제 9 장 기둥

제 9 장 기 둥

Structural Eng. Lab., Dept. of Civil. Eng, Taegu Univ.

9.1 서론

∙ 기둥(압축부재)) : 축방향 압축을 받는 부재 - 높이가 단면 최소 치수의 3배 이상인 부재

∙ 축방향압축과 휨을 동시에 받는 것이 보통

ex) 연돌; 자중에 의한 압축                   보에 작용되는 하중전달로 인한 모멘트

+ 활하중에 의한 휨	(편심압축)

※ 압축부재의 강도에 영향을 미치는 요소

1) 길이 : 短柱 or 長柱 - 좌굴 (cf. 압축부재 - 좌굴, 인장부재 - hole의 영향)

2) 양단의 지지조건 : rigid or hinge

※ 파괴형태

1) by Buckling(장주)

2) by Material Failure(단주): Concrete Compression or Steel Tension

9.2 기둥의 종류

(by form and arrangement of the reinforcement)

1. 띠철근 기둥(Tied Column): 정사각형 또는 직사각형 단면

축철근을 30cm - 45cm 간격으로 감은 부재(lower construction cost)

2. 나선철근 기둥(Spiral Column): 원형 단면, Pitch = 5 - 7.5cm

used where increased ductility is needed(eg. earthquakes zones)

3. 합성 기둥(Composite Column): 구조용 강재 or 강관을 축방향으로 보강

cf. 하중작용 위치에 따라(	축하중을 받는 기둥, 편심하중을 받는 기둥)

그림 9-1 철근콘크리트 기둥의 종류

9.3 기둥의 구조세목

9.3.1 띠철근 기둥

∙ 단면 최소치수: 20cm, 단면적: 600cm2 이상

∙ 축철근: 지름; 16mm 이상, 직사각형단면; 4개 이상, 원형단면; 6개 이상

∙ 축방향철근비: [eqn: rm 1% ~ <= ~rho_g ~ <= ~ 8%]

⇒ 최소한도를 두는 이유

① 예상 외의 휨에 대비

② creep 및 건조수축 영향 감소

③ 철근배치로 인하여 conc 타설 곤란 --> 저하되기 쉬운 conc 강도 보충

④ conc의 부분적 결함을 철근으로 보충

⇒ 최대한도를 두는 이유 : ① conc 작업, ② 경제성

∙ 띠철근: 축방향철근의 위치 확보, 좌굴방지

⇒ 축철근이 D32 이하인 경우; D10 이상의 띠철근

⇒ 축철근이 D35 이상인 경우; D13 이상의 띠철근

⇒ 간격; 축철근 지름의 16배 이하, 띠철근 지름의 48배 이하, 기둥 단면의 최소치수 이하

(cf. 기둥의 바닥층이나 보와 접합되는 곳: 절반 이하 간격)

<띠철근의 배치 예: 그림 9-2 참조>

9.3.2 나선철근 기둥

∙ 芯部 지름: 20cm 이상 (심부 지름; 나선철근의 중심선이 그리는 원의 지름)

∙ 축철근: 지름; 16mm 이상,   [eqn: rm 1% ~ <= ~rho_g ~ <= ~ 8%]

∙ 나선철근기둥은 보다 큰 하중에 대해 설계되므로, 요구되는 conc 강도 = 210kg/cm2 이상

∙ 나선철근비[eqn: rm left ( = ``나선철근체적 over 심부체적 right )] [eqn: rm rho_s ~ ge ~ 0.45 `` left ( A_g over A_c `` - `` 1 right ) f_ck over f_y]                                (9.1)

Ac : 심부 단면적

fy : 나선철근의 항복강도(4000kgf/cm2 이하)

cf. 심부의 외각부 conc 파괴 ⇔ 나선철근 항복

외각부 conc 강도 =  나선철근의 강도(축철근 환산강도의 2배)

[eqn: rm 0.90`` f_ck`` (A_g`` -`` A_c ) ~ = ~ 2 `` f_y `` rho_s `` A_c]

∙ 나선철근 : 지름 9mm 이상, 순간격 2.5cm ～ 7.5cm, 정착을 위하여 나선철근 끝에서 1.5 회전만큼 더 연장, 겹이음 길이: 나선철근 지름의 48배 이상, 30cm 이상

9.3.3 축방향철근의 간격과 이음

∙ 모든 기둥에서 축방향 철근의 순간격은 4cm 이상, 또 지름의 1.5배 이상

(띠철근을 따라 양쪽으로 15cm 이하)

∙ 축방향 철근의 겹이음 : text 참조

9.3.4 합성기둥

∙ fck ≥ 180 kgf/cm2

∙ 구조용 강재는 fy ≤ 3500 kgf/cm2로 간주

∙ 축철근비: [eqn: rm 1% ~ <= ~rho_g ~ <= ~ 8%]

9.4 축방향압축과 휨의 조합작용

☞ 순수한 축방향압축 부재는 거의 없음

☞ 압축부재: 축방향압축과 휨을 동시에 받는 부재로 설계

※ 기둥상관도(Column Interaction Diagram) - P-M interaction diagram

그림 9- 기둥상관도(P-M 상관도)

∙ 압축력 P와 휨모멘트 M의 관계

Pno : 중심축압축강도 (M = 0),  Mno : 휨강도 (P = 0)

∙ P, M의 여러가지 경우에 대해 실험

∙ 편심거리 e = 0  ----------->

∙ 0 ≤ e ≤ emin : 축방향압축

∙ e = emin (최소편심거리)  ---------->

(모든 기둥은 약간의 편심을 가짐)

∙ emin < e < eb : 압축파괴(fs < fy)

∙ e = eb (평형편심)

εc = 0.003일 때 fs = fy인 상태  -------->

∙ e > eb : 인장파괴(εc < 0.003, fs = fy)

9.5 설계의 원칙

[eqn: rm S_u ~ le ~ S_d``, ~~~ S_u ~ = ~ sum γ_i``L_i `` , ~~~ S_d ~ = ~ φ``S_n]

[eqn: rm cases { P_u ~ le~ P_d ~ = ~ φ`` P_n # M_u ~ le~ M_d ~ = ~ φ`` M_n }]

< 나선철근부재 φ = 0.75, 띠철근부재 φ = 0.7 >

cf. 휨부재 - 철근의 인장강도에 지배

축방향압축부재 - conc 강도에 지배: conc의 품질변동, 결함

∙ Column Failure → of major significance(인명 및 경제적 피해)

: Compression failure provides little visual warning → φ를 낮게

(기둥파괴 → 구조물 전체의 파괴 유발)

∙ As the load increase → 띠철근 위치에서 균열

conc 덮개 파손  : 부착 ×

축방향철근 노출 : 부착 ×

축철근의 local buckling(띠철근 사이의 비지지길이에서)

• 기둥상관도

그림 9-5 P-M 상관도

∙ Zero eccentricity 불가능

1) 단면 치수의 부정확

2) 비대칭 하중

(인접 슬래브의 두께 차이,

배치 잘못)

∙ 최소편심

띠철근: 최소치수의 10%

나선철근: 최소치수의 5%

∙ 시방서에서 축하중 감소

띠철근: 20%

나선철근: 15%

<1> e ≤ emin : 축방향압축만 받는 부재

띠철근 Pd = 0.8 φ Pno,  나선철근 Pd = 0.85 φ Pno

M = 0

<2> emin < e < eb : conc 압축으로 지배 → Pd, Md의 조합

<3> e > eb : 철근 인장으로 지배

[eqn: rm φ `` P_n ~ le ~ 0.1 `` f_ck `` A_g]일 때 : 편심이 커서 보의 거동에 가까워짐

φ값 변화(0.7 or 0.75에서 0.85까지 직선 보간)

띠철근 [eqn: rm φ~ = ~ 0.85 ``- ``0.15 ``× `` {φ``P_n} over {0.1 `` f_ck `` A_g } ~ ge ~ 0.7]

나선철근 [eqn: rm φ~ = ~ 0.85 ``- ``0.1 ``× `` {φ``P_n} over {0.1 `` f_ck `` A_g } ~ ge ~ 0.75]

[eqn: rm P_n ~ le ~ 0.05 `` f_ck `` A_g]이면 휨만 작용하는 것으로 간주: φ = 0.85 ([eqn: rm rho ~ <= ~0.75``rho_b])

9.6 短柱

9.6.1 중심축 하중을 받는 기둥(e ≤ emin)

[eqn: rm P_n ~ =~P_o ~= ~ 0.85 `` f_ck ``(A_g `` - `` A_st ) `` + `` f_y `` A_st]

∙ 나선철근 [eqn: rm P_d ~ = ~ 0.85 `` phi``P_n ~ = ~ 0.85`` phi``[0.85 `` f_ck ``(A_g `` - `` A_st ) `` + `` f_y `` A_st ]]

φ = 0.75, emin = 0.05h (h: 단면 최소치수)

∙ 띠철근 [eqn: rm P_d ~ = ~ 0.80 `` phi``P_n ~ = ~ 0.80`` phi``[0.85 `` f_ck ``(A_g `` - `` A_st ) `` + `` f_y `` A_st ]]

φ = 0.7, emin = 0.10h

예제 9.1) 단면 40×50cm, 단주, Ast = 6-D29 = 38.54cm2, 띠철근, fck=240kgf/cm2, fy=3500kgf/cm2

사용 사하중 95t, 사용 활하중 80.6t, 활하중모멘트 5.82t‧m, 안전검사?

☺ [eqn: rm P_u ~ = ~ 1.4 `` times `` 95 `` + `` 1.7 `` times `` 80.6 ~ = ~ 270 `` t]

[eqn: rm M_u ~ = ~ 1.7 `` times ``5.82 ~ = ~ 9.9 `` t‧m]

[eqn: rm e ~ = ~ M_u over P_u ~ = 9.9 over 270 ~ = ~ 0.037 `` m ~ = ~ 3.7 `` cm]

[eqn: rm e_min ~ = ~ 0.10 `` h ~ = ~ 0.10 `` times `` 40 ~ = 4 `` cm ~ > ~ e `` = `` 3.7]

∴ 축방향압축 지배

[eqn: rm P_d ~ = ~ 0.80`` phi``[0.85 `` f_ck ``(A_g `` - `` A_st ) `` + `` f_y `` A_st ]]

[eqn: rm = ~ 0.8 `` times `` 0.7 `` times ``[0.85``times ``240``(40``times ``50``-``38.54)``+``3500``times ``38.54] ~ = ~ 299,000 `` kgf]

[eqn: rm P_u ~ = ~ 270 `` t ~ < ~ P_d ~ = ~ 299 `` t]   ∴ 안전 ¶

그림 9-6 편심하중을 받는 기둥

9.6.2 압축과 휨을 받는 기둥(직사각형단면)

∙ 극한하중 Pn

(인장철근 도심으로부터 e'의 편심으로 작용할 수 있는 극한하중)

[eqn: rm P_n ~ = ~ C_c `` + `` C_s ``- ``T]

[eqn: cases { rm C_c ~= ~0.85 ``f_ck ``a``b ## rm C_s ~ = ~ A_s ′ ``f_s ' ## rm T ~ = ~ A_s `` f_s }]

∴ 설계강도

(9.8)

[eqn: rm P_d ~ = ~ phi``P_n ~ = ~ phi``[0.85 `` f_ck `` a `` b `` + `` A_s ′ `` f_s ' `` - `` A_s `` f_s ]]

[eqn: rm sum M_at ``_소성중심 ~ = ~ 0 `` :]

(9.9)

[eqn: rm M_d `` = `` phi`` M_n = `` phi `` [C_c `` times `` (bar y `` - `` a over 2 )`` + `` C_s `` times ``(bar y `` - `` d′) `` + `` T `` times `` (d`` - ``bar y ) ]]

([eqn: rm bar y] : 압축측 연단에서 소성중심까지의 거리)

[1] 균형하중

∙ 단면의 소성중심: conc 전단면 fc = 0.85 fck, fs = fy일 때 전응력의 합력의 작용점

(대칭단면에서 단면의 도심)

∙ 균형상태(균형파괴상태) : [eqn: rm epsilon_c `` = `` 0.003, ~f_s `` = `` f_y] 동시 도달

→ 이 때의 축하중 = 균형하중(Pb), 이 때의 모멘트 = 균형모멘트(Mb)

그림 9-7 균형파괴상태의 기둥

(1) 중립축 cb

그림 (c) → [eqn: rm c _{b} `=` {0.003} over {0.003`+`` {f _{y}} over {E _{s}}} ‧d],    [eqn: rm a_b ~ = ~ beta_1 `` c_b]

(2) Pb :  [eqn: rm sum V ~ = ~ 0] → [eqn: rm P_b ~ = ~ C_c `` + `` C_s `` - `` T]

[eqn: rm = ~ 0.85 `` f_ck `` a_b `` b `` + `` f_y `` A_s ′ `` - ``f_y `` A_s]

⇒ [eqn: rm phi`` P_b ~ = ~ phi ``[0.85 `` f_ck `` a_b `` b `` + `` f_y `` A_s ′ `` - ``f_y `` A_s ]]

(3) 균형편심 eb (소성중심에서부터의 거리)

[eqn: rm sum M_at ``_소성중심 ~ = ~ 0 `` :] [eqn: rm M_b ~ = ~ P_b ``‧ `` e_b]

[eqn: rm = ~ [C_c `` × `` (bar y `` - `` a_b over 2 )`` + `` C_s `` × ``(bar y `` - `` d′) `` + `` T `` × `` (d`` - ``bar y ) ]]

[eqn: rm phi `M_b `` = `` phi [C_c ` times ` (bar y ` - ` a_b over 2 )` + ` C_s ` × `(bar y ` - ` d′) ` + ` T ` times ` (d` - `bar y ) ]]

[eqn: rm e_b ~ = ~ M_b over P_b]

cf. 균형상태

보: given b, d에서 As에 따라 결정 → 단면 比의 문제

기둥: 특정 eb와 특정 Pb에 의존

→ 재하조건의 문제

[2] e > eb일 때[eqn: rm (P_u ~ < ~ P_b )]: 기둥 강도가 철근의 인장으로 지배

(압축, 인장 철근이 둘 다 항복한다고 가정 → 검토필요)

[eqn: rm f_s ~ = ~ f_y],	[eqn: rm f_s ′ ~ = ~ f_y `` - `` 0.85 `` σ_ck ~ ≒ ~f_y]

∙ 설계강도 Pd : 식 (9.8), (9.9)에 [eqn: rm f_s ~= ~ f_y , ~ f_s ′~ = ~ f_y] 대입

[eqn: rm P_d ~ = ~ phi``P_n ~ = ~ phi``[0.85 `` f_ck `` a `` b `` + `` A_s ′ f_y `` - `` A_s `` f_y ]]   (1)

[eqn: rm M_d ~ = ~phi`` M_n ~ = ~ phi `` [0.85 ` f_ck ` a ` b ` × ` (bar y ` - ` a over 2 )` + ` A_s ′ f_y` × `(bar y ` - ` d′) ` + ` A_s ` f_y ` × ` (d` - `bar y ) ]] (2)

(1), (2)를 연립하여 a에 대해 푼다.

∙ 단면이 대칭이고 As = As'이면

[eqn: rm P_d ~ = ~phi``P_n ~ = ~ phi ``[0.85 `` f_ck `` a `` b ]]

∙ 압축철근이 없을 때(As' = 0)

[eqn: rm P_d ~ = ~ phi``P_n ~ = ~ phi ``[0.85 `` f_ck `` a `` b `` - A_s `` f_y ]]

∙ 인장철근이 항복할 때 압축철근도 항복하는가 검토

(1)[eqn: rm a ~ = ~ P_n over {0.85 `` f_ck `` b }] →   (2)[eqn: rm c ~ = ~ a over beta_1]

(3) 비례식으로 εs' 구함 →  (4)[eqn: rm f_s ′ = E_s ``‧ ε_s ′]

(5) fy와 비교 →   (6) fs' < fy이면

① assume c < cb   ② a, fs' 계산

③ Pn, Mn 계산, [eqn: rm e ~ = ~ M_n over P_n] → 주어진 e와 비교 : e 값이 수렴할 때까지 반복 계산

[3] e < eb일 때[eqn: rm (P_u ~ > ~ P_b )]: 기둥강도가 conc의 압축으로 지배

그림 9-8 P-M 상관도

• Method 1 (trial and adjustment)

c 가정(c > cb),	[eqn: rm a ~ = ~ beta_1 `` c]

[eqn: rm f_s ′= ~ E_s `` ε_s ′=~ E_s ``× `` 0.003 `` × `` {c `` - `` d ′ } over c ~ le ~ f_y], [eqn: rm if ~~f_s ′ > ~ f_y ~~ then ~~ f_s ′ = ~ f_y]

[eqn: rm f_s ~= ~ E_s ``× `` left( 0.003 `` × `` {d `` - `` c } over c right )]

[eqn: rm P_n ~ = 0.85 `` f_ck `` a `` b `` + `` A_s ′ f_s ′ `` - `` A_s `` f_s]

[eqn: rm M_n ~ = ~ 0.85 ` f_ck ` a ` b ` × ` (bar y ` - ` a over 2 )` + ` A_s ′ f_s ′ × `(bar y ` - ` d′) ` + ` A_s ` f_s ` × ` (d` - `bar y )]

[eqn: rm e ~ = ~ M_n over P_n]

e 값 비교, c 보정

• Method 2 (그림 9-8에서)

Po - Pb 사이에서 비례식으로 Pn 구함

[eqn: rm P_o ~ = ~ 0.85 `` f_ck `` (A_g `` - `` A_st ) `` + `` f_y `` A_st]

[eqn: rm P_n ~ = ~ P_o `` - ``(P_o `` - `` P_b ) M_n over M_b], [eqn: rm M_n ~ = ~ P_n ``‧ `` e], [eqn: rm M_b ~ = ~ P_b ``‧ `` e_b]

[eqn: rm P_n ~ = ~ P_o over {1 `` + `` e over e_b left ( P_o over P_b `` - `` 1 right ) }]   (9.14)

• Method 3 (Whitney's approximate solution for rectangular conc column)

: one step expression for quick analysis(Computer 이용시 불필요)

∙ 가정 1) 철근배치; 대칭, 휨축에 대해 평행, single layer

2) 압축철근 항복

3) 압축철근에 의해 배제된 conc 면적 고려 안함

4) a = 0.54 d로 가정

5) 압축파괴 영역의 상관도 - 직선

∙ 압축지배의 경우(h; 편심 방향의 단면 두께, b; 단면의 폭)

[eqn: rm P_n ~ = ~ {f_y `` A_s ′ } over {e over {d ``-`` d′ } `` + `` 0.5 } `` + `` {b`` h `` f_ck } over {{3 `` h `` e } over d^2 `` + `` 1.18 }]     (9.15)

예제 9.2) <1> 그림과 같은 띠철근 압축부재의 균형하중을 구하라.

fck = 210kg/cm2, fy = 2400kg/cm2, 단주, ([eqn: rm 3-D29``=``19.27`cm^2])

(1) 평형상태의 중립축

[eqn: rm c_b ~ = ~ 6000 over {6000 `` + `` f_y } ‧ d ~ = ~ 6000 over {6000 `` + `` 2400 } ‧ 45 ~ = ~ 32.1 ``cm]

∴ [eqn: rm a_b ~ = ~ beta_1 `` c_b ~ = ~ 0.85 `` × `` 32.1 ~ = ~ 27.3 `` cm]

cf.[eqn: rm ε_s ′ = ~ 0.003 ``×``{ c_b `` - `` d′} over c_b ~ = ~ 0.003 `` × `` {32.1 `` - `` 5 } over 32.1 ~ = ~ 0.0025]

[eqn: rm f_s ′= ~ 2,000,000 × 0.00254 ~ = ~ 5080 ~ > ~ f_y ~ = ~ 2400]

∴ [eqn: rm f_s ′= ~ f_y ~ = ~ 2400]

(2) Pb ([eqn: rm sum V ~ = ~ 0]) → [eqn: rm P_b ~= ~ C_c `` + `` C_s `` - `` T]

[eqn: rm C_c ~ = ~ 0.85 `` f_ck `` a_b `` b ~ = ~ 0.85 times 210 times 27.3 times 40 ~ = ~ 194920`` kgf]

[eqn: rm C_s `` = `` (f_y - 0.85`` f_ck ) A_s ′``=`` (2400 - 0.85 times 210 ) times 19.27 `` = `` 42810]

[eqn: rm T ~ = ~ A_s ` f_y ~ = ~ 19.27` times ` 2400 ~ = ~ 46250]

∴ [eqn: rm P_b ~= ~ 194920 `` + `` 42810 `` - `` 46250 ~ = ~ 191480 `` kgf]

∴ [eqn: rm φ`` P_b ~ = ~ 0.7 ` times ` 191480 ~ = ~ 134040 `` kgf]

(3) Mb ([eqn: rm sum M_{at ``소성중심}])

[eqn: rm M_b ` = ` C_c ` × ` ( h over 2 ` - ` a_b over 2 )` + ` C_s ` × `( h over 2 ` - ` d′) ` + ` T ` × ` (d` - `h over 2 )]

[eqn: rm = ~ 194920 ` times ` ( 25 `` - `` 27.3 over 2 )`` + `` 42810 ` times ` (25`` -``5) ``+ `` 46250 ` times ` 20 ~= ~ 3993540 `` kgf ‧ cm]

∴ [eqn: rm φ `` M_b ~ = ~ 0.7 ` times ` 3993540 ~ = ~ 2795480 `` kgf‧cm]

(4) [eqn: rm e_b ~ = ~ M_b over P_b ~ = ~ 3993540 over 191480 ~ = ~ 20.9 `` cm]

예제 9.3) <2> e = 12cm일 때 공칭하중

[eqn: rm e_min ~ = ~ 0.10`` t ~ = ~ 0.1 ` × ` 40 ~ = ~ 4``cm]   [eqn: rm e_min ``= `` 4 ~ < ~ e `` = 12 ~ < ~ e_b ``= `` 20.9]

∴ conc 압축으로 지배

(1) Method 1

[eqn: rm P_o ~ = ~ 0.85 `` f_ck `` (A_g `` - `` A_st ) `` + `` f_y `` A_st]

[eqn: rm = ~ 0.85 ` ×` 210` × ` (40`×`50` -` 38.54 ) `` + `` 2400 `× ` 38.54 ~ = ~ 442620]

[eqn: rm P_n ~ = ~ P_o over { 1 `` + `` e over e_b left ( P_o over P_b ` - ` 1 right ) } ~ = ~ 442620 over { 1 `` + `` 12 over 20.9 left ( 442620 over 191480 ` - ` 1 right ) } ~ = ~ 253,000 ` kgf]

∴ [eqn: rm φ``P_n ~ = ~ 0.7 ` × ` 253`t ~ = ~ 177 ` t]

(2) Method 2 (Whitney's Approximate Solution)

[eqn: rm P_n ``= `` {f_y ` A_s ′ } over { e over {d` - ` d′ } + 0.5 } ` + ` { b` h ` f_ck } over {{ { 3 ` h ` e } over d^2 } + 1.18 }} ``= `` { 2400 `×` 19.27 } over { 12 over {45 - 5 } + 0.5 } ` + ` { 40`×` 50 `×` 210 } over { { { 3 `×`50`×`12 } over 45^2 } + 1.18 }}]

[eqn: rm = ~ 260818 `` kgf]

(3) Method 3 (Exact Solution: Trial and Adjustment)

∙  c 가정: c = 35cm ( > cb = 32.1 ) → a = β1c = 0.85 × 35 = 29.75

[eqn: rm f_s ′ = `` E_s ` ε_s ′ = `` E_s `×` 0.003 ` × ` { c `-`d′ }over c `` = `` 2000000` × ` 0.003 ` × ` { 35 ` - ` 5 } over 35 `` = `` 5143 `` > `` f_y ``= `` 2400]

∴ [eqn: rm f_s ′ ``=`` f_y `` = `` 2400 ` kgf/cm^2]

[eqn: rm f_s `` = `` E_s `×` 0.003 ` × ` { d `-`c }over c `` = `` 6000 ` × ` { 45 ` - ` 35 } over 35 `` = `` 1714 `kgf/cm^2 `` < `` f_y]

[eqn: rm P_n ~ = ~ C_c ` + ` C_s ` - ` T ~ = ~0.85 `` f_ck `` a `` b `` + `` A_s ′ f_y `` - `` A_s `` f_s]

[eqn: rm = ~ 0.85 ` × ` 210` × ` 29.75 ` × ` 40 `` + `` 19.27 ` × ` 2400 `` - `` 19.27 ` × ` 1714]

[eqn: rm = ~ 212415 `` + `` 46248 `` - `` 33029 ~ = ~ 225634 ` kgf]

[eqn: rm M_n ~ = ~ C_c ``(25 `- ` a over 2 ) `` + `` C_s ` × ` (25 ` - ` d′ ) `` + `` T ` × ` 20]

[eqn: rm = ~ 212415 ` × ` (25 ` - ` 29.75 over 2 ) `` + `` 46248 ` × ` 20 `` + `` 33029 ` × ` 20 ~ = ~ 3736242 `` kgf‧cm]

[eqn: rm e ~ = ~ M_n over p_n ~ = ~ 3736242 over 225634 ~ = ~ 16.56 `` cm ~≠ ~12`` cm]

∙  c = 40cm로 → a = 0.85 × 40 = 34 cm,  [eqn: rm f_s `` = `` 6000` × ` { 45 ` - ` 40 } over 40 `` = `` 750 `kgf/cm^2]

[eqn: rm P_n ~ = ~ 0.85 ` × ` 210` × ` 34 ` × ` 40 `` + `` 19.27 ` × ` 2400 `` - `` 19.27 ` × ` 750]

[eqn: rm = ~ 242760 `` + `` 46248 `` - `` 14453 ~ = ~ 274555 ` kgf]

[eqn: rm M_n ~ = ~ 242760 ` × ` (25 ` - ` 34 over 2 ) `` + `` 46248 ` × ` 20 `` + `` 14453 ` × ` 20 ~ = ~ 3156100 `` kgf‧cm]

[eqn: rm e ~ = ~ 3156100 over 274555 ~ = ~ 11.50 `` cm]

∙  c = 39.5cm로 → a = 0.85×39.5 = 33.58 cm, [eqn: rm f_s `` = `` 6000 `×` { 45 - 39.5 } over 39.5 `` = `` 835 `kg/cm^2]

[eqn: rm P_n ~ = ~ 0.85 ` × ` 210` × ` 33.58 ` × ` 40 `` + `` 19.27 ` × ` 2400 `` - `` 19.27 ` × ` 835]

[eqn: rm = ~ 239761 `` + `` 46248 `` - `` 16090 ~ = ~ 269919 ` kgf]

[eqn: rm M_n ~ = ~ 239761 ` × ` (25 ` - ` 33.58 over 2 ) `` + `` 46248 ` × ` 20 `` + `` 16090 ` × ` 20 ~ = ~ 3215198 `` kgf‧cm]

[eqn: rm e ~ = ~ 3215198 over 269919 ~ = ~ 11.91 `` cm ~ ≒ ~ 12 `` cm]

∴ [eqn: rm φ`` P_n ~ = ~ 0.7 `` × `` 269919 ~ = ~ 188943 `` kgf ~ = ~ 189 `` t]

[eqn: rm φ `` M_n ~ = ~ 0.7 `` × `` 3215198 ~ = ~ 2250640 `` kgf‧cm ~ = ~ 22.5 `` t‧m]

<3> e = 30 cm 일 때

e > eb = 20.9 ∴ 철근의 인장으로 지배(압축철근도 항복한다고 가정)

[eqn: rm P_n ~ = 0.85 `` f_ck `` a `` b `` + `` A_s ′ f_y `` - `` A_s `` f_y]   (1)

[eqn: rm M_n ~ = ~ P_n ‧e ~ = ~ 0.85 ` f_ck ` a ` b ` × ` (bar y ` - ` a over 2 )` + ` A_s ′ f_y` × `(bar y ` - ` d′) ` + ` A_s ` f_y ` × ` (d` - `bar y )]   (2)

∙ [eqn: rm P_n ‧ e ~ = ~ M_n]에서 a 값 구함

[eqn: rm (0.85`×`210`×`a`×`40 `` + `` 19.27` ×`2400 `` - `` 19.27` ×`2400 ) ``×`` 30]

[eqn: rm = ~ 0.85` ×` 210`×`a`×`40` (25 `-` a over 2 )`` + `` 19.27 ` × ` 2400`×` (25 `-` 5) `` + `` 19.27 ` × 2400 ` × ` (45 ` - ` 25 )]

[eqn: rm 214200``a ~ = ~ 178500 ` a `` - `` 3570 ` a^2 `` + `` 1849920]

[eqn: rm 3570 ` a^2 `` + `` 35700 ` a `` - `` 1849920 ~ = ~ 0]   ∴ [eqn: rm a ~ = ~ 18.31 ` cm]

∙ 압축철근 항복 검토 [eqn: rm c ~ = ~ a over beta_1 ~ = ~ 18.31 over 0.85 ~ = ~ 21.54 `cm]

[eqn: rm f_s ′ = `` E_s ` ε_s ′ = `` E_s `×` 0.003 ` × ` { c `-`d′ } over c `` = `` 6000` × ` { 21.54 ` - ` 5 } over 21.54 `` = `` 4607 `` > `` f_y]

∴ 압축철근도 항복 → a 값 그대로

(1),(2) → [eqn: rm P_n ~ = ~ 0.85`×`210`×`18.31`×`40 ~ = ~ 130733 ` kg]

[eqn: rm M_n ~ = ~ 130733` ×`(25 `-` 18.31 over 2 ) ` + ` 19.27 ` × ` 2400` × ` 20 ` + ` 19.27 ` × ` 2400 ` × ` 20]

[eqn: rm = ~ 2071464 ` + ` 924960 ` × ` 2 ~ = ~ 3921384 `` kg‧cm]

(또는 [eqn: rm M_n ~ = ~ P_n `×` e ~ = ~ 130733 ` × ` 30 ~ = ~ 3921990 `` kg‧cm])

∴ [eqn: rm φ``P_n ~ = ~ 0.7 ` × ` 130733 ~ = ~ 91513 `` kg ~ = ~ 91.5 `` t]

[eqn: rm φ `` M_n ~ = ~ 0.7 ` × ` 3921384 ~ = ~ 2744970 `` kg ~ = ~ 27.4 `` t‧m]

∙ [eqn: rm 0.1 `` f_ck ` A_g ~ = ~ 0.1 ` × ` 210 ` × ` 40 ` × ` 50 ~ = ~ 42000 ~ < ~ φ``P_n]  ∴ φ 값 그대로

<4> e = 60 cm 일 때

e > eb  ∴ 철근의 인장으로 지배(압축철근도 항복한다고 가정)

[eqn: rm P_n ~ = 0.85 `` f_ck `` a `` b `` + `` A_s ′ f_y `` - `` A_s `` f_y]   (1)

[eqn: rm M_n ~ = ~ P_n ‧e ~ = ~ 0.85 ` f_ck ` a ` b ` × ` (bar y ` - ` a over 2 )` + ` A_s ′ f_y` × `(bar y ` - ` d′) ` + ` A_s ` f_y ` × ` (d` - `bar y )]   (2)

∙ [eqn: rm P_n ‧ e ~ = ~ M_n] →

[eqn: rm (0.85`×`210`×`a`×`40 `` + `` 19.27` ×`2400 `` - `` 19.27` ×`2400 ) ``×`` 60]

[eqn: rm = ~ 0.85` ×` 210`×`a`×`40` (25 `-` a over 2 )`` + `` 19.27 ` × ` 2400`×` (25 `-` 5) `` + `` 19.27 ` × 2400 ` × ` (45 ` - ` 25 )]

[eqn: rm 428400``a ~ = ~ 178500 ` a `` - `` 3570 ` a^2 `` + `` 1849920]

[eqn: rm 3570 ` a^2 `` + `` 249900 ` a `` - `` 1849920 ~ = ~ 0]   ∴ [eqn: rm a ~ = ~ 6.75 ` cm]

∙ 압축철근 항복 검토 [eqn: rm c ~ = ~ a over beta_1 ~ = ~ 6.75 over 0.85 ~ = ~ 7.94 `cm]

[eqn: rm f_s ′ = `` 6000` × ` { 7.94 ` - ` 5 } over 7.94 `` = `` 2222 `` < `` f_y ~ = ~ 2400]

∙ 압축철근이 항복하지 않으므로

[eqn: rm P_n ~ = 0.85 `` f_ck `` a `` b `` + `` A_s ′]fs'[eqn: rm - `` A_s `` f_y]

[eqn: rm M_n ~ = ~ P_n ‧e ~ = ~ 0.85 ` f_ck ` a ` b ` × ` (bar y ` - ` a over 2 )` + ` A_s ′]fs'[eqn: rm × `(bar y ` - ` d′) ` + ` A_s ` f_y ` × ` (d` - `bar y )]

cf. [eqn: rm f_s `` = `` E_s `ε_s `` = `` E_s `×` 0.003 ` × ` { d `-`c }over c `` = `` 6000` × ` { 45 ` - ` 7.94 } over 7.94 `` = `` 28000`` > `` f_y]

e > eb이어서 철근의 인장으로 파괴가 지배되므로 σs > σy 되는 것은 당연함

∴ 검토할 필요 없음

∙  a, fs' 미지수:  c = 8.1cm로 가정 → a = 0.85 × 8.1 = 6.89 cm

[eqn: rm f_s ′ = `` 6000` × ` { 8.1 ` - ` 5 } over 8.1 `` = `` 2296]

[eqn: rm P_n ` = ` 0.85×210×6.89×40 `+` 19.27×2296` - `19.27×2400 ` = `49195+44244-46248 ` =` 47191 kgf]

[eqn: rm M_n ~ = ~ 49195 ` × ` (25 ` - ` 6.89 over 2 ) `` + `` 44244 ` × ` 20 `` + `` 46248 ` × ` 20 ~ = ~ 2870238 `` kgf‧cm]

[eqn: rm e ~ = ~ M_n over P_n ~ = ~ 2870238 over 47191 ~ = ~ 60.8 `` cm ~ ≒ ~ 60 `` cm]  O.K.

∴ [eqn: rm φ`` P_n ~ = ~ 0.7 `` × `` 47191 ~ = ~ 33030 `` kgf]

[eqn: rm φ `` M_n ~ = ~ 0.7 `` × `` 2870238 ~ = ~ 2009200 `` kgf‧cm``=``20.1t․m]

∙ [eqn: rm 0.1 `` f_ck ` A_g ~ = ~ 42000 ~ > ~ φ``P_n ~ = ~ 33030]  ∴ φ 값 보정

[eqn: rm φ `` = `` 0.85 `- `0.15 `× ` {φ`P_n} over {0.1 ` f_ck ` A_g } `` = ``0.85 ` - ` 0.15 ` × ` 33030 over 42000 `` = `` 0.73], [eqn: rm φ ` P_n `` = `` 0.73` × ` 47191 `` = `` 34545]

[eqn: rm φ~ = ~ 0.85 ``- ``0.15 ``× `` 34545 over 42000 ~ = ~ 0.73], [eqn: rm φ``P_n ~ = ~ 0.73 `` × `` 47191 ~= ~ 34450 ``kgf]

[eqn: rm φ~ = ~ 0.85 ``- ``0.15 ``× `` 34450 over 42000 ~ = ~ 0.73], ∴ [eqn: rm φ `` P_n ~ = ~ 34450 `` kgf ~ = ~ 34.5 `` t]

[eqn: rm φ `` M_n ~ = ~ 0.73 ` × ` 2870238 ~ = ~ 2095300 `` kgf‧cm ~ = ~ 21.0 `` t‧m]

9.6.3 압축과 휨을 받는 기둥(원형단면)

그림 9-12 나선철근 기둥의 근사해석(e < eb)

∙ 직사각형단면과 동일하게 진행

차이점 (1) 압축영역의 형태 : 활꼴

(2) 철근이 중립축에 평행하게 배치되지 않음

[1] e ≤ eb 일 때  → 등가직사각형기둥으로

(평형파괴 및 기둥강도가

conc 압축으로 지배되는 경우)

[eqn: rm A ~ = ~ A_s ′ = A_st over 2 , ~~d `` - `` d′ = ~ 2 over 3 h_s]

[eqn: rm t ~ = ~ 0.8`` h, ~~d ~ = ~ 0.4 `` h `` + `` h_s over 3 , ~~ bt ~ = ~ A_g]를 Whitney의 근사해법 식 (9.15)에 대입

[eqn: rm P_n ~ = ~ {A_st ``f_y } over {3e over h_s `` + `` 1 } `` + `` { A_g `` f_ck } over {{ 9.6 `` h `‧` e } over {( 0.8``h `` + `` 0.67 `` h_s )^2 }`` + `` 1.18 }]   (9.16)

그림 9-13 나선철근 기둥의 근사해석 (e > eb)

[2] e > eb 일 때(기둥 강도가 철근의 인장으로 지배되는 경우)

[eqn: rm A_s ~ = ~ A_s ′ = ~0.4 `` A_st , ~~d `` - `` d′ = ~0.75 `` h_s]

Aseg에 0.85fck의 응력이 고르게 작용한다고 가정

[eqn: rm P_n ~ = ~ 0.85 `` f_ck `` h^2 `` ×]   (9.19)

[eqn: rm left { sqrt { left ( {0.85 `` e } over h `` - `` 0.38 right )^2 `` + `` {rho_g `` m `` h_s } over {2.5 `` h } } `` - `` left ( {0.85 `` e } over h `` - `` 0.38 right ) `` right }]

여기서

[eqn: rm rho_g ~ = ~ A_st over A_g , ~~ m ~ = ~ f_y over {0.85 `` f_ck }]

예제 9.5) [eqn: rm P_D ` =` 39 t, `` P_L ` = ` 31 t , `` M_D ` = ` 4.7 t‧m , ``M_L ` = ` 4.0 t‧m]를 받는 나선철근 압축부재 설계

fck = 300kgf/cm2, fy = 4000kgf/cm2

☺ [eqn: rm P_u ~ = ~ 1.4 ` × ` 39 `` + `` 1.7 ` × ` 31 ~ = ~ 107.3 `` t], [eqn: rm P_n `` = `` P_u over φ ``=`` 107.3 over 0.75 ~ = ~ 143.1 `` t]

[eqn: rm M_u ~ = ~ 1.4 ` × ` 4.7 `` + `` 1.7 ` × ` 4 ~ = ~ 13.38 `` t‧m], [eqn: rm M_n ~ = ~ M_u over φ ~= ~ 13.38 over 0.75 ~ = ~ 17.84 ``t‧m]

[eqn: rm e ~ = ~ M_n over P_n ~= ~ 17.84 over 143.1 ~ = ~ 0.12 ``m]

⇒ 설계도표 이용

단면을 지름 h = 40cm 원형으로, 축방향철근 D25, 나선철근 D16, 피복두께 5cm

[eqn: rm gamma `h ~ = ~ 40 `` - `` (5 ` × ` 2 `` + ``1.59 ` × ` 2 `` + `` 2.54) ~ = ~ 24.3 `` cm ~>~20`cm]

∴ [eqn: rm gamma ~ = ~ 24.3 over 40 ~ = ~ 0.6]

[eqn: rm e over h ~ = ~ 12 over 40 ~ = ~ 0.30]

[eqn: rm A_g ~= ~ 1 over 4 times 3.14 times 40^2 ~=~ 1256``cm^2]

[eqn: rm {phi P_n } over A_g ~=~ 107,300 over 1256 ~=~ 85.4`` kgf/cm^2]

[eqn: rm {phi P_n } over A_g times e over h ~=~ {phi M_n } over {A_g h} ~=~ 1,338,000 over {1256 times 40} ~=~ 26.6`` kgf/cm^2]

아래의 도표로부터 [eqn: rm e over h ~=~ 0.30]  → [eqn: rm rho_g ~ = ~ 0.018]

∴ [eqn: rm A_st ~ = ~ rho_g `` A_g ~ = ~ 0.018 `×` 1256 ~ = ~ 22.61 `` cm^2]

이에 대해 6-D25 (30.4cm2)를 사용한다.  ¶(중심간격 및 나선철근비 검토 생략)

그림 9-14 나선철근 기둥의 설계강도 상관도

9.6.4 2축 휨을 받는 기둥 : 생략

9.7 장주

9.7.1 서론

∙ 단주와 장주의 파괴 : 단주 → 콘크리트 파쇄 또는 철근의 인장파괴, 장주 → 좌굴파괴

∙ 단주와 장주의 구분 : 세장비

• 장주의 해석상 분류 :

∙ 가로흔들이(sidesway)가 없는 경우 : bracing이 있는 라멘은 가로흔들이가 방지되어 있어 횡방향 상대변위가 일어나지 않는다.

∙ 가로흔들이(sidesway)가 있는 경우 : bracing이 없는 라멘은 가로흔들이로 인하여 횡방향 상대변위가 일어난다.

∙ 건물에서 횡방향 브레이싱 역할 : 전단벽, 엘리베이터 샤프트, 계단, 대각선 브레이싱 등

∙ 토목구조물은 거의 단주로 설계

9.7.2 기둥의 좌굴과 유효길이

∙ 중심축하중을 받는 장주의 좌굴하중(Euler 공식), 좌굴응력

[eqn: rm P_cr ``=``{ pi^2 `E`I} over {(k l )^2 }]    →   [eqn: rm f_c ``=``P_c over A ``=``{ pi^2 `E} over {left ( {k l } ``/`` r right )^2 }]                                   (9.23)

여기서 l = 기둥의 비지지 길이

kl/r = 세장비, kl = 기둥의 유효길이, k = 유효길이계수

• 좌굴하중과 세장비와의 관계

∙ 매우 짧은 기둥 : 좌굴하중 > 직접파쇄강도

∙ 한계 세장비 = (kl/r)lim

그림 9-19 중심축 하중과 세장비와의 관계

• 라멘의 좌굴거동

∙ 브레이싱이 있는 경우와 없는 경우

그림 9-20 라멘 부재의 좌굴

• 기둥 양단의 지지조건에 따른 좌굴 현상 : 기둥의 유효길이

→ text 그림 9-18 및 설명 참조

∙ 중심축하중을 받는 기둥의 강도는 세장비 kl/r의 증가에 따라 감소한다.

∙ 브레이싱에 의하여 가로흔들이가 방지된 기둥 또는 그러한 라멘의 기둥은 그 유효길이 kl, 즉 반곡점 사이의 거리는 구속도에 따라 l/2과 l 사이에 있다.

∙ 브레이싱이 없어서 가로흔들이가 방지되어 방지되어 있지 않은 기둥 또는 그러한 라멘의 부재의 유효길이 kl 은 l 보다 크다. 따라서 가로흔들이에 대한 브레이싱이 없는 라멘의 좌굴하중은 브레이싱이 있는 라멘의 좌굴하중보다 작다.

9.7.3 확대모멘트

• 축방향 하중 P와 모멘트 M을 받는 장주의 변형

그림 9-21 압축과 휨을 받는 장주

→ Mo에 의한 변형 : 점선

→ P에 의한 변형 추가 : 실선

∙ 장주가 Mo와 축하중 P를 같이 받는 경우(그림 a) 또는 수평하중 H와 축하중 P를 같이 받는 경우(그림 c)

→ 임의점의 모멘트 [eqn: rm M ~=~ M_o `+` P`y]

→ 위의 경우 최대 모멘트 [eqn: rm M_max ~=~ 1 over {1`-`P/P_c } M_o]                                     (9.24)

여기서 [eqn: rm 1 over {1`-`P/P_c }] : 모멘트 확대계수 (축방향력 P로 인해 확대되는 모멘트 크기)

• 일반적인 경우 모멘트 확대

[eqn: rm M_max ~=~ C_m over {1`-`P/P_c } M_o]                                                          (9.25)

∙ 모멘트 확대계수(가로흔들이가 방지된 부재)

[eqn: rm C_m ~ = ~ 0.6 `` + `` 0.4 ` × ` M_1 over M_2 ~ ge ~ 0.4]                                                   (9.26)

여기서 M1, M2 = 기둥부재 양단의 부재단모멘트(M1 < M2)

M1/M2의 부호: 단일만곡(+), 복만곡(-)

• 세장비와 모멘트의 관계

∙ 세장비가 커짐에 따라 M이 커진다.

결론 ① 휨부재에 축방향 압축력이 작용하면 추가 모멘트 Py를 일으키고, 그 크기는 kl/r이 커질수록 커진다.

• 축하중과 모멘트의 관계

∙ P가 커지는 비율보다 더 빠른 비율로 M이 커진다.

• 횡방향 브레이싱이 없는 라멘

∙ H만 작용할 때의 변형 : 점선 → 기둥 단부에서 모멘트 최대(그림 b)

∙ P가 작용할 때의 변형 추가 : 점선 → 기둥 단부에서 모멘트 최대(그림 c)

⇒ 결론 ② 가로흔들이가 방지되어 있지 않은 부재에서는 Mo 및 Py의 최대값은 양단에서 일어나며, 반곡점의 유무에 관계없이 합산할 수 있다.

→ 모멘트 확대가 커진다.

• 횡방향 브레이싱이 있는 라멘

∙ 수직하중만 받을 경우 Mo 및 Py의 최대값은 서로 다른 위치에서 일어난다.

→ 모멘트 확대가 작으며, 이것을 [eqn: rm C_m`]에 의해 정확하게 나타낼 수 있다.

⇒ 결론 ③ 가로흔들이가 방지된 부재가 단일곡률로 휘어지면 Mo 와 Py의 최대값은 같은 위치 또는 가까운 위치에서 일어나고, 이 두 모멘트는 합산할 수 있으므로 큰 모멘트 확대를 일으킨다. 모멘트 Mo가 하나의 변곡점이 생기도록 2중곡률을 일으키면 모멘트 확대는 작거나 또는 없다.

9.7.4 단주와 장주의 구분

• 단주에 대한 세장비 범위

∙ Braced frames(횡방향 상대변위가 없는 압축부재)

[eqn: rm { k``l_u } over r ~ <= ~ 34 `` - `` 12 `` M_1 over M_2]                                                             (9.27)

여기서 [eqn: rm M_1 over M_2 ~>=~ -0.5]

∙ Unbraced frames(횡방향 상대변위가 있는 압축부재)

[eqn: rm { k``l_u } over r ~ < ~ 22]                                                                        (9.28)

여기서, k = 기둥의 유효길이계수, (횡방향 상대변위가 없는 라멘의 기둥 : k = 1.0)

[eqn: rm r ~ = ~ sqrt { I_g over A_g }] (직사각형: r = 0.3h, 원형: r = 0.25h)

lu = 비지지길이

M1, M2 = 기둥부재 양단의 부재단모멘트(M1 < M2),	M1/M2의 부호: 단일만곡(+), 복만곡(-)

9.7.5 횡방향 상대변위에 대한 안정지수

∙ brace가 sway effect에 대하여 라멘을 구속하는 데 적절한가를 결정해 주는 지수

• 안정지수(stability index)

[eqn: rm Q ~=~ {SUM P_u ``DELTA_0 } over {V_u `{it l}_c }]                                                                   (9.29)

여기서 [eqn: rm SUM P_u] : 계수 수직하중의 합계

[eqn: rm V_u] : 같은 층의 계수 전단력

[eqn: rm DELTA_0] : [eqn: rm V_u]로 인한 그 층의 상부와 바닥 사이의 제1계 상대처짐

[eqn: l_c] : 라멘 절점의 중심과 중심 사이에서 측정된 압축부재의 길이

⇒ if Q ≤ 0.05 : 그 층은 횡방향 상대변위가 없는 것으로 본다.

∙ [eqn: rm SUM P_u]는 그 값을 최대로 하게 하는 횡방향 하중에 의하여 계산

→ [eqn: rm V_u] = 0의 경우는 포함되지 않는다.

→ 대개의 경우 풍하중, 지진, 토압에 대한 하중조합을 포함한다.(표 4-4 참조)

∙ 안정지수 Q는 P/Pc의 비와 거의 같다. 따라서 식 (9.24)의 [eqn: rm 1 over {1``-``P `/` P_c }] 대신 [eqn: rm 1 over {1``-``Q }]를 대입하고 [eqn: rm Q``=``0.05]로 보면 → [eqn: rm M_max ``=``1.05`M_o]로 된다.

∙ Q 계산에 사용되는 라멘부재의 단면 성질은 축방향하중의 영향 고려, 부재 길이에 따른 균열구역과 재하기간도 고려

∙ E → [eqn: rm E_c] 사용

∙ A → [eqn: rm A_g] 사용 ([eqn: rm A_g], [eqn: rm I_g] : 철근을 무시한 총단면에 대해 계산)

∙ I 값 : 보 → 0.35[eqn: rm I_g],    기둥 → 0.70[eqn: rm I_g],    벽체(비균열) → 0.70[eqn: rm I_g],

벽체(균열) → 0.35[eqn: rm I_g],     평판과 플랫슬래브 → 0.25[eqn: rm I_g]

∙ 횡방향 지속하중이 작용할 때 또는 안정검사를 할 때 I 는 [eqn: rm (1``+``beta_d )]로 난눈 값 사용

→ [eqn: rm beta_d]는 크리프의 영향을 고려한 값

[eqn: rm β_d ~ = ~ {한~층의~최대~계수~지속~전단력} over {그~층의~계수~전단력의~합계} left ( =``{max. ~factored ~ sustained ~ shear } over {total ~factored ~ shear } right )]

∙ [eqn: rm DELTA_0]를 계산할 때에도 위의 [eqn: rm beta_d] 사용.

∙ T형 단면의 [eqn: rm I_g]는 복부에 대한 [eqn: rm I_g]의 2배 사용

9.7.6 횡방향 상대변위가 없는 라멘의 모멘트 확대법

• 장주의 재하 용량

그림 9-26 세장의 영향에 따른 재하용량

∙ 기둥이 충분히 짧아서 모멘트 확대를 무시할 수 있다면 → 단면의 강도 = [eqn: rm A(P_ns , ``M_ns )], [eqn: rm M_ns ``=``P_ns `cdot `e_o]

∙ 기둥이 충분히 길어서 P의 증가와 더불어 모멘트 확대가 일어난다면 → [eqn: rm B(P_nl , ``M_nl )],

⇒[eqn: rm P_nl] : 단모멘트 [eqn: rm M_o]에 해당하는 단주의 축하중

([eqn: rm M_o ``=``P_nl `cdot `e_0])

⇒[eqn: rm M_nl ``=`` M_max ``=`` C_m over {1`-`P/P_c } M_o]

(양단에서 단부의 편심이 같은 경우 [eqn: rm C_m ``=``1])

• 횡방향 상대변위가 방지된 라멘에서 계수축하중 [eqn: rm P_u]와 함께 작용하는 확대모멘트

[eqn: rm M_c ~ = ~ delta_ns `` M_2]                               (9.30)

∙ [eqn: rm delta_ns] = 모멘트 확대계수 : 장주의 용량 감소의 영향을 모멘트확대계수를 사용하여 얻는다.

[eqn: rm delta_ns ~ = ~ C_m over { 1 `` - `` P_u `` / `` 0.75 ``P_c } ~ ge ~ 1]    (9.31)

그림 9-27 장주에 대한 Cm의 값

여기서 0.75 : [eqn: rm P_c]에 대한 여유를 위한 강도감소계수

→ 임계하중 :	[eqn: rm P_c ``=``{ pi^2 `` E``I } over { (k ` l_u )^2 }]             (9.32)

→ [eqn: rm C_m ~ = ~ 0.6 `` + `` 0.4 ` × ` M_1 over M_2 ~ ge ~ 0.4]        (9.26)

∙ 거의 중심축하중을 받는 기둥의 경우 세장비의 증가는 기둥강도의 감소를 가져 온다. 따라서 [eqn: rm M_2]는 다음 값 이상

[eqn: rm M_{2,min} ``=``P_n `(1.5 ``+``0.03`h)]         (9.33)

여기서 h는 cm 단위

→ [eqn: rm M_{2,min} ~>~M_2]인 부재에 대한 [eqn: rm C_m] : 1과 같게 취하거나 또는 계산된 [eqn: rm M_1 `/`M_2]에 기초해서 구함

∙ 휨강성 EI

[eqn: rm E``I ~ = ~ { 0.2`E_c `` I_g `` + `` E_s `` I_se } over {1 `` + `` β_d }]   (9.34)

또는 [eqn: rm E``I ~ = ~ { 0.4 `E_c `` I_g } over {1 `` + `` β_d }]                         (9.35)

[eqn: rm I_se] : 단면의 중심축에 대한 철근의 단면2차모멘트

[eqn: rm β_d ~ = ~ {최대~계수~축방향~사하중} over {계수~축방향~하중의~합계} ``left (=``{max. ~factored ~axial~ dead ~ load} over {total ~factored ~axial ~load } right )]

∙ 유효길이 계수 k : 단부 회전에 대한 구속도에 따라 다르다.

단부구속도 [eqn: rm psi ``=``{SUM` (기둥의 ~EI`/`it l `)} over {SUM` (바닥부재의 ~EI`/`it l `)}]

→ k 값의 직접 계산

• 횡방향 상대변위가 방지된 라멘의 해석과 설계 순서

(1) 라멘의 1차 탄성해석에 의하여 계수축하중 [eqn: rm P_u]와 모멘트 [eqn: rm M_u (=``M_2 )]를 구하고, 기둥의 단면 선정. 단주로 가정하고 9.6절의 절차를 따른다.

(2) 9.7.4(단주와 장주의 구분) 항에 따라 라멘의 상대변위의 유무를 판단한다.

(3) 기둥의 비지지길이 [eqn: l_u]를 구한다.

(4) 가정한 기둥에 대하여 [eqn: rm k``=``1.0]으로 보고 9.7.4 항에 의하여 세장의 영향 유무를 검사한다.

(5) 세장의 영향이 있다면 부재강성 [eqn: rm EI/it l`]에 따라 그림 9-28(a)에 근거한 k 와, 가정한 부재치수에 근거한 회전구속계수 [eqn: rm psi`]를 다시 계산해 본다. 그리고 세장의 기준에 대하여 검사한다.

(6) 라멘 해석에서 얻은 모멘트가 작으면, 식 (9.33)으로부터 얻어지는 최소모멘트로 지배되는가를 검토해야 한다.

(7) 식 (9.26)에 의해 등가 등분포 모멘트계수 [eqn: rm C_m]을 계산한다.

(8) 가정한 기둥에 대하여 식 (9.34) 또는 식 (9.35)로 EI를 계산하고, 식 (9.32)로 [eqn: rm P_c]를 계산한다.

(9) 식 (9.31)로 모멘트확대계수 [eqn: rm delta_ns]를 계산하고, 식 (9.30)으로 확대모멘트 [eqn: rm M_c]를 계산한다.

(10) 부록 D의 기둥설계도표를 사용하여 축하중 및 확대모멘트에 저항하기 위한 기둥의 타당성을 검토한다. 필요하다면 기둥 단면 또는 철근을 수정한다.

(11) 기둥차수를 변경해야 한다면, 새 단면에 대한 [eqn: rm k`], [eqn: rm psi`] 및 [eqn: rm P_c `]의 계산을 반복한다. 수정된 모멘트확대계수를 결정하고 새 설계의 타당성을 검사한다.

예제 9.7) 장주의 설계 : C3 기둥을 설계하라

∙ 구조 : 연직의 사하중과 활하중을 받는 라멘(가로흔들이가 방지되어 있다)

∙ 기둥의 순높이(비지지길이) = 4m

∙ 보의 단면 : [eqn: rm b``=``120`cm`], [eqn: rm h``=``30`cm`]

∙ 기둥 단면 : (내측) [eqn: rm 46`cm `times` 46`cm],

(외측) [eqn: rm 41`cm `times` 41`cm]

∙ 그림에서 최대 부재력은 기둥 C3에서

	사하중	활하중
P	104.3t	78.5t
[eqn: rm M_2]	0.28t․m	15t․m
[eqn: rm M_1]	-0.28t․m	14t․m

∙ 곡률 : 사하중만으로는 2중곡률, 활하중으로는 단일곡률

∙ [eqn: rm f_ck ``=``280`kgf/cm^2`], [eqn: rm f_y ``=``4000`kgf/cm^2`]

☺ 세장의 영향이 없다고 가정하고 일단 단주로 설계

∙ 계수하중

[eqn: rm P_u ``=``1.4 times 104.3 ``+`` 1.7 times 78.5 ``=``279.5`t]

[eqn: rm M_u ``=``1.4 times 0.28 ``+`` 1.7 times 15 ``=``25.9``t․m]

∙ C3 기둥 단면([eqn: rm 46`cm `times` 46`cm])에 축방향철근 D32, 띠철근 D10, 피복두께 4cm로 하면

[eqn: rm gamma `h ~ = ~ 46 `` - `` (4 ` times ` 2 `` + ``0.953 `times ` 2 `` + `` 3.18) ~ = ~ 32.9 `` cm]

∴ [eqn: rm gamma ~ = ~ 32.9 over 46 ~ = ~ 0.72]

[eqn: rm {P_u } over A_g ~=~ 279,500 over {46 times 46} ~=~ 132`` kgf/cm^2]

[eqn: rm {P_u } over A_g times e over h ~=~ {M_u } over {A_g `h} ~=~ 2,590,000 over {(46 times 46) times 46} ~=~ 27`` kgf/cm^2]

∙ 아래의 기둥강도 상관도로부터  → [eqn: rm rho_g ~ = ~ 0.02]

(위의 그림은 [eqn: rm gamma``=``0.75]에 대한 상관도이다. [eqn: rm gamma``=``0.72]에 대한 것은 [eqn: rm gamma``=``0.70]과 [eqn: rm gamma``=``0.80]의 상관도를 이용하여 보간법에 의해 수정해야 하지만, 편의상 그대로 사용)

∙ 세장의 영향 검사

let k = 1.0

[eqn: rm kl_u over r ``=``{1.0 times 400} over {0.3 times 46} ``=``29]

→ 횡방향 상대변위가 없는 압축부재 : 식 (9.27)

[eqn: rm { k``l_u } over r ~ <= ~ 34 `` - `` 12 `` M_1 over M_2]이면 단주, 여기서 [eqn: rm M_1 over M_2 ~>=~ -0.5]

[eqn: rm M_1 over M_2 ``=``{1.4 times (-0.28) `+` 1.7 times 14 } over {1.4 times 0.28 `+` 1.7 times 15 } ``=``0.904 ~>=~ -0.5 ~~~~~OK]

[eqn: rm 34 `` - `` 12 `` M_1 over M_2 ``=``34`-`12 times 0.904 ``=``23.2 ~~<=~~ { k``l_u } over r ``=``29]   ∴ 장주 → 정밀한 k값 필요

∙ 유효길이계수 k (그림 9-28 사용)

→ [eqn: rm psi`]의 계산

기둥의 단면2차모멘트 [eqn: rm I_c ``=``0.7`I_g ``=``0.7 times {46 times 46^3 } over 12 ``=``261,200`cm^4]

∴ [eqn: rm I_c over {it l}_c ``=``261,200 over {400+30} ``=``607`cm^3]

보의 단면2차모멘트 (T형 단면의 경우 [eqn: rm I_g]는 복부 총단면에 대한 값의 2배)

[eqn: rm I_b ``=``0.35`I_g ``=``0.35 times 2 times {120 times 30^3 } over 12 ``=``189,000`cm^4]

∴ [eqn: rm I_b over {it l}_b ``=``189,000 over 730 ``=``259`cm^3]

기둥 C3 상하단의 강성비(회전구속계수)

[eqn: rm psi_A ``=``psi_B ``=``{SUM`(E`I_c `/`{it l}_c )} over {SUM`(E`I_b `/`{it l}_b )} ``=``{SUM`(I_c `/`{it l}_c )} over {SUM`(I_b `/`{it l}_b )} ``=``{607 `+`607} over {259`+`259} ``=``2.34]

→ 그림 9-28a에서 k = 0.87

∙ 세장비 : [eqn: rm kl_u over r ``=``{0.87 times 400} over {0.3 times 46} ``=``25.2 ~>~ 22]     ⇒    장주로 설계

∙ [eqn: rm C_m`]의 계산

[eqn: rm M_1 ``=``1.4 times (-0.28) `+` 1.7 times 14 ``=``23.4 `t․m]

[eqn: rm M_2 ``=``1.4 times 0.28 `+` 1.7 times 15 ``=``25.9 `t․m]

최소모멘트(식 9.33)

[eqn: rm M_{2,min} ``=``P_n `(1.5 ``+``0.03`h) ``=``279.5 `(1.5``+``0.03 times 46) ``=``811`t․cm ``=``8.1`t․m ~<~M_2]

∴ 위의 [eqn: rm M_2`]값 사용

식 (9.26) : [eqn: rm C_m ~ = ~ 0.6 `` + `` 0.4 ` × ` M_1 over M_2 ``=``0.6`+`0.4 times 23.4 over 25.9 ``=``0.96~ ge ~ 0.4 ~~~OK]

∙ EI의 계산

[eqn: rm β_d ~ = ~ {한~층의~최대~계수~지속~전단력} over {그~층의~계수~전단력의~합계} ``=``{1.4 times 104.3} over {1.4 times 104.3 `+`1.7 times 78.5 } ``=``0.52]

식 (9.35) : [eqn: rm E``I ~ = ~ { 0.4 `E_c `` I_g } over {1 `` + `` β_d } ``=``{0.4 times 15,000`sqrt 280 times {46 times 46^3 } over 12 } over {1`+`0.52 } ``=``246 times 10^8 `kgf․cm^2]

∙ 좌굴하중 및 모멘트 확대계수

식 (9.32) : [eqn: rm P_c ``=``{ pi^2 `` E``I } over { (k ` l_u )^2 } ``=``{3.14^2 times 246 times 10^8 } over {0.87 times 400}^2 ``=``2,004,600`kgf ``=``2004.6`t]

식 (9.31) : [eqn: rm delta_ns ~ = ~ C_m over { 1 `` - `` P_u `` / `` 0.75 ``P_c } ``=``0.96 over {1`-`279.5`/`(0.75 times 2004.6) } ``=``1.18 ~ ge ~ 1 ~~OK]

∙ 확대모멘트 : 식 (9.30) : [eqn: rm M_c ~ = ~ delta_ns `` M_2 ``=``1.18 times 25.9 ``=``30.56 `t․m]

∙ 기둥상관도(그림 9-30)에서

[eqn: rm {P_u } over A_g ~=~ 279,500 over {46 times 46} ~=~ 132`` kgf/cm^2]

[eqn: rm {M_u } over {A_g `h} ~=~ 3,056,000 over {(46 times 46) times 46} ~=~ 31`` kgf/cm^2]

⇒ 그림에서 [eqn: rm rho_g ``=``0.026]

→ [eqn: rm A_st ``=``rho_g `A_g ``=``0.026 times (46 times 46) ``=``55.02`cm^2]

⇒ 4-D32, 4-D29, D10 사용

9.7.7 횡방향 상대변위가 있는 라멘의 모멘트 확대법

• 기둥 상하단의 모멘트(브레이스 되어 있지 않은 라멘) : 단모멘트가 기둥의 최대모멘트일 때

[eqn: rm M_1 ``=``M_1ns ``+``delta_s `M_1s]                                                           (9.36)

[eqn: rm M_2 ``=``M_2ns ``+``delta_s `M_2s]                                                           (9.37)

여기서 [eqn: rm M_1 ~<~ M_2]

[eqn: rm M_1ns , ~M_2ns] : 라멘의 1차탄성해석에 의한 가로흔들이를 일으키지 않는 하중에 의한 계수모멘트

[eqn: rm M_1s , ~M_2s] : 라멘의 1차탄성해석에 의한 가로흔들이를 일으키는 하중에 의한 계수모멘트

[eqn: rm delta_s] : 횡하중과 연직하중으로 인한 횡방향변위 반영,

가로흔들이가 방지되어 있지 않은 라멘에서의 모멘트 확대 계수

• [eqn: rm delta_s `M_2s]와[eqn: rm delta_s `M_2s]의 계산

(방법1) 9.7.5 항에 주어진 부재강도에 근거한 2차 탄성해석을 사용하여 기둥의 단모멘트 계산

(방법2) 다음 식 이용

[eqn: rm delta_s `M_s ``=``M_s over {1``-``Q} ~>=~M_s]                                                           (9.38)

여기서 Q = 안정지수(식 9.29) : 단, [eqn: rm delta_s `left ( `=``1 over {1`-`Q} right ) ~<= ~1.5]

만약 [eqn: rm delta_s ~>~1.5]이면 위의 (방법1) 또는 (방법3)으로 계산

(방법3) 다른 식

[eqn: rm delta_s `M_s ``=``M_s over {1``-``SUM`P_u `/`0.75`SUM`P_c } ~>=~M_s]                                           (9.39)

여기서 [eqn: rm SUM`P_u] : 생각하고 있는 층에서 모든 기둥의 축하중의 합계

[eqn: rm SUM `P_c] : 같은 층에서 모든 기둥의 좌굴하중의 합계

0.75 : 좌굴하중 [eqn: rm P_c`]의 여유있는 추정을 위한 강도감소계수

[eqn: rm P_c `] : 브레이싱 없는 라멘에 대한 유효길이계수 k를 사용하여 식 (9.32)로 계산

[eqn: rm EI`] : 식 (9.34) 또는 (9.35)로 계산

• 단모멘트가 기둥의 최대모멘트가 아닐 경우 : 즉, [eqn: rm {it l}_u over r ~>~ 35 over sqrt{P_u over {f_ck `A_g}}]일 때                   (9.40)

⇒ 식 (9.36), (9.37)의 [eqn: rm M_1], [eqn: rm M_2]를 가지고, 브레이싱 있는 기둥으로 보고 식 (9.30) 이용

• 브레이싱 없는 라멘에 연직하중만 작용할 때, 층의 횡방향좌굴을 방지하기 위한 규정

(1) [eqn: rm delta_s `M_s`]를 2차탄성해석에 의해 계산할 때는 [eqn: rm (1.4`D``+``1.7`L)]과 횡방향 하중의 합계하에서 일어나는 1차 횡방향처짐에 대한 2차 횡방향처짐의 비가 2.5를 초과하지 않아야 한다.

(2) [eqn: rm delta_s `M_s`]를 식 (9.38)로 계산할 때는 [eqn: rm (1.4`D``+``1.7`L)]에 의한 [eqn: rm SUM`P_u]를 사용하여 계산한 Q값이 0.60을 초과하지 않아야 한다. (이것은 [eqn: rm delta_s ``=``1 over {1`-`Q} ``=``2.5]에 해당한다.)

(3) [eqn: rm delta_s `M_s`]를 식 (9.39)로 계산할 때는 [eqn: rm (1.4`D``+``1.7`L)]에 해당하는 [eqn: rm SUM`P_u]와 [eqn: rm SUM`P_c]를 사용하여 계산한 [eqn: rm delta_s`]는 정(+)이어야 하고, 또 2.5를 초과하지 않아야 한다.

예제 9-8) 예제 9-7의 라멘에서 횡방향 상대변위가 방지되어 있지 않은 경우. (단면치수 : 그림 9-29)

∙ 철근 : 내측기둥(46cm×46cm) → 4-D35 및 4-D32, 외측기둥(41cm×41cm) → 8-D29

∙ 하중 : 연직하중, 활하중, 풍하중

∙ 3층에 대한 라멘의 1계 탄성해석 결과(9.7.5항에서 주어진 E, I 사용)

	기둥 A3, F3	기둥 B3, E3	기둥 C3, D3
[eqn: rm P_D `]	52 t	104 t	104 t
[eqn: rm P_L `]	40 t	78 t	78 t
[eqn: rm P_W `]	± 13.6 t	± 8.1 t	± 2.7 t
[eqn: rm V_W `]	24.5 t	4.5 t	5 t
[eqn: rm M_2D `]			0.28 t․m
[eqn: rm M_2L `]			15 t․m
[eqn: rm M_2W `]			± 11.7 t․m
[eqn: rm M_1D `]			- 0.28 t․m
[eqn: rm M_1L `]			14 t․m
[eqn: rm M_1W`]			± 9.6 t․m

∙ 총 풍하중전단력 [eqn: rm V_W ``=``24.5`t]하에서 3층의 횡방향 상대처짐은 1.9cm이다.

⇒ 좌굴하중 상태에 대하여 기둥 C3를 설계하라. [eqn: rm f_ck ``=``280`kgf`/`cm^2 `], [eqn: rm f_y ``=``4000`kgf`/`cm^2 `]이다.

☺ 횡변위 있는 라멘으로서의 해석이 필요한지 검사

∙ 계수전단력([eqn: rm V_u ``=``0.75 times (1.7 times V_W ) ``=``0.75 times 1.7 times 24.5 ``=``31`t])으로 인한 횡방향처짐

[eqn: rm DELTA_o ``=``0.75 times 1.7 times 1.9 ``=``2.4`cm]

∙ 3층의 총 계수축하중

⇒ 기둥 A3, F3 : [eqn: rm P_u ``=``0.75(1.4D`+`1.7L)``=``0.75 (1.4 times 52 `+`1.7 times 40) ``=``105.6`t]

⇒ 기둥 B3, C3, D3, E3 : [eqn: rm P_u ``=``0.75 (1.4 times 104 `+`1.7 times 78) ``=``208.65`t]

∴ [eqn: rm SUM `P_u ``=``2 times 105.6 `+` 4 times 208.65 ``=``1046`t]

∙ 안정지수 : 식 (9.29) [eqn: rm Q ~=~ {SUM P_u ``DELTA_0 } over {V_u `{it l}_c } ``=``{1046 times 2.4 } over {31 times 430} ``=``0.19 ~> ~0.05]

∴ 횡변위 있는 라멘으로 해석 필요

(1) 연직하중이 작용하는 경우 : 예제 9-7에서 취급

(2) 연직하중과 풍하중이 작용하는 경우

∙ 고려할 하중조합

[eqn: rm U``=``0.75`(1.4D`+`1.7L`+`1.7W)] … ①

[eqn: rm U``=``(0.9D`+`1.3W)] … ②

→ 그런데, 기둥 C3에 대하여 풍하중에 의한 상양력이 사하중에 비해 매우 작기 때문에 ②는 생략

∙ 장주 판단

예제 9-7에서 [eqn: rm psi_A ``=``psi_B ``=``2.34] → 그림 9-28(b)에서 k=1.68

→ [eqn: rm kl_u over r ``=``{1.68 times 400} over {0.3 times 46} ``=``48.7 ~>~22]   ∴ 장주로 설계

• 횡변위를 일으키지 않는 하중에 의한 계수 단모멘트(기둥 C3에 대하여)

[eqn: rm M_1ns ``=``0.75 [1.4 times (-0.28) `+`1.7 times 14] ``=``17.56`t․m]

[eqn: rm M_2ns ``=``0.75 [1.4 times 0.28 `+`1.7 times 15] ``=``19.42`t․m]

• 횡변위 영향

[eqn: rm M_1s ``=``0.75 [1.7 times (-9.6)] ``=``-`12.24`t․m]

[eqn: rm M_2s ``=``0.75 [1.7 times 11.7] ``=``14.92`t․m]

• 확대 횡변위모멘트 : [eqn: rm delta_s `M_s`] : 식 (9.38)과 식 (9.39) 두가지로 계산

<1> 식 (9.38) 이용

[eqn: rm delta_s `M_1s ``=``M_1s over {1``-``Q}``=``-12.24 over {1`-`0.19} ``=``-`15.11`t․m]

[eqn: rm delta_s `M_2s ``=``M_2s over {1``-``Q}``=``14.92 over {1`-`0.19} ``=``18.42`t․m]

<2> 식 (9.39) 이용

∙ 외측기둥(A3, F3)의 좌굴하중

→ 강성비, 유효길이계수

기둥 : [eqn: rm I_c ``=``0.7`I_g ``=``0.7 times {41 times 41^3 } over 12 ``=``164,836`cm^4], [eqn: rm I_c over {it l}_c ``=``164,836 over 430 ``=``383`cm^3]

보 : (예제 9-7에서) [eqn: rm I_b over {it l}_b ``=``259`cm^3]

[eqn: rm psi_A ``=``psi_B ``=``{SUM`(E`I_c `/`{it l}_c )} over {SUM`(E`I_b `/`{it l}_b )} ``=``{SUM`(I_c `/`{it l}_c )} over {SUM`(I_b `/`{it l}_b )} ``=``{383 `+`383} over {259} ``=``2.96]

그림 9-28(b)에서 k = 1.82, 풍하중에 대해 [eqn: rm beta_d ``=``0]

→ EI : 식 (9.34) 이용

[eqn: rm E_c ``=``15,000`sqrt 280 ``=``250,500`kgf`/`cm^2], [eqn: rm E_s ``=``2,000,000`kgf`/`cm^2]

철근 8-D29를 피복두께 4cm로 하여 기둥단면 둘레에 등간격으로 배치

[eqn: rm I_se ``=``6.424 times 6 times 14.1^2 ``=``7654`cm^4]

[eqn: rm E``I ~ = ~ { 0.2`E_c `` I_g `` + `` E_s `` I_se } over {1 `` + `` β_d } ``=``{0.2 times 250,500 times {41 times 41^3 } over 12 ``+``2,000,000 times 7654} over {1`+`0}]

[eqn: rm =``27.1 times 10^9 kgf․cm^2]

→ 좌굴하중 : [eqn: rm P_c ``=``{ pi^2 `` E``I } over { (k ` l_u )^2 } ``=``{3.14^2 times 27.1 times 10^9 } over { (1.82 times 400)^2 } ``=``504,000`kgf]

∙ 내측기둥(B3, C3, D3, E3)의 좌굴하중

→ 강성비, 유효길이계수 : 예제 9-7에서 [eqn: rm psi_A ``=``psi_B ``=``2.34], 그림 9-28(b)에서 k = 1.68

→ EI : [eqn: rm I_se ``=``9.566 times 4 times 16.3^2 ``+``7.942 times 2 times 16.5^2 ``=``14,490 `cm^4]

[eqn: rm E``I ~ = ``{0.2 times 250,500 times {46 times 46^3 } over 12 ``+``2,000,000 times 14,490} over {1`+`0} ``=``47.67 times 10^9 `kgf․cm^2]

→ 좌굴하중 : [eqn: rm P_c ``=``{ pi^2 `` E``I } over { (k ` l_u )^2 } ``=``{3.14^2 times 47.67 times 10^9 } over { (1.68 times 400)^2 } ``=``1,040,800`kgf]

∙ 3층에서 축하중 합계

[eqn: rm SUM `P_c ``=``2 times 504 `+` 4 times 1,040.8 ``=``5171`t]

∙ 식 (9.39)에 의한 C3 상하단의 확대모멘트

[eqn: rm delta_s `M_1s ``=``M_1s over {1``-``SUM`P_u `/`0.75`SUM`P_c }``=``-12.24 over {1`-`1046`/`0.75 times 5171}``=``-`16.8`t․m ~>=~15.11`t․m]

[eqn: rm delta_s `M_2s ``=``14.92 over {1`-`1046`/`0.75 times 5171}``=``20.4`t․m ~>=~18.42`t․m]

∙ 작은 값 이용(식 9.38)

• 총 확대모멘트

[eqn: rm M_1 ``=``M_1ns ``+``delta_s `M_1s ``=``17.56 `+`(-`15.11) ``=``2.45`t․m]

[eqn: rm M_2 ``=``M_2ns ``+``delta_s `M_2s ``=``19.42 `+`18.42 ``=``37.84 `t․m]

• 풍하중 고려 : [eqn: rm 0.75 times 1.7 `P_W ``=``0.75 times 1.7 times 2.7 ``=``3.44`t]

[eqn: rm P_u ``=``208.65 ``+``3.44 ``=``212.1`t~]

[eqn: rm {P_u } over A_g ~=~ 212,100 over {46 times 46} ~=~ 100`` kgf/cm^2]

[eqn: rm {M_u } over {A_g `h} ~=~ 3,784,000 over {(46 times 46) times 46} ~=~ 39`` kgf/cm^2]

⇒ 그림 9-30에서 [eqn: rm rho_g ``=``0.031]

→ [eqn: rm A_st ``=``rho_g `A_g ``=``0.031 times (46 times 46) ``=``65.60`cm^2]

⇒ 4-D35를 네귀에, 4-D32를 그 중간에 넣어, 8개 철근을 단면의 네 변에 등간격으로 배치

※ 완전한 설계를 위하여 다음의 두가지를 더 검토

(1) 식 (9.40)이 성립될 경우 확대모멘트를 다시 계산

[eqn: rm left [ {it l}_u over r ``=``400 over {0.3 times 46} ``=``29 right ] ~~<~~ left [ 35 over sqrt{P_u over {f_ck `A_g}} ``=``35 over sqrt {212,100 over {280 times 46^2 }}``=``58.3 right ]]

식 (9.40)이 성립되지 않으므로 설계 만족

(2) 연직하중하에서 전체 층의 횡방향 변위에 대한 불안정이 방지되어 있는지 검토

→ 식 (9.29)로 계산된 안정지수 Q가 0.2를 초과하지 않면 만족한다.

Q=0.19이므로 3층에 대한 안정검토는 만족