강도 : [eqn: M_u``=``1.4`D``+``1.7`L``=``1.4``×``72.7``+``1.7``×``172``=``394.2`rm`KN․m`]

ⅲ) 소용 공칭강도 : [eqn: M_n``=``{M_u}over{phi`}``=``{394.2}over{0.85`}``=``463.8`rm KN․m`]

ⅳ) 중립축 위치 판정(T형 단면 or 직사각형 단면)

[eqn: z`]가정 : [eqn: z``=``0.9`d``=``0.9``×``48``=``43.2`cm`]

[eqn: z``=``d``-``{d}over{2`}``=``48``-``{10}over{2`}``=``43`cm`]

이에 대해 [eqn: z``=``43.2`cm`]로 가정

[eqn: M_n``=``A_s`f_y`z`]에서 [eqn: A_s``=``{M_n}over{f_y`z`}``=``{463.8``×``10^3}over{400``×``10^6``×``0.432`}``=``0.0027`cm^2``=``2700`cm^2`]

[eqn: T``=``A_s`f_y``=``2700``×``400``×``10^-3``=``1080`rmkN`]

[eqn: &C``=``0.85`f_ck`t_f`b``=``0.85``×``30``×``100``×``1670``×``{1}over{10^3`}`## &~~=``4260`rmkN``＞``1080`rmkN`]

[eqn: C``＞``T`]이므로 직사각형 단면으로 설계

ⅴ) 철근량 계산

[eqn: a``=``{A_s`f_y}over{0.85`f_ck`b`}``=``{1,080,000}over{0.85``×``30``×``1670`}``=``25.4`mm`]

[eqn: z``=``d``-``{a}over{2`}``=``480``-``{25.4}over{2`}``=``467`mm]

[eqn: A_s``=``{M_n}over{f_y`{left(d``-``{a}over{2}}right)}``=``{463.8``×``10^3``×``10^3`}over{400``×``467`}``=``2483`mm^2`]

[eqn: a`]를 검사하면

[eqn: a``=``{2483``×``400}over{0.885``×``30``×``1670`}``=``23.3`mm`]

25.4mm보다 약간 작지만 실용적으로 같다고 볼 수 있다. ∴ 소요의 철근 단면적은 [eqn: A_s``=``24.83`cm^2`]이다. [eqn: a`]가 매우 작으므로 콘크리트의 압축파괴에 앞서 인장철근이 항복 → 철근비는 검사하지 않는다.

예제 5-8.

앞의 예제에서[eqn: M_n``=``1700`rmkN․m`]일 때 철근량은?

ⅰ) 플랜지 유효폭 : [eqn: b``=``167`cm`]

ⅱ) 극한강도 : [eqn: M_u``=``1700``×``10^3`rmN․m`]

ⅲ) 소요공칭강도 : [eqn: M_n``=``{1700``×``10^3`}over{0.85`}``=``2,000,000`rm kN․m`]

ⅳ) 중립축 위치 판정

[eqn: a``=``100``mm`]로 가정

[eqn: A_s``=``{M_u}over{phi`f_y`left(d``-``{a}over{2}right)}``=``{1700``×``10^3}over{0.85``×``400``×``10^6`left(0.48``-``{0.10}over{2}right)}``=``0.011628`m^2``=``11,628`mm^2`]

[eqn: a``=``{A_s`f_y}over{0.85`f_ck`b`}``=``{11,628``×``400}over{0.85``×``30``×``1670`}``=``109`mm``＞``100`mm`]

∴T형 단면으로 계산

ⅴ) 철근량 계산

[eqn: A_sf``=``{0.85`f_ck`t_f`(b``-``b_w`)}over{f_y}``=``{0.85``×``30``×``100`(1670``-``300`)}over{400`}``=``8734`mm^2`]

[eqn: &∴~M_d1``=``phi`M_n1``=``phi`A_sf`f_y`left(d``-``{t_f}over{2}right)``=``0.85``×``8734``×``400`left(480``-``{100}over{2`}`right)``×``{1}over{10^3`}``×``{1}over{10^3`}`## &~~~~~~~=``1277rmkN․m`]

[eqn: M_d2``=``M_u``-``M_d1``=``1700``-``1277``=``423`rmkN․m`]

[eqn: a``=``160`mm`]로 가정하면

[eqn: A_s``-``A_sf``=``{M_d2}over{phi`f_y`left(d``-``{a}over{2`}`right)}``=``{423``×``10^3``×``10^3}over{0.85``×``400`left(480``-``{160}over{2}right)}``=``3110`mm^2`]

[eqn: a``=``{(A_s``-``A_sf`)`f_y}over{0.85`f_ck`b_w`}``=``{3110``×``400}over{0.85``×``30``×``300`}``=``162.6`mm`]

이 값은 가정한 [eqn: a`]와 거의 같다. ∴소요 철근량은

[eqn: A_s``=``A_sf``+``(A_s``-``A_sf`)``=``8734``+``3110``=``11,844`mm^2`]

ⅵ) 검토

[eqn: rho``=``{A_s}over{b`d`}``=``{11,844}over{1670``×``480`}``=``0.0148`]

[eqn: rho_f``=``{A_sf}over{b_w`d`}``=``{8724}over{300``×``480`}``=``0.0607`]

[eqn: f_ck``=``30`rmMPa`]에 대하여 [eqn: beta_1``=``0.84`,``E_s``=``196,000rmMPa`]

[eqn: rho_b``=``0.85`beta_1`{f_ck}over{f_y}`{0.003}over{0.003``+``{f_y}over{E_s`}`}``=``0.85``×``0.84``×``{30}over{400}``×``{0.003}over{0.003``+``{400}over{196,000}}``=``0.0319`]

[eqn: rho_max``=``0.75`(rho_b``+``rho_f`)`{b_w}over{b}``=``0.75``×``(0.0319``+``0.0607`)``×``{300}over{1670}``=``0.0125``＜``0.0148`]

∵[eqn: rho``＞``rho_max`] : T형 단면으로 할려면 복철근 T형 단면

대부분의 T형 단면은 이처럼 큰 모멘트를 받는 일이 없다. 큰 모멘트에 대해서는 슬래브 두께를 늘리거나 보의 높이를 크게 하는 것이 좋다.

5.5 특수단면의 보

예제 5-10.

설계기준에서 허용하는 최대 인장 철근량? [eqn: f_ck``=``280`{rmkgf`/cm^2}`.``f_y``=``4000`{rmkgf`/cm^2}`]

• 평형파괴시의 변형률

[eqn: epsilon_y``=``{f_y}over{E_s`}``=``{4000}over{2,000,000`}``=``0.002]

• 평형상태의 중립축

[eqn: C_b``=``{0003}over{0.003``+``0.002`}``×``66``=``39.6`cm`]

[eqn: ∴~a_b``=``beta_1`c_b``=``0.85``×``39.6``=``33.7`cm`]

[eqn: A_c`]:응력사각형에 대응하는 concrete의 면적

[eqn: A_c``=``30``×``33.7``-``left(15``×``15``{1}over{2}`right)``×``2``=``786`cm^2`]

균형 철근량 [eqn: A_sb`]([eqn: T_b``=``C_b`])

[eqn: A_sb`f_y``=``0.85`f_ck`A_c`]

[eqn: A_sb``×``4000``=``0.85``×``280``×``786`]

[eqn: ∴A_sb``=``46.77`cm^2`]

∴최대 허용 철근량 [eqn: A_s``=``0.75`A_sb``=``0.75``×``46.77``=``35.08`cm^2`]

예제 5-11.

앞의 예제에서 [eqn: A_s``=``4``-``29``=``25.70`cm^2`]을 사용한다면 허용 설계모멘트는?

실제 [eqn: A_s``=``25.70`]＜최대 [eqn: A_s``=``35.08`] → 연성파괴

[eqn: C``=``T`]

[eqn: 0.85`f_ck`A_c``=``A_s`f_y`]

[eqn: 0.85``×``280``×``A_c``=``25.70``×``4000`]

[eqn: ∴~A_c``=``432`cm^2``＞``225`cm^2`~left(``=``30``×``15``×``{1}over{2}`right)`]

[eqn: 30``×``a``-``left(`15``×``15``×``{1}over{2}`right)``×`2``=``432`]

[eqn: ∴~a``=``21.9`cm`]

[eqn: C`]의 작용선은 도심선을 지난다.

[eqn: 432`y``=``left(`30``×``15``×``{1}over{2}`right)``×``15``×``{2}over{3}``+``30``×``(21.9``-``15`)``×``left(`{21.9``-``15`}over{2}``+``15`right)`]

[eqn: ∴~y``=``14`cm`]

[eqn: z``=``66``-``14``=``52`cm`]

[eqn: M_n``=``T`z``=``A+S`f_y`z``=``25.870``×``4000``×``52``=``5,345,600`kgf․cm``=``53.46`t․m`]

[eqn: M_d``=``phiM_n``=``0.85``×``53.46``=``45.4`t․m`]

※ 특수단면 보에서 필요한 철근량 계산의 일반적인 절차

(1) [eqn: z`]를 가정

(2) [eqn: A_s``=``{M_n}over{f_y`z`}`]

(3) [eqn: A_s`f_y``=``0.85`f_ck`A_c`]에서 [eqn: A_c`]구하고

[eqn: C``=``T`]에서 [eqn: a`]구함

(4) [eqn: A_c`]의 도심 → [eqn: z`] 계산

(5) [eqn: z`]가 수렴할 때까지 반복 계산