제 6 장 전단과 비틀림

Reinforced Concrete

Structural Eng. Lab., Dept. of Civil. Eng, Taegu Univ.

6.1 서 론

휨에 대하여 안전하도록 설계된 철근 콘크리트 보 → 전단력이 크게 작용 → 사인장 균열 발생

: 돌발적인 파괴 발생 → 전단파괴가 일어나지 않도록 설계 필요.

6.2 사인장 응력

[eqn: &f_1``=``{f}over{2}``+`` SQRT { left({f}over{2}right)^2``+``v^2`} `## &f_2``=``{f}over{2}``-`` SQRT { left({f}over{2}right)^2``+``v^2`} `## &tan 2theta``=``-{2`v}over{f}`]

(6․1)

[eqn: f_1`] : 주인장 응력, [eqn: f_2`] : 주 압축응력, [eqn: theta`] : 주응력면의 기울기

• 중립면 내에서의 주응력 및 주응력면의 기울기

그림 6-1(a)에서 중립축 내의 미소 요소 A에서 [eqn: f``=``0`,``v``=``v_max`]

[eqn: f_1``=``v``=``v_max,``~~f_2``=``-v``=``-v_max`]

[eqn: &tan`2theta``=``-{2v}over{f}``=``-{2v_max}over{0}``=``-∞`## &2theta``=``90°~~or~~270°`## &∴``theta``=``45°~~or~~135°`]

→ 그림 6-1(b) 및 (d)

⇒ 주인장응력의 크기가 전단응력 [eqn: v`]와 같아서 전단응력, 보의 축에 대하여 45°의 경사로 작용 → 사인장 응력(diagonal tension stress)

• 인장측의 정사각형 요소 B

→ 주 인장응력 [eqn: f_1`]은 주 압축응력 [eqn: f_2`]보다 절대값이 커지고,

→ 콘크리트에 인장균열이 발생하면 [eqn: f``=``0`] ∴ A의 경우와 같게 된다.

⇒ 인장측에 일어나는 주응력의 크기 = 전단응력, 보의 축에 대하여 45°의 경사로 작용.

※ 그림 6-1(d)에서 주 압축응력 [eqn: f_2`(=``-v`)`]는 콘크리트가 충분히 수용

그러나 여기에 직각으로 작용하는 주 인장응력[eqn: f_1`(=``v`)`] : 지점부의 사인장(斜引張)균열의 원인

⇒ 주 인장응력은 크기가 전단응력 [eqn: v`]와 같아 전단응력, 보의 축에 대해 45°의 경사로 작용해서 사인장 응력(diagonal tension stress)라 한다.

c.f) 1. 사인장응력

철근콘크리트 보의 지점부근에 전단응력과 휨 응력이 합성되어 주인장응력이 생긴다. 인장철근이 충분히 배치된 부재에서도 사인장응력으로 인해 부재단면에 중립축과 45°정도의 각을 이루는 사인장균열이 생긴다.

[eqn: f_{1,2}``=``{f_x``+``f_y} over 2``±``sqrt{{left({f_x``-``f_y}over{2} right)^2}``+``v^2`}`]     [eqn: tan2 theta``=``{2v}over{f_x``-``f_y}`]

보의 길이방향을 x축으로 취하면, 철근콘크리트 보에서 y축 방향의 휨응력 [eqn: f_y`]가 없어

[eqn: f_{1,2}``=``{f_x} over 2``±``sqrt{{left({f_x}over{2} right)^2}``+``v^2`}`]      [eqn: tan2 theta``=``{2v}over{f_x}`]

2. 전단응력

fig 전단응력의 분포

위의 그림에서 탄성거동을 가정하여 최대전단응력과 평균전단응력을 비교해 보면, (a)와 같은 직사각형 단면에서는 최대값이 평균값의 1.5배이고, (b)와 같은 T형보에서는 1.46배. 철근이 있는 경우는 철근의 영향으로 전단응력의 분포는 다음과 같다.

fig 철근콘크리트보에서의 전단응력의 분포

1)전단응력 : [eqn: v``=``{V`Q}over{I`b}`]

2)철근콘크리트보의 전단응력 :[eqn: v``=``{V(x^2``-``x_1^2`)}over{b․x^2`left(d``-``x over 3right)}`]

콘크리트의 인장응력은 무시하므로 중립축 이하의 휨응력은 무시되고, 전단을력은 휨응력이 0일 때 최대 따라서 중립축 이하의 전단응력은 중립축에서와 깉은 크기인 최대값을 가진다.

[eqn: v_max``=``{V}over{b left(d``-`` x over 3 right)}`]

fig 단면 위치에 따른 전단응력의 변화

3) 평균전단응력

[eqn: v``=``{V}over{b_w`․d}`]

: 주철근의 영향, 비탄성 거동을 하는 콘크리트의 영향이 복잡하여 정확한 분포를 알기 어렵기 때문에 평균전단응력을 사용

탄성 직사각형 단면보(철근을 무시하고 균질한 재료로 가정)를 생각해 보면,

1) 보의 중립축 위의 어떤 점에서 보면, 전단력만 작용하고 수평방향의 인장응력이 없다. 모아원을 참고해서 주응력방향을 구해보면 45도. 인장응력을 방향과 직각방향으로 균열이 생길 수 있다.

2) 인장측에 임의의 점을 보면, 전단 및 인장응력이 작용하고, 모아원을 참고해서 주응력방향을 구할 수 있다.보 중앙에서는 전단응력이 0이므로 주인장 및 주압축 응력이 수평방향이 된다.

다음 그림은 축방향 응력이 사인장에 미치는 영향을 보여주고 있다.

fig 위치에 따른 Mohr's circle의 변화

fig 균질한 보의 주응력 방향(실선 : 인장, 점선 : 압축)

6.3 전단철근이 없는 보의 거동

최대 휨모멘트가 생기는 단면에서 최대 인장응력이 생기므로 인장철근이 없으면 인장균열로 인해서 취성파괴를 일으킨다. 인장철근이 있으면 가할 수 있는 하중이 증가하므로 전단응력도 증가하게 되고, 이로 인해서 사인장균열(diagonal tension crack)이 발생한다. 전단응력이 큰 받침부 근처에서 발생한다.

6.3.1 사인장 균열

(휨에 대하여 안전하도록 설계된 보에서 전단철근이 없는 경우의 거동)

※사인장균열의 형태

1) 복부전단균열

휨균열은 발생하지 않았는데 복부에 사인장균열이 발생하는 경우

휨모멘트 [eqn: M`]은 작고 전단력 [eqn: V`]가 큰 단면에서 발생

[eqn: rm I`]형단면의 PC보에서

[eqn: v _{cr} GEQ 0.29 sqrt {f _{ck}}]이면 복부 전단균열 [eqn: ```최대전단응력``v _{cr} ``=`` {V _{cr}} over {b`d} `=``0.29 sqrt {f _{ck}} `]

(6․2)

c.f)[eqn: Vd/M`] 가 큰 경우 :[eqn: a/d`]가 작은 경우 p142

2) 휨전단균열

이미 발생된 휨균열의 선단(先端)에서 시작되고 발달된 균열

휨모멘트 [eqn: M`]이 크고, 전단력 [eqn: V`]가 큰 단면에서 발생

RC보나 PC보에서 흔히 발견

[eqn: 최대전단응력``v _{cr} ``=`` {V _{cr}} over {b`d`} ``=``0.16 sqrt {f _{ck} `} `]

(6․3)

c.f)[eqn: Vd/M`] 가 작은 경우 :[eqn: a/d`]가 큰 경우 p142

( 휨 전단균열을 일으키는 전단력)/(복부 전단균열을 일으키는 전단력) = 약 1/2정도 → 휨의 크기가 사인장 균열에 영    향을 미침.

사인장 균열을 일으키는 전단력은 [eqn: left(V over M right)`]에 좌우, 엄밀하게 선단에서의 전단력 [eqn: v`]와 휨응력 [eqn: f`]의 비[eqn: left( v over f right)`]에 지배된다.

c.f) 전단보강이 없는 경우	복부 전단균열(web-shear crack)을 일으키는 전단력

1) 주로 V가 크고, M이 작은 경우에 발생한다.

2) 위의 전단응력이 콘크리트의 인장강도보다 작은 것은 2축응력으로 작용하기 때문이다.

3) 콘크리트의 인장강도는 대략 압축강도의 제곱근에 비례하는 경향을 보이므로, 주인장응력 방향으로의 저항력도 마찬가지의 경향을 보인다.

4) 복부 전단균열이 발행한 후엔 인장철근의 부착파괴가 이어지는 것이 보통이다.

[eqn: v _{cr} ``=`` {V _{cr}} over {b`d} ``=``0.29 sqrt {f _{ck} `} `](실험식)

휨 전단균열이 발생할 때, 콘크리트가 받을 수 있는 최대 전단력 (실험식)

1) 주로 V도 크고, M도 큰 경우에 발생.

2) 휨균열로 인해서 단면이 줄어들어, 전단 저항능력이 복부 전단균열이 일어나는 경우보다 더 떨어진다.

여러 실험에 의하면, 휨전단 균열을 일으키는 전단강도를 일반식으로 다음처럼 안전측으로 표시할 수 있다.

[eqn: v _{cr} ``=`` {V _{cr}} over {b`d} ``=``0.16 sqrt {f _{ck} `} ``+``17.6 {rho `V`d} over {M} `` LEQ ``0.29 sqrt {f _{ck} `} `](실험식)

여기서, [eqn: rho``=``{A_s}over{b`d}`]이다. 혹은 간단하게 다음과 같이 표시한다.

[eqn: v _{cr} ``=`` {V _{cr}} over {b`d} ``=``0.16 sqrt {f _{ck} `} `]

보 종류	휨파괴	세장비 측정을 위한 전단경간 높이의 비 (span/depth)
		집중하중, a/d	등분포 하중, Ln/d
세장한 보(slender beam)	사인장파괴	>=6	>=16
중간보(intermediate beam)	전단 압축파괴	2.5~6.0	11~16
깊은보(deep beam)		1~2.5	1~5

fig 보의 길이에 따른 파괴 형태

6.3.2 [eqn: {V`d}over{M`}`]의 영향

[eqn: v``=``K_1`{V}over{b`d}`]([eqn: K_1`]: 휨균열의 높이에 의해 좌우되는 상수)

[eqn: f``=``K_2`{M}over{b`d^2`}`]([eqn: K_2`]:휨균열의 상태에 따라 정해지는 상수)

[eqn: {v}over{f`}``=``{K_1}over{K_2}`{V`d}over{M`}`]

(6․4)

→ [eqn: {V`d}over{M`}`]가 [eqn: {v}over{f`}`]에 영향을 미침을 말해준다.(휨전단균열에 영향)

[eqn: M``=``P`a``=V`a`]

[eqn: a``=``{M}over{V`}`]

(6․5)

[eqn: a`] : 전단경간(shear span), 전단지간

집중하중 작용점까지의 거리 [eqn: a`]가 사인장균열에 더 영향을 미친다.

[eqn: {f}over{v`}``=``{K_2}over{K_1`}`{a}over{d`}`]

(6․6)

→ [eqn: {a}over{d`}`]가 휨 전단균열에 영향

• 그림 6-4에 의한 파괴 형태

1) [eqn: {a}over{d`}``≤``1`] 높이가 큰 보(deep beam) : 보의 강도가 전단력의 지배

전단지간에 따라서 파괴형태가 다르게 나타난다. 전단경간이 작으면 다음과 같이 아치작용을 보인다.

fig 국부적인 아치거동

2) [eqn: {a}over{d`}``=``1`～`2.5`] 높이가 큰 보 : 전단파괴 (전단강도 > 사인장균열강도)

3) [eqn: {a}over{d`}``=``2.5`～`6`] (보통 보) : 사인장파괴 (전단강도 = 사인장강도)

4) [eqn: {a}over{d`}``>``6`] (지간이 큰 보) : 휨강도 지배

c.f : 전단보강이 없는 경우 사인장균열은 취성파괴를 가져오므로 일부 경우를 제외하고 최소전단철근을 배근해야한다. 경간에 비해서 보의 높이가 큰 깊은 보(deep beam)에서는 갑작스런 파괴가 일어나지 않는다.

6.3.3 콘크리트가 부담하는 전단강도

• 균열전단강도

[eqn: {V`d}over{M`}`]가 매우 큰 경우([eqn: {a}over{d`}`]가 작은 경우) : [eqn: v _{cr} ``=``0.29 sqrt {f _{ck} `} `]

[eqn: {V`d}over{M`}`]가 매우 작은 경우([eqn: {a}over{d`}`]가 큰 경우) : [eqn: v _{cr} ``=``0.16 sqrt {f _{ck} `} `]

• 보통의 경우([eqn: {a}over{d`}``=``2.5``～``6`])  ; 휨전단균열 발생

[eqn: v _{cr} ``=`` {V _{cr}} over {b`d`} ``=``0.16 sqrt {f _{ck} `} ``+``17.6` {rho `Vd} over {M`} `` LEQ ``0.29 sqrt {f _{ck} `} `]

(6․7)

c.f) 식 (6․7) : 시방서의 정밀 계산 규정,

폭 [eqn: b`], 유효깊이 [eqn: d`]인 경우 T형 또는 I형 단면의 경우에는 [eqn: b`]대신 복부의 폭 [eqn: b_w`]를 사용

[eqn: V_cr``=``v_cr`b`d`]

(6․8)

6.4 전 단 철 근

전단철근(shear reinforcement)은 전단보강철근 또는 사인장 철근(diagonal tension bar)이라고도 하며, 보에서는 복부철근이라 부르기도 한다. 전단철근은 전단력으로 인해 생기는 균열을 막기 위해서 배치할 필요가 있으며, 전단철근의 종류 중 굽힘철근(bent-up bar)은 아래 그림의 (b)와 같이 부재의 인장력이 줄어드는 구간에 남게 되는 인장철근을 구부려 올리거나 구부려 내린 것으로, 30° 이상의 경사를 가져야 한다.

전단철근의 종류는

1) 주철근에 직각으로 설치하는 스터럽 : 수직스터럽(vertical stirrup)

2) 주철근에 45°또는 그  이상의 경사로 설치되는 스터럽 : 경사스터럽(inclined stirrup)

3) 주철근을 30°또는 그 이상의 경사로 구부린 굽힘철근(절곡철근)

4) 스터럽과 굽힘철근의 병용

5) 부재축에 직각인 용점 강선망 또는 나선철근

. 스터럽(Stirrup):U형 스터럽, 복 U형 스터럽, 폐쇄 스터럽(폐합 스터럽)

6.5 전단철근이 배치된 보의 거동

※복부철근 : 사인장균열 발생한 후 효력 발휘

[eqn: cases { 전단력의 ~일부에~ 저항~(일부는~ rm Concrete`가~ 저항) # 균열억제 }`]

c.f) 사인장철근의 역할 [eqn: cases { 균열억제 # 축방향철근의 ~결속 }`]

6.5.1 수직스터럽이 배치된 보

그림의 보가 비기고 있다면

[eqn: V_c``+``V_s``+``V_d``+``V_iy``=``V`]

(a)

(수직내력 = 외력에 의한 전단력)

[eqn: V_c`] : 균열이 발생하지 않은 부분의 콘크리트가 부담하는 전단력

[eqn: V_s`] : 균열단면과 교차된 스터럽이 부담하는 전단력

[eqn: V_d`] : 인장철근의 장부작용(dowel action)에 의한 수직내력

[eqn: V_iy`] : 거치른 균열면의 맞물림(interlocking)에 의한 내력 [eqn: V_i`]의 수직분력

식 (a)의 관계를 보인 것이 그림 6-12

사인장균열 발생 후 :

[eqn: V_s`]는 직선적으로 증가

([eqn: V_c`,``V_d`,``V_iy`]는 거의 일정)

스터럽 항복 후 :

[eqn: V_s`]는 일정

[eqn: V_d`,``V_iy`]는 갑자기 작아짐

∴ 파괴적인 상태를 기준으로 하는

강도설계법에 있어서

[eqn: V_cr``=``V_c``+``V_d``+``V_iy``≒``V_c`]

※ 파괴직전의 Vs

균열과 교차하는 스터럽의 수 [eqn: n``=``d over s]

[eqn: ∴~ V_s ``=``n`A_v`f_y``=`` {d} over {s`}`A_v`f_y`]

(b)

※ 공칭전단강도

[eqn: V_n``=``V_cr`+` {A_v`f_y`d} over s]

(6․9)

[eqn: V_cr`] : 콘크리트가 부담하는 전단강도, [eqn: {A_s`f_y`d}over{s}`] : 수직 스터럽이 부담하는 전단강도.

양변을 [eqn: b`d``]로 나누면 공칭 전단응력 [eqn: v_n`]

[eqn: v_n``=``{V_n}over{b`d}``=``v_cr``+``{A_s`f_y}over{s`b`}`]

(6․10)

6.5.2 경사스터럽이 배치된 보(or 절곡철근)

간격 [eqn: s`]사이에서의 사인장 균열의 길이 [eqn: a`]

[eqn: a``=``{s}over{sin theta`(cot theta``+``cot alpha)`}`]

[eqn: i``=``{p}over{a`}`]

균열과 만나는 전단철근 수

[eqn: n``=``{i}over{a`}``=``{p}over{s`}(1``+``tan theta `cot`alpha`)`]

균열면에 작용하는 전단철근의 총 인장력의 수직분력

[eqn: V_s``=``n`A_s`f_s`sin alpha``=``A_s`f_s`{p}over{s`}`(sin alpha``+``cos alpha`tan theta`)`]

※ 전단철근의 응력[eqn: f_s`]가 항복강도[eqn: f_y`]에 도달 → 균열이 압축측 상단에 미친다. 이때 균열의 기울기 [eqn: theta``=``45`°], [eqn: p``=``d`](유효높이)

[eqn: V_s``=``A_s`f_y`{d}over{s`}`(sin alpha``+``cos alpha`)`]

(e)

전단철근이 [eqn: alpha`]의 경사로 배치된 보가 전단파괴할 때의 공칭 전단강도

(e)를 (6․9)에 대입

[eqn: V_n``=``V_cr``+``{A_s`f_y`d`(sin alpha``+``cos alpha`)}over{s`}`]

(6․11)

[eqn: V_cr`] : 콘크리트가 부담하는 전단강도, 나머지 [eqn: alpha`]의 경사를 가진 전단철근이 부담하는 전단강도.

c.f) 경사스터럽이 배치된 보(or 절곡철근) : 허용응력 설계

.  [eqn: a``=``{s`sinα} over { 1 over sqrt 2 `(sinα`+`cosα ) }`]

* 균열과 만나는 철근의 개수

[eqn: n``=``{sqrt 2 `d } over a]

=[eqn: { sqrt 2 ` d` 1 over sqrt 2 `(sinα `+`cosα ) } over {s`sinα}`]

=[eqn: { d ` (sinα `+`cosα ) } over {s‧sinα}]

* 하나의 전단철근이 견디는 전단력

=[eqn: A_v`σ_y`sinα]

∴ [eqn: Vs ``= ``n` x`] 철근 하나의 전단력

=[eqn: { d`‧ (sinα `+`cosα ) } over {s`sinα} ` A_v`σ_y ` sinα ``=``{A_v`σ_y`d`(sinα `+`cosα ) } over s`]

∴[eqn: V_n``=``V_c`+`V_s``=``V_cr`+`{A_v`σ_y`d`(sinα`+`cosα) } over s]

if 1[eqn: α ``=`` 90^o] → [eqn: V_n``=``V_cr`+` {A_v`σ_y`d} over s]

6.6 전단철근의 설계

6.6.1 설계의 원칙

[eqn: V_u``≦``phi`V_n`]

(6․12)

단면의 공칭전단강도

[eqn: V_n``=``V_c``+``V_s`]

[eqn: phi`]는 강도감소계수 : 전단에 대해서는 0.75

※[eqn: V_c`]에 대한 시방서 식

[eqn: V _{c} ``=``1/6 sqrt {f _{ck} `} `b _{w} `d`]

(6․14)

정밀계산

[eqn: V _{c} ``=`` LEFT ( 0.16 sqrt {f _{ck} `} ``+``17.6 {rho _{w} `V _{u} `d} over {M _{u} `} ` RIGHT ) `b _{w} `d`` LEQ ``0.29` sqrt {f _{ck} `} `b _{w} `d`]

(6․15)

여기서, [eqn: rho_w``=``{A_s}over{b_w`d`}`], [eqn: {V_u`d}over{M_u`}``≤``1`] ,  [eqn: sqrt {f _{ck}}]=8.4 MPa이하로 할것(=[eqn: sqrt {70}] MPa)

6.6.2 설계절차

[eqn: V_u``≤``phi`V_c`]인 경우 : 전단철근이 필요없다.(이론상)

⦗1⦘ 최소전단 철근량

(1) [eqn: {1}over{2}`phi`V_c``＜``V_u``≤``phi`V_c`]인 경우

: 이론상 전단철근 필요 없으며 설계기준에서 최소 전단철근량 배치.

[eqn: A _{v,min} ``=0.0625 sqrt {f _{ck}} ``` {b _{w} `s} over {f _{y}} GEQ 0.35 REL <-> {b _{w} s} {f _{y}} `]

여기서    [eqn: f _{y}] : 전단철근의 설계기준 항복강도 (MPa)

[eqn: b _{w}] : 단면의 복부폭(mm)

s   : 전단철근의 간격(mm)

예외 [eqn: cases{보의~높이~h`` LEQ ``250`mm``or~h`` LEQ ``max(2.5t`,`` {1} over {2} b _{0} `)--`I형보와`T형보#eqalign{슬래브~및~확대기초# # 교대`벽체`및`날개벽,`옹벽의`벽체,암거`등과`같이`휨이`주거동인`판`부재# # 콘크리트의`장선(joist)구조}}]

⦗2⦘전단철근이 부담하는 전단강도

(2) [eqn: V_u``＞``phi`V_c`]인 경우:  전단철근 배치, [eqn: V_u``-``phi`V_c`]만큼의 전단력을 철근이 받도록 전단설계

① 수직스터럽의 경우([eqn: V_cr``=``V_c`])

[eqn: V _{n} ``=``V _{c} ``+`` {A _{v} `f _{y} `d} over {s} `# ``따라서``,V _{s} = {A _{v} f _{y} d} over {s}]

(6․17)

단면이 전단에 대해 안전하기 위해서는

[eqn: V_u``≦``phi`V_n``=``phi`left(V_c``+``{A_v`f_y`d}over{s}`right)`]

설계에서는 단면적 [eqn: A_v`]를가정하고 간격 [eqn: s`]를 검토하는 것이 보통

② 경사 스터럽 또는 굽힘철근을 사용할 경우

[eqn: V _{n} ``=``V _{c} ``+`` {A _{v} `f _{y} `d`(sin alpha ``+``cos` alpha `)} over {s} `# # V _{s} = {A _{v} f _{y} d(sinalpha+cosalpha)} over {s}]

(6․19)

[eqn: V _{u} LEQ psi V _{n`````````````} 로`부터``s`` <= `` {phi `A _{v} `f _{y} `d`(sin alpha ``+``cos alpha )} over {V _{u} ``-`` phi `V _{c} `} `# # V _{s} LEQ {2} over {3} sqrt {f _{ck}} b _{w} d]

(6․20)

cf) 전단철근의 설계항복강도 [eqn: f _{y} `` LEQ ``400MPa] (사인장 균열폭 억제)

6.6.3 전단철근의 간격

․수직스터럽 : 10cm 이상

․개념 : 사인장균열이 [eqn: 0.5`d`] 높이까지 [eqn: 45°]경사로 발생(한번 이상 균열선과 교차)]

․최대간격

① 수직스터럽 [eqn: 0.5`d`] 이하, 또 [eqn: 60`0mm] 이하

② 경사 스터럽 또는 굽힘철근은 부재 중간높이 [eqn: 0.5 `d`]에서 반력점 방향으로 주 인장철근까지 연장된 [eqn: 45°]선과 한번이상 교차하도록 배치해야 한다.

③ [eqn: V _{s} ``＞`` {1} over {3} ` sqrt {f _{ck}} `b _{w} `d`]인 경우에는 전단철근의 간격을 위의 값의 [eqn: {1}over{2}`]이하로 해야 한다.

예제 6-1. 계수전단강도 [eqn: V _{u} ``=``73`KN] 을 받을 수 있는 직사각형 단면을 다음의 각 경우에 대하여 구하라. [eqn: f _{ck} ``=``21`MPa]이다.

(i)전단철근 없이 견딜 수 있는 콘크리트의 최소단면

[eqn: V _{c} =1/6 sqrt {f _{ck}} b _{w} d]

[eqn: V _{u} `` LEQ `` {1} over {2} ` phi `V _{c} ``=`` {1} over {2} phi `` {1} over {6} sqrt {f _{ck}} `b _{w} `d`]

73[eqn: TIMES][eqn: 10 ^{3}] [eqn: LEQ]  =[eqn: {1} over {2} TIMES 0.75 TIMES {1} over {6} TIMES sqrt {21} TIMES b _{w} `d`]

∴ [eqn: b _{w} `d`` GEQ ``255,000`mm ^{2} `]

ex) b = 400 mm, d = 638 mm ( 단면이 400mm⨯680 mm 이면 전단철근을 배치하지 않아도 됨)

(ii) 전단철근의 최소량을 사용할 경우 필요한 콘크리트의 최소단면

[eqn: 1 over 2 φ`V_c ``< ``V_u``leq``φ`V_c`]

[eqn: 73 TIMES 10 ^{3} ` LEQ ``0.75 TIMES {1} over {6} TIMES sqrt {21} `b _{w} `d```]

∴ [eqn: b _{w} `d`` GEQ ``127,000mm ^{2} `]   ex) b = 300 mm, d = 425 mm( 피복두께 45 mm, 높이 h=470 mm로 되고,

보의 단면은 300mm⨯470mm로 전단철근의 최소량을 사용할수 있다.)

예제 6-2. 사하중(고정하중) 1050 [eqn: kgf`/`m`], 활하중 4760 [eqn: kgf`/`m`]을 받고 있는 지간 6.1m인 단순 지지보가 있다. 단면은 폭이 [eqn: b``=``35`cm`], 유효 깊이 [eqn: d``=``56`cm`], 보의 높이 [eqn: h``=``60`cm`], 인장 철근량 [eqn: A_s``=``63.60`cm^2`]인 단철근 직사각형이다. [eqn: f_ck``=``210`kgf/cm^2`]일 때 전단철근을 필요로 하는 구간을 구하라.

1) 극한하중을 구함

자중 = 2500 x 0.35 x 0.6

= 525kg/m

∴ 전체사하중 D

= 525 + 1050

= 1575 kg/m

w = 1.4D + 1.7L

= 1.5x1050 + 1.7x4760

= 10,300 kg/m

2) Vu를 구함

(지점에서 d = 56cm 떨어진 곳)

∴ Vu = 31400 - 10300 x 0.56 = 25600 kgf

3) S.F.D.(그림 6.22a)

4) 전단철근이 필요한 구간

[eqn: V_u ``>``φ`V_c`] =[eqn: 0.80 times 0.53 times sqrt 210 times 35 times 56`] = 12000kg ∴ 전단철근이 필요하다.

Vu = 12000kg 되는 거리 ; 31400 - 10300x = 12000  ∴ x = 1.88m

5) 최소철근량이 필요한 구간

[eqn: V_u ``>``1 over 2 φ`V_c``=``6000`kg`] ;  31400 - 10300x = 6000  ∴ x = 2.47m

6.7 특수한 경우의 전단설계

6.7.1 높이가 변화하는 보

※ 높이가 변하지 않는 보의 중립축에서의 전단응력(z = const.)

* 힘의 평형조건

[eqn: τ `b `dl ``+``C`` =`` C`` +` dC]

∴[eqn: τ ~=~ d`C over {b`d`l`}`]

그런데[eqn: C‧z ``=`` M`]에서

z가 일정하므로

[eqn: rm C~=~ M over z] → [eqn: rm dC ~ =~ dM over z]

∴[eqn: rm τ~=~ 1 over {b`z} ‧ dM over dl ~ =~ V over {b`z}]  (A.46)

※ 높이가 변하는 보의 중립축에서의 전단응력(z = 변수)

* 힘의 평형조건

[eqn: τ `b `dl ``+``C`` =`` C`` +` dC]

∴[eqn: rm τ ~=~ dC over {b`dl}]

그런데 [eqn: C‧z ``=`` M`] → [eqn: rm C~=~ M over z]

z와 M이 변수이므로

[eqn: rm dC~=~ {dM‧z``-``M‧dz } over z^2]

∴ [eqn: rm τ~=~ dC over {b`dl} ~=~ {z‧dM``-``M‧dz } over {b`z^2 `dl} ~=~ 1 over {b`z} ‧ dM over dl ``-`` M over {b`z^2 } ‧ dz over dl]

[eqn: rm dM over dl ~ = ~ V]

[eqn: rm dz over dl ~ =~ z의~ 길이에~ 대한~ 변화율 ~ = ~ 기울기 ~ = ~ tan`(α``+``β)]

∴ [eqn: rm τ~=~ V over {b`z}``-`` M over {b`z^2} ``tan`(α``+``β)~=~ 1 over {b`z} `left [ V ``-`` M over z `tan`(α``+``β) right ]]

[eqn: rm z``=``j`d ``image ``d],

[eqn: rm tan`(α``+``β) ~=~ {tan`α``+``tan`β} over {1``-``tan`α ‧tan`β}``image``tan`α``+``tan`β]   (α, β가 작은 각일 때)

∴ [eqn: rm τ~=~ 1 over {b`d} `left [ V ``-`` M over d `(tan`α``+``tan`β) right ]~=~ V_1 over {b`d}]

* 강도설계법에서 [eqn: rm V_1 ~ = ~ V_u``-`` M_u over d `(tan`α``+``tan`β)]  ‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧  (6.21)

[eqn: rm cases { α``+``β``leq``30^o `일~ 때~ 사용 # α,``β`:`` ∣M∣이~증가함에 ~따라 ~d가~증가하면~(+) }]

6.7.2 축방향력을 받는 휨부재의 전단강도

* 휨부재 [eqn: rm V _{c} ``=`` LEFT ( 0.16` sqrt {f _{ck}} `+`17.6‧ {rho _{w} `V _{u} `d} over {M _{u}} RIGHT ) `b _{w} `d``` LEQ ```0.29` sqrt {f _{ck}} `b _{w} `d]  ‧․‧‧‧‧‧  (6.15)

* Beam - Column : [eqn: rm M_m ~ = ~ M_u``-``N_u` {4`h``-``d} over 8]  (Nu : 압축 (+))  ‧‧‧‧‧  (6.22)

1) Mm (+) ; ([eqn: rm {V_u `d} over M_u ``leq``1] 제한 없음)

[eqn: rm V _{c} ``=`` LEFT ( 0.16` sqrt {f _{ck}} `+`17.6‧ {rho _{w} `V _{u} `d} over {M _{u} ``-`` {1} over {8} N _{u} `(4`h``-``d)} RIGHT ) `b _{w} `d]  ‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧  (6.23)

[eqn: rm LEQ ```0.29` sqrt {f _{ck}} `b _{w} `d` sqrt {1``+``` {N _{u}} over {3.5A _{g}}}]  ‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧  (6.24)

2) Mm (-) : 식 (6.24) 사용

3) 다음 식을 사용해도 좋다

[eqn: rm V _{c} `=~ {1} over {6} ` LEFT ( 1``+``` {N _{u}} over {14A _{g}} RIGHT ) sqrt {f _{ck}} `b _{w} `d]  ‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧  (6.25)

4) 현저한 축방향 인장력 Nu를 받을 경우 ; Nu(-)

[eqn: rm V _{c} `=~ {1} over {6} ` LEFT ( 1``+``` {N _{u}} over {3.5A _{g}} RIGHT ) ` sqrt {f _{ck}} `b _{w} `d`]  ‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧  (6.26)

cf. 축방향 인장을 받는 부재: Vc = 0으로 보고 모든 전단력을 복부철근이 받도록 설계하기도 함

(예제 6-4) 폭 b=300mm, 유효높이 d=600mm 보의 높이 h=670mm인 직사각형 단면의 보가 지간중앙에 하나의

계수하중(factored load) 440 kN을 받고 있다. 다음 각 경우에 대하여 위험단면(지점에서 d 만큼 떨어             진 위치)에 있어서 콘크리트가 부담할 수 있는 전단강도 [eqn: V _{c}]를 계산하여라.

여기서, [eqn: f _{ck} =270`MPa]이고, 전단에 대한 위험단면에서 인장철근은 [eqn: A _{s} =3-D32=2382`mm ^{2}]이다.

(해)    전단에 대한 위험단면에서

계수 전단력 [eqn: V _{u} = {440} over {2} =220`kN=220,000`N]

계수 휨모멘트 [eqn: M _{u} =220,000 TIMES 600=132 TIMES 10 ^{6} `N.mm]

철근비        [eqn: rho _{w} = {A _{s}} over {b _{w} d} = {2382} over {300 TIMES 600} =0.013]

(1) 축방향력의 작용이 없는 경우

축방향력의 작용이 없으므로 보의 경우이다.      [eqn: {V _{u} d} over {M _{u}} = {220,000 TIMES 600} over {132 TIMES 10 ^{6}} =1]

[eqn: V _{c} =(0.16 sqrt {f _{ck}} +17.6 {rho _{w} V _{u} d} over {M _{u}} )b _{w} d=190,800`N] [eqn: LEQ 0.29 sqrt {f _{ck}} b _{w} d=280,000`N``````(OK)]

[eqn: {1} over {6} sqrt {f _{ck}} b _{w} d= {1} over {6} sqrt {27} TIMES 300 TIMES 600=156,000`N]  으로 (6-15)로 계산한 것 보다 18 % 정도 작다.

(2) 계수 축방향 압축력  270 kN이 작용하는 경우

식  (6.23)으로 부터  [eqn: M _{m} =M _{u} -N _{u} {4h-d} over {8} =132 TIMES 10 ^{6} -270 TIMES 10 ^{3} TIMES {4 TIMES 670-600} over {8} =61,800,000`N.mm]

식 (6.23)으로부터 [eqn: V _{c} = LEFT ( 0.16 sqrt {f _{ck}} +17.6 {rho _{w} V _{u} d} over {M _{u} -N _{u} {4h-d} over {8}} RIGHT ) b _{w} d=238,000N]

이 값이 (6.25)의 [eqn: V _{c}] 보다 커서는 안 된다.

[eqn: V _{c} =0.29 sqrt {f _{ck}} b _{w} d sqrt {1+ {N _{u}} over {3.5A _{g}}} =319,000N SUCC 238,000`N`(OK)#]

(6.25)로 계산하면 [eqn: V _{c} = {1} over {6} (1+ {N _{u}} over {14A _{g}} ) sqrt {f _{ck}} b _{w} d=171,600`N PREC 238,000N]

(1), (2) 결과로부터 270 kN의 축방향 압축력이 작용하여 단면에는 [eqn: {N _{u}} over {A _{g}} = {270 TIMES 10 ^{3}} over {300 TIMES 670} =1.3`N/mm ^{2} =1.3`MPa]

의 압축응력이 작용함으로서 콘크리트의 전단강도(2)의 경우의 [eqn: V _{c}] 가 축방향 압축력의 작용이 없는 경우의 전단강도 (1)의 경우보다 약 24% 증가하게 된다.

(3) 계수 축방향 인장력 270 kN이 작용하는 경우

(2.26)으로부터 [eqn: V _{c} = {1} over {6} LEFT ( 1+ {N _{u}} over {3.5A _{g}} RIGHT ) sqrt {f _{ck}} b _{w} d=93,000`N]

축방향력 작용이 없는 (1)의 경우보다 전단강도 [eqn: V _{c}]가 50%정도 감소된다.

6.7.3 깊은 보( 높이가 큰 보)

. ① 순경간 [eqn: l _{n}]이 부재 깊이 h의 4배이하인 부재,즉 [eqn: l _{n} LEQ 4] 인 부재

. ② 집중하중이 받침으로부터 부재깊이 h의 2배이하 이내의 거리에 작용하는 부재

※ 높이가 큰 보의 강도 : 전단 지배

※ Beam Slenderness effect on mode of failure (from Nawy)

Beam Category	Failure mode	전단지간 : 높이 比
		집중하중(a/d)	분포하중(lc/d)
Slender Intermediate Deep	Flexure Diagonal Tension Shear Compression	5.5 이상 2.5 - 5.5 1 - 2.5	16 이상 11 - 16 1 - 5

그림 6-20 높이가 큰 보

균열이 수직에 가깝다. ∴ 수직스터럽 + 수평방향 전단철근(균열과 교차)

※ 이론적 배경

* Behavior: two-dimensional    cf. 얇은 보(휨지배 부재)

- plane section before bending do not necessarily remain plane after bending

- strain distribution : not linear

- shear deformation : significant

※ Stress Distribution (균열 발생 전)

※ Principal Stress Trajectory

- 하중이 점점 커지면

주압축응력선을 따라 균열

(거의 수직)

∴ 수평철근도 필요하다

(아래부분에 많이)

- 높이가 상당히 크면

전단하중에 저항하는 능력도 커짐

(아치작용이 커지기 때문)

(더 큰 압축력에 저항

→ Vc가 커짐)

※ 높이가 큰 보에 대한 전단설계 규정

(1) for [eqn: rm l_n over d ``<``2]; [eqn: rm V_n ``leq ``2.1`sqrt f_ck `b_w`d]  ‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧  (6.27)

[eqn: rm 2 ``leq`` l_n over d ``leq``5]; [eqn: rm V_n ~= ~ 0.18`left (10``+`` l_n over d right )`sqrt f_ck`b_w`d]  ‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧  (6.28)

([eqn: phi V_n`]보다 [eqn: _u`][eqn: V_u`]가 더 크면 단면을 늘림)

(2) 전단에 대한 위험단면 (shear plane; 경사가 심하고 지점에 가깝다)

등분포하중: 받침부 전면에서 [eqn: rm x~=~0.15`{it l_n }``leq``d]

집중하중  :       "         [eqn: rm x~=~0.5`a``leq``d]

(3)[eqn: rm V_c ~=~ 0.53`sqrt f_ck `b_w`d]  ‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧  (6.29)

정밀계산[eqn: rm V_c ~=~ left (3.5``-2.5`M_u over {V_u`d} right )`left (0.5`sqrt f_ck ``+``176‧{ rho _w ‧ V_u ` d} over M_u right )`b_w`d``leq``1.59`sqrt f_ck `b_w` d]  (6.30)

[eqn: rm 1.0``<``left (3.5``-``2.5`M_u over {V_u`d} right ) ``leq``2.5] ; multiplier to account

for the higher resisting capacity of deep beams

(4) [eqn: φV_c`` <`` V_u`]인 구간 전단철근 배치

[eqn: rm V_s ~=~ left [A_v over s `left ( {1``+``{it l_n }over d} over 12 right )``+``A_h over s_2 `left ( {11``-``{it l_n }over d } over 12 right ) right ]`f_y`d]  ‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧  (6.31)

Av : 수직스터럽, 간격 s

Ah : 수평전단철근, 간격 s2

(참고) 식 (6.31) → 식 (6.13)[[eqn: rm V_n ~=~ V_c ``+`` V_s]] , 식 (6.12)[[eqn: rm V_u `` <= `` phi V_n]]

[eqn: rm left [A_v over s `left ( {1``+``{it l_n }over d} over 12 right )``+``A_h over s_2 `left ( {11``-``{it l_n }over d } over 12 right ) right ]~=~{V_u ``-`` phi V_c } over { phi `f_y `d }]  ‧‧‧‧‧  (6.32)

(5) 최소단면적

[eqn: rm A_v ``geq `` 0.0015`b_w`s],  [eqn: rm s `` leq `` ( d over 5 ,~40`cm )]

[eqn: rm A_h ``geq `` 0.0025`b_w`s_2],  [eqn: rm s_2 `` leq `` ( d over 3 ,~40`cm )]

cf. 전단철근의 배치 구역: 위험단면에서 요구되는 전단철근은 해당 지간 전체에 사용되어야 한다.

예제 6-5) l = 10.8m, Pu = 2 x 507t, wul = 5.84t/m ← factored load

fck = 280kgf/cm2, fy = 4000kgf/cm2, 휨 및 전단설계

1. 단면가정(b = 60cm, h = 3.6m)

[eqn: rm w_d ``=`` 2500 times 0.6 times 3.6 ``=``5400`kgf/m]

[eqn: rm w_u``=`` 1.4 times 5400 ``+``5840``=``13,400`kgf/m]

[eqn: rm R_A ``=``left ( {13400 times 10.8} over 2 ``=``72,400 right )``+``507000``=``579,400`kg]

[eqn: rm V_C,좌 ``=``579.4``-``13.4 times 3.6 ``=``531.1`t], [eqn: rm V_C,우 ``=``531.1``-``507``=``24.1`t]

[eqn: rm M_C ``=``579.4 times 3.6``-` 1 over 2 times 13.4 times 3.6^2 ``=``1998.9`t‧m]

[eqn: rm M_CL ``=``579.4 times 5.4 ``-`1 over 2 times 13.4 times 5.4^2 ``-``507 times 1.8 ``=`` 2020.6`t‧m]

2. 높이가 큰 보인지 판단 : [eqn: rm a over d ``< ``2.5 ~~~ or ~~~ l_n over d ``< `` 5.0]

d = 360 - 15 = 345cm (굵은 철근 여러단 배치 예상)

[eqn: rm {it l_n }over d ``=`` {1080``-``45} over 345 ``=``3``<``5]   ∴ 높이가 큰 보

3. 인장철근 설계

1) a 가정: 52cm

2)[eqn: rm A_s ``=`` M_u over {φ `f_y `(d``-`` a over 2 ) } ``=``{ 2020.6 times 10^5 } over { 0.85 times 4000 `(345``-`` 52 over 2 ) }``=``186.3`cm^2]

3) a 검사: [eqn: rm a ``=`` {A_s `f_y } over { 0.85 ` f_ck ` b} ``=`` { 186.3 times 4000 } over {0.85 times 280 times 60 } ``=`` 52.2`cm]

4) 철근선택: [eqn: rm A_s ``=`` 20``-``D35``=``191.32`cm^2] 사용

5) 철근비 검토

[eqn: rm rho _min ``=``14 over f_y ``=`` 14 over 4000 ``=``0.0035]

[eqn: rm rho _max ``=`` 0.75` rho_b ``=``0.75 times 0.85` beta_1 `f_ck over f_y ` 6000 over {6000``+``f_y }]

=[eqn: rm 0.75 times 0.85 times 0.85 times 280 over 4000 ‧ 6000 over {6000``+``4000} ``=`` 0.0303]

[eqn: rm rho ``=`` A_s over {b`d} ``=`` 191.32 over {60 times 345} ``=`` 0.0092]

[eqn: rm rho_min ``=``0.0035 `` < `` rho ``=`` 0.0092 `` < `` rho_max ``=`` 0.0303]  O.K.

6) 철근배치 : D35 철근 20개를 3단으로 배치

4. 전단설계

1) 전단에 대한 위험단면

받침부 전면에서 [eqn: rm 0.5a ``=``0.5 times (3.6``-`` 0.45 over 2 )``=``1.6875`m``<``d``=``3.45]

받침부 중앙에서 [eqn: rm 1.6875 ``+``0.45 over 2 ``=`` 1.91`m]

2) 위험단면에서의 휨모멘트와 전단력

[eqn: rm M_u ``=``579.4 times 1.91 ``-`` {13.4 times 1.91^2 } over 2 ``=`` 1082.2`t‧m]

[eqn: rm V_u ``=`` 579.4 ``-`` 13.4 times 91 ``=`` 553.8`t]

3) 최대 공칭전단강도 ([eqn: rm 2``< `` l_n over d `=`3`` < ``5] ∴ (6.28) 식 사용)

[eqn: rm V_n ~= ~ 0.18`left (10``+`` {it l_n }over d right )`sqrt f_ck`b_w`d]

[eqn: rm = ~ 0.18 times (10``+`` 3 ) times sqrt 280 times 60 times 345 ``=`` 810400`kg]f

φVn = 0.8 x 810400 = 648,300 kgf > Vu = 553.8t  O.K.

4) Vc : 정밀계산(6.30식)

[eqn: rm 3.5``-``2.5 M_u over {V_u `d}``=``3.5``-``2.5 times left (1082.2 over {553.8 times 3.45 }``=``0.566 right ) ``=``2.1 ``< ``2.5]

∴ [eqn: rm V_c ``=``2.1 times left ( 0.5 `sqrt 280 ``+``176 times 0.0092 times 1 over 0.566 right ) times 60 times 345]

[eqn: rm = `` 488,000`kg `` < `` 1.59`sqrt 280 times 60 times 345 ``=``551,000`kgf]  O.K.

5) 복부철근이 받아야 할 전단력

[eqn: rm ΔV ``=``V_u``-``φ`V_c ``=``553.8``-``0.8 times 488 ``=``163.4`t]

[eqn: rm ΔV ``=``φ`V_s]   ∴ [eqn: rm V_s ``=`` 163.4 over 0.8 ``=`` 204.25 `t]

6) 필요한 복부철근 : (6.32) 식

[eqn: rm A_v over s ‧ {1``+``3} over 12 ``+``A_h over s_2 ‧ {11``-``3} over 12 ``=`` 204250 over {4000 times 345}]

[eqn: rm 0.333 `A_v over s ``+``0.667`A_h over s_2 ``=`` 0.148]  ‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧  (a)

↑  Ah가 Av보다 더 유효함

(Av는 최소의 요구조건만 만족시키도록)

7) 수직스터럽 Av (D16 U형 : Av = 2 x 1.968 = 3.97 cm2)

[eqn: rm A_v ``geq `` 0.0015`b_w`s], [eqn: rm s ``leq `` d over 5 ``or``` 40`cm]  ([eqn: rm d over 5 `=`345 over 5 `=`69`cm ``> ``40`cm])

↓

[eqn: rm s ``leq `` A_v over {0.0015`b_w }``=`` 3.97 over {0.0015 times 60} ``=``44`cm ``> ``40`cm]

이에 대해 D16 수직폐쇄스터럽을 40cm 간격으로 배치

8) 수평철근 Ah (최대 [eqn: rm d over 3 `=`345 over 3 `=``115 ``>``40`cm])

(a) 식 → [eqn: rm 0.333 ‧ 3.97 over 40 ``+``0.667 ‧ A_h over s_2 ``=``0.148]

∴ [eqn: rm 0.667 ‧ A_h over s_2 ``=`` 0.115]

D22 사용 (Ah = 2 x 3.871 = 7.74cm2)

∴ [eqn: rm s_2 ``=``0.667 times 7.74 over 0.115 ``=``44.9`cm]

이에 대해 D22 수평전단철근 40cm 간격으로 배치

[eqn: rm 0.0025 `b_w`s_2 ``=``0.0025 times 60 times 40 ``=``6 ``< `` A_h ``=``7.74]   O.K.

6.7.4 전단마찰

• 전단력의 방향으로 균열이 예상되는 경우 ([eqn: a over d ~<~ 1.0`]인 경우 ; 전단에 의해 보의 강도지배)

균열에 직각으로 철근배치 → 전단마찰철근 (단면적 [eqn: A_vf`])

ex) 옹벽의 벽체와 기초저면과의 접합부

기타 예) (1) 굳은 콘크리트와 여기에 이어친 콘크리트와의 접합면

(2) 기둥과 브래키트 또는 내민받침(bracket or corbel)의 접합면[그림 6-22(a)]

(3) Precast 구조에서 부재요소의 접합면[그림 6-22(b)의 프리캐스트보의 지압부]

(4) 콘크리트와 강재의 접합면(ex: 콘크리트 기둥에 정착한 강재 브래키트)

그림 6-22 전단마찰의 예

그림 6-23 전단마찰

* 힘의 평형

[eqn: V_u ``=``φ`V_n ``=``φ`μ`A_vf `f_y ~(V_c ``=``0)]   ∴[eqn: A_vf ``=`` V_u over {φ`μ`f_y }]  ‧‧‧‧‧‧‧‧‧  (6.27)

([eqn: A_vf`] : 전단마찰철근, [eqn: phi`] = 0.75, [eqn: μ`A_vf `f_y] : 전단마찰력, ([eqn: f_y`~le] 400 Mpa ; [eqn: le~ 4000`rm kgf/cm^2`])

← 전단마찰이론

cf. [eqn: mu`] : 순수한 마찰계수의 값이라기 보다는 계산된 전단강도가 실험값과 일치되게 하기 위한 계수  (고강도 콘크리트의 경우 좀 더 높게)

마찰계수 [eqn: mu`]

1.4 : 일체로 친 콘크리트

1.0 : 표면을 거칠게 처리한 굳은 콘크리트에 이어친 콘크리트

0.6 : 표면을 거칠게 처리하지 않은 굳은 콘크리트에 이어친 콘크리트

0.7 : 구조용 강재에 정착된 콘크리트

•전단마찰철근이 전단면과 [eqn: alpha_f`]의 경사를 이루는 경우

전단저항능력 =[eqn: μ`A_vf `f_y `sin`α_f `+`A_vf `f_y `cos`α_f`]

∴[eqn: V_u ``=`` φ`V_n ``=``φ`A_vf `f_y `(μ`sin`alpha_f ``+``cos`α_f`)`]

∴[eqn: A_vf ``=`` V_u over {φ``f_y `(μ`sin`α_f ``+``cos`α_f)}]   (6.28)

[eqn: V_n `cases { `` <= ``0.2`f_ck `A_c # `` <= `` 56 `A_c ``(kgf) }]

cf. 전단면을 가로지르는 순인장력에 대해 철근을 추가 배치

영구 순압축력은 Avffy에 합해도 좋다(예제 6-6)

예제) §12.5 캔틸레버 옹벽(예제 12.1)

조건: 저판폭 55cm

저면의 [eqn: V_u`] = 11.7t

[eqn: f_ck`` = ``240`rm kgf/cm^2`]

[eqn: f_y`` = ``2800`rm kgf/cm^2`]

전단마찰철근의 설계

: [eqn: A_vf ``=`` V_u over {φ`μ`f_y }], [eqn: mu`] = 1.0

=[eqn: 11700 over {0.8 times 1.0 times 2800 } ``=``5.2`rm cm^2`]

양쪽에 D13 철근 사용([eqn: A_s`] = 1.267cm2)

쇼요간격 =[eqn: rm 100 over {5.2 `/`(2 times 1.267) }``=``48.7`cm]   ⇒	ctc 20cm로 배치

사용 [eqn: A_vf ``=`` (2 times 1.267) times 100 over 20 ``=`` 12.67`cm^2 ``>``5.2]

[eqn: V_n ``=`` μ`A_vf`f_y ``=`` 1.0 times 12.67 times 2800 ``=`` 35500`{rm kgf} ``=``35.5`{rm t}`]

[eqn: cases { 0.2``f_ck `A_c ``=`` 0.2 times 240 times (55 times 100) ``=``264,000`{rm kgf} ``=`` 264`{rm t onf } ``> `` V_n # 56`A_c ``=``56 times (55 times 100)``=``308,000`{rm kgf} ``=``308`{rm t onf} ``> ``V_n }`]  O.K.

cf. 정착길이 (§7.2.5) ⇒  24[eqn: d_b`] = 24 x 1.27 = 30.48 cm → 31cm로

예제 6-6) from Chu-Kia Wang & Charles G. Salmon - Harper & Row Pub -

받침부에 L - 80 x 80 x 12를 정착시킨 프리캐스트 보([eqn: b``×``d``=``40``×``76`]cm)

Vu = 44.5tonf, Nu = 8.9tonf, 받침부 보강철근 설계 (fck = 350kgf/cm2, fy = 4000kgf/cm2)

1) 균열예측(초기균열) -- 그림 a에서 균열길이 [eqn: x`]

[eqn: x`sin`20^o ``=``10`], [eqn: x ``=``10 over {sin `20^o} ``=``29.24`{rm cm}`]

균열면적 Ac = 29.24×40 = 1170 cm2

2) 균열면에 작용하는 극한전단력

3) 최대공칭강도

[eqn: cases { 0.2`f_ck `A_c ``=`` 0.2 times 350 times 1170 ``=``81900 # 56`A_c ``=``56 times 1170 ``=``65500``← ``control }]

∴ φVn = 0.8×65500 = 52400 kg

Vu < φVn  (O.K.)

4) 1차균열에 대한 전단마찰철근의 설계

Avf가 V = Vu×cos20o + Nuc×sin20o

= 41.816+3.044 = 44.860t에 저항해야 하므로

44860 = φμAvffy (μ=1.4;일체로 친 conc)

[eqn: A_vf ``=``44860 over {φ`μ`f_y } ``=``44860 over {0.8 times 1.4 times 4000 } ``=``10.02` {rm cm^2}`]

압축력(Vu×sin20o - Nuc×cos20o = 15.220-8.363 = 6.857t)을 고려하면 Avf 감소

→ 무시

이에 대해 D19(As = 2.865cm2, db = 1.91cm) 사용

소요개수 =[eqn: 10.02 over 2.865 ``=``3.5`개]

정착길이 [eqn: {0.06 ` A_b `f_y } over sqrt f_ck ``=`` {0.06 times 2.865 times 4000 } over sqrt 350 ``=``37`{rm cm}`]

이에 대해 D19, 4개를 15o 경사로 60cm만큼 보 속에 연장

실제 사용 Avf = 4 × 2.865 = 11.46cm2

5) 위의 전단마찰철근으로 인하여 2차균열 예상

6) 수평방향 균열에 대비하여 수직스터럽 Ash 배치

- 작용전단력 =[eqn: A_vf `f_y times cos`15^o ``=`` 10.02 times 4000 times cos`15^o ``=``38710 `{rm kgf}`]

(실사용 Avf = 11.46cm2이지만 예측되는 전단력은 소요 Avf에 관련됨,

11.46cm2 전체가 항복하지는 않을 것임)

- 저항 =[eqn: rm μ`A_sh `f_y](Avf에 이미 [eqn: phi`] 사용되었음)

∴ 38710 = 1.4 × 4000 × Ash → Ash = 6.91cm2

이에 대해 D13(As = 1.267cm2) 폐쇄스터럽 사용

소요개수:[eqn: 6.91 over {2 times 1.267 } ``=``2.7] → 4개

60cm(균열길이) 이내에 4개를 배치해야 하고

지점반력에 대비한 철근배치를 고려하여 ctc 12cm로

7) 제2전단에 대해

Vu = 38710kgf

[eqn: cases { 0.2`f_ck `A_c ``=`` 0.2 times 350 times (60 times 40) ``=``168000`{rm kgf} `` > ``V_u # 56`A_c ``=``56 times (60 times 40) ``=``134000`kgf``> `` V_u ~~~{rm (O.K.)} }]

8) 수직방향 할렬에 대비하여(conservation approach by Mast)

지점반력의 25%(1/4)를 수평(Ach)과 수직(Acv)

부분으로 나누어 분담 → 각각 1/8 씩

[eqn: A_cv ``=``A_ch ``=`` V_u over {8`f_y } ``=`` 44500 over { 8 times 4000 } ``=`` 1.39`{rm cm^2}`]

수직(Acv): D13 폐쇄스터럽 1개를 단부 가까이 (Av = 2.54cm2)

수평(Ach): D10(As = 0.713) 스터럽 2개 (Av = 2×0.713×2 = 2.85cm2)

* 스터럽 연결을 위해 네 귀에 종방향으로 D16, 1개씩 배치

6.7.5 브래키트

* Brackets and/or corbels : short-haunched cantilevers that project from the inner face of columns to support heavy concentrated loads or beam reactions

ex) Precast 부재의 지지부, 작업기계의 받침

부재의 경간이 길어짐에 따라 큰 전단력 전달

전체 구조물의 안전 : 지지부에 의존

대개 [eqn: a over d ``< ``1.0]  like deep beam

deep beam과의 차이: existance of potentially large horizontal forces

by long term shrinkage & creep

* Failure Pattern

* 전단마찰에 대하여: §6.7.4의 전단마찰이론에 의하여 [eqn: A_vf`]의 일부(2/3 정도)는 인장철근에 포함. 나머지는 2/3 d 구간에 고르게 분배.

※ Horizontal External Force Effect

: 지지하는 기둥과 corbel을 일체로 한 경우 수평인장력 [eqn: N_uc`]가 상당히 크다.  (creep 등)

* Strut Theory Approach(in all cases [eqn: N_uc`` <`` V_u`])

; Reinforced Concrete   A Fundamental Approach   Dr. Edward G. Nawy, P.E.

cf. 인장주철근

수평방향인장력 [eqn: N_uc`]에 대하여: An(normal); 순인장

[eqn: V_u`]와 [eqn: N_uc`]로 인한 휨모멘트 [eqn: M_u`]에 대하여: [eqn: A_f`](flexure); 휨인장

1) 순인장

힘의 평형; [eqn: N_uc ``=``φ`A_n `f_y ~ # (N_uc `` geq `` 0.2`V_u )]  ∴ [eqn: A_n ``=``N_uc over {φ`f_y } ~~~ (φ``=``0.85)]  ‧‧‧‧‧‧‧  (6.36)

2) 휨인장

[eqn: M_u ``=``V_u times a ``+``N_uc times (h``-``d)]          [eqn: A_f ``=``{V_u `a ``+``N_uc `(h``-``d`) } over {φ`f_y `left( d``-``a over 2 right) }] (6.35)

힘의 평형; [eqn: M_u ``=``φ`A_f `f_y`jd]  ∴ [eqn: A_f ``=``{V_u `a ``+``N_uc `(h``-``d) } over {φ`f_y `jd }]  ‧‧‧‧‧‧  (6.35)

cf. jd에 대하여

압축력 C의 작용선과 인장주철근 [eqn: A_s`]와 만나는 각 : [eqn: β`]

[eqn: C ``=``0.85 ` f_ck ` a ` b ``=`` T over {cos `β } ~left (= {A_s ` f_y } over {cos ` β } right )`` ==``V_u over {sin ` β}]

[eqn: 0.85 ` f_ck ` a ` b ``=`` {A_s `f_y } over {cos`β}]에서 [eqn: a ``=`` {A_s ` f_y } over {0.85 `f_ck ` b`cos`β}]

[eqn: jd ``=`` d``-``( a over 2 /`cos`β )``image `` 0.85 ` d~(for~ practical ~purpose)]

∴ (6.35) → [eqn: A_f ``=`` M_u over {0.85 ` φ`f_y ` d }]  ‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧  (6.35a)

3) 주인장철근량: [eqn: A_s ``ge``A_f ``+``A_n]

조건: [eqn: cases { A_s ``geq `` 2 over 3 `A_vf ``+``A_n ~ and ~A_s``geq `` 0.04 ` f_ck over f_y ` b ` d # A_h (=`A_vf ) ``geq `` 0.5`(A_s ``-``A_n )``=``0.5 `A_f `,` >= ``1 over 3 A_vf ``:``2 over 3 `d ``내에 ~등간격 }]

예제) Design of a Bracket

(소요 단면 및 철근량?)

조건: V = 11t+21t,

a = 14cm, b = 30cm,

fck = 350kgf/cm2,

fy = 4000kgf/cm2

1)[eqn: V_u ``=`` 1.4 times 11 ``+``1.7 times 21 ``=`` 51``t]

2) 유효깊이 d의 결정

[eqn: φ `V_n ``geq `` V_u]에서 [eqn: V_n ``geq `` V_u over φ``=``51000 over 0.8 ``=``63750`{rm kgf}`]

[eqn: cases { 0.2`f_ck `A_c ``=`` 0.2 times 350 times A_c ``=``70``A_c `` >= ``V_n # 56`A_c `` >= `` V_n }]   →  [eqn: rm 56`A_c `` >= `` V_n }]

⇒[eqn: [56``A_c ``=``56 times (30 times d)] ~ >= ~ [V_n ``=``63750]]   ∴ d=38cm

→ 주철근 [eqn: A_s`]의 도심에서 브래킷 상면까지 길이 3cm로 가정 : h = 38+3 = 41cm

→ 브래킷 하부를 45o 경사로 하면 받침부 외측에서 브래킷의 깊이는

[eqn: [41``-``21`` =`` 20` RM cm]`` >`` 0.5`d ``=`` 19 RMcm`] (O.K.)

→ [eqn: left [ a over d ~=~ 14 over 38 ~=~ 0.37 right ] ~< ~1.0]  ∴ 전단지배

3) 전단마찰 철근 (일체로 시공 : [eqn: μ ``=`` 1.4`])

[eqn: A_vf ``=``V_u over {μ``φ``f_y } ``=`` 51000 over {1.4 times 0.8 times 4000}``=`` 11.38`{ rmcm^2}`]

4) 휨철근 Af 및 축인장철근 An

[eqn: N_uc`] : not given ⇒ minimum [eqn: N_uc`` = ``0.2V_u`` = ``0.2`` ×`` 51000`` =`` 10200`RM kgf`]

[eqn: A_f ``=`` M_u over {φ`f_y `jd } ``=`` {V_u ` a ``+``N_uc ` (h``-``d)} over {φ`f_y `jd } ~~ (jd ``image ``0.85`d)]

=[eqn: { 51000 times 14 ``+`` 10200 times (41``-``38)} over { 0.85 times 4000 times (0.85 times 38) } ``=`` 6.78 `{rm cm^2}`]

[eqn: A_n ``=``N_uc over {φ`f_y } ``=`` 10200 over {0.85 times 4000 } ``=`` 3`{rm cm^2}`]

5) Check the controlling area of primary steel As

(1) [eqn: A_s ``=``A_f ``+``A_n ``=``6.78 ``+``3 ``=`` 9.78 `{rm cm^2}`]

[eqn: A_s ``geq``2 over 3 ` A_vf ``+`` A_n ~=~ 2 over 3 times 11.38 ``+``3 ~ = ~ 10.59``{rm cm^2}`]

[eqn: A_s ``geq``0.04 ` f_ck over f_y `b`d ``=``0.04 times 350 over 4000 times 30 times 38 ``=`` 3.99`{rm cm^2}`]

∴ 소요 As = 10.59cm2

(2) 수평방향 폐쇄스터럽

[eqn: cases { 1 over 3 `A_vf ``=``1 over 3 times 11.38 ``=`` 3.79`cm^2 ~~← ~control # A_h ``=`` 0.5 `(A_s ``-`` A_n ) ``=`` 0.5 ` (6.78 ``-`` 3 ) ``=`` 1.89 `{rm cm^2} }`]

Step 5. Select bar size

(a) 인장주철근: rqd As = 10.59cm2

3-D22 = 11.61cm2 사용 (D22; As = 3.871cm2, db = 2.22cm)

(b) 수평철근: rqd Ah = 3.79cm2

use 3-D10 폐쇄스터럽 (D10; As = 0.713cm2, db = 0.953cm)

used Ah = 2×3×0.713 = 4.278cm2

수직거리 범위 : 2/3 d = 2/3 × 38 = 25cm

∴ 3-D10 closed stirrup ctc 6cm

(c) 3-D10 framing bars

(d) 1-D10 welded anchor bar

cf. bearing area check → design of bearing pad

§11.4.4 설계지압강도 Bdc = φ(0.85fckA1) (φ = 0.7)

조건: Vu ≤ φ(0.85fckA1)

∴ [eqn: A_1 ``geq `` V_u over {φ times 0.85 ` f_ck } ``=`` 51000 over {0.7 times 0.85 times 350 } ``=``245`rm cm^2]

소요 폭 =[eqn: sqrt 245 ``=`` 15.6`rm cm`]

use a plate 16×16cm

6.8 수정 압축장 이론과 스트럿-타이 모델

□기존의 전단해석 및 설계방법 - 실험과 경험에 근거

□합리적 거동모델 연구

6.8.1 수정 압축장 이론

□현행의 전단설계방법을 수정

- 구조요소의 응답을 정확하게 예측

- 파괴하중 및 하중-처짐 거동 예측

- 구조물의 통상적인 전단설계에 부적합

6.8.2 스트럿 - 타이 모델

□보이론을 적용할 수 없는 구조부재에 적용(비탄성 유한요소 모델)

- 브래킷, 내민받침, 깊은 보

- 집중하중 작용점 부근, 지점반력이 작용하는 곳, 부재의 절점

6.9 비틀림 설계

⇒ 휨부재(보 부재) : 전단력과 휨모멘트

⇒ 교량이나 슬래브의 가장자리보 : 전단, 휨, 비틀림

※ 비틀림 응력의 성질 : 전단응력과 동일 설계시 전단에 포함시키는게 보통

6.9.1 철근 콘크리트 부재의 균열 비틀림 모멘트

[1] 복부철근이 없는 보의 비틀림

그림 6-25  비틀림에 의한 응력

• 비틀림 전단응력 : 그림 (a)

- 사인장응력: 전단방향에 대해 45o, 앞뒤면의 사인장응력이 서로 90o를 이룬다.

- 탄성변형의 응력분포 : 그림 (b)의 실선 (긴변의 중앙에서 최대)

- 비탄성변형의 응력분포 : 그림 (b)의 점선

• 균열비틀림모멘트 ([eqn: T_cr`]) : 사인장균열을 일으키는 비틀림모멘트

- [사인장응력] > [콘크리트의 인장강도]

cf) 보통 콘크리트의 파괴계수 = [eqn: rm 0.63` sqrt {f _{ck}}]

[2] 철근 콘크리트 보의 균열 비틀림 모멘트

※ 박벽관 입체 트러스 이론(thin walled tube space truss analogy)

• 이론의 가정

1) 전단응력은 부재 둘레를 둘러감은 두께 t에 걸쳐서 일정한 것으로 본다.

2) 부재는 박벽관으로 되어 있다고 생각한다.

3) 관(tube)의 벽 안에서 비틀림모멘트는 전단흐름(shear flow) q에 의해 저항된다.

→ q : 단위 길이당 힘

4) q는 관의 둘레 길이에 따라 일정한 것으로 본다.

5) 전단흐름 작용 길이 : 수평벽 → x0, 수직벽 → y0 (그림 6-28b), 여기서 x0, y0 는 벽의 중심에서 측정된 값

그림 6-26 박벽관

• 균열비틀림모멘트 ([eqn: T_cr`])

∙ 비틀림모멘트(T)와 전단흐름(q)의 관계 (모멘트 평형 →)

[eqn: T ~=~ (q x_0 ) times y_0 ``+`` (q y_0 ) times x_0 ~=~ 2q(x_0 y_0 ) ~=~ 2qA_0`]    ([eqn: rm A_0 ~=~ x_0 y_0] )

∴ [eqn: q ~=~ T over 2A_0`] ( A0 : 속빈 박스단면의 경우 중앙의 속 빈 부분의 면적도 포함)

∙ 관의 벽두께가 t일 때, 관의 벽 안에 작용하는 단위 전단응력(τ)

[eqn: tau ~=~ q over t ~=~ T over {2` A_0 `t}`]                                                           (6.36)

∙ 콘크리트의 파괴 계수 [eqn: f _{r} `=~0.63`` sqrt {f _{ck}} `]  → 2축응력하에서는 1/3√fck MPa를 취함

∙ [eqn: tau _{cr} `=~ {1} over {3} `` sqrt {f _{ck}} `] → 식 (6.42)

[eqn: rm T _{cr} `=~ {1} over {3} ` sqrt {f _{ck}} `(2`A _{0} `t)]  N.mm

(6.37)

∙ 폭(b)/높이(h) = 0.5인 부재에 대해

[eqn: A_0`] = 전단흐름(≒단위길이당 전단력)의 경로에 의해 둘러싸인 면적

[eqn: A_cp`] = 전체 콘크리트 단면의 외측 둘레 길이로 둘러싸인 면적

[eqn: p_cp`] = 단면 둘레의 길이

근사적으로 [eqn: t`=~3/4`` TIMES `` {A _{cp}} over {p _{cp}} `]

직사각형 단면 속찬 부재 t = 단면 최소 폭 × (1/6 ～ 1/4)

⇒	for b/h = 0.5 → taking t = 1/4 × b

[eqn: A_cp ~=~ bh ``=`` b times 2b ``=`` 2b^2`]

[eqn: A_0 ~=~ x_0 CDOT y_0 ``=``(b-t)`(h-t) ``=`` left ( b - b over 4 right ) left (2b - b over 4 right ) ``=`` 3 over 4 b times 7 over 4 b ``=`` 21 over 16 b^2`]

[eqn: A_0 over A_cp ~=~ 21 over 16 times 1 over 2 ``=`` 21 over 32 ``Image`` 2 over 3`]     ∴ [eqn: rm A_0 ~=~ 2 over 3 A_cp]  ․․․  (a)

[eqn: p_cp ~=~ 2(b+h) ``=``2(b+2b) ``=`` 6b`]

[eqn: A_cp over p_cp ~=~ 2b^2 over 6b ``=`` 1 over 3 b`],    [eqn: t ~=~ b over 4`]    ∴ [eqn: t ~=~ 3 over 4 A_cp over p_cp`]  ․․․  (b)

(a), (b) → (6.37)

[eqn: T _{cr} `=~1/3` sqrt {f _{ck}} `` {A _{cp} ^{2}} over {p _{cp}} `](MPa단위)

(6.38)

• 보가 슬래브와 일체로 된 부재 또는 합성구조로 된 부재

∙ [eqn: A_cp`]와 [eqn: p_cp`]의 계산에 슬래브의 내민 부분 포함

그림 6-27 보에 포함시켜야 할 슬래브 부분

6.9.2 철근 콘크리트 부재의 비틀림

• 비틀림철근 : 폐쇄스터럽(closed stirrup), 종방향 철근(longitudinal bar)

그림 6-28 입체트러스 이론

• 내력의 재분배

∙ 보가 균열 비틀림모멘트를 받으면 콘크리트의 비틀림 저항 = 1/2 × (비균열 부재의 저항강도)

• 비틀림 저항의 해석 - 박벽관 입체 트러스 이론

∙ 횡방향 인장 타이 역할 - 폐쇄 스터럽

∙ 인장현 역할 - 종방향 철근

∙ 부재의 비틀림 저항 = 등가의 속빈 관 네 변의 전단력 합계

∙ 한 변의 전단력이 비틀림 저항에 기여하는 몫 (ex: 그림 6-28 (b) 우측)

[eqn: T_4 ~=~ V_4 times x_0 over 2`]  ․․․  (a)

수직벽의 전단력	[eqn: V_4 ~=~ n `A_t ` f_yv`]  ․․․  (b)

n : 균열과 교차된 스터럽의 수

At : 폐쇄 스터럽의 다리 하나의 면적

fyv : 폐쇄 스터럽의 항복강도

그림 6-29 비틀림의 설계

그런데 [eqn: n ~=~ y_0 ``cot theta ``/`` s`]   ∴ (b) →   [eqn: V_4 ~=~ A_t `` f_yv `` {y_0 ``cot theta } over s`]  ․․․  (c)

(c) → (a) : [eqn: T_4 ~=~ V_4 times x_0 over 2 ~=~ {A_t `` f_yv `` x_0 y_0 } over {2`s} ``cot theta`]  ․․․   (d)

∙ 공칭 비틀림 강도

[eqn: T_n ~=~ SUM from i=1 to 4 T_i ~=~ {2``A_t `` f_yv `` x_0 y_0 } over s ``cot theta`]  ․․․  (e)

let [eqn: A_0h ~=~ x_0 ``y_0`] (폐쇄스터럽의 중심선으로 둘러싸인 면적)

[eqn: rm T_n ~=~ {2``A_0h ``A_t `` f_yv } over s ``cot theta]

(6.39)

• 종방향철근

∙ [eqn: rm SUM ``F_x ~=~ 0] : 수직벽에서 스트럿 압축력의 수평분력 = 축방향 인장력 [eqn: rm DELTA ``N_4]

그림 6-31 (c), 식 (c) → [eqn: DELTA ``N_4 ~=~ V_4 ``cot theta ~=~ { A_t `` f_yv ``y_0 } over s ``cot^2 theta`]

∙ 전체 축방향력

[eqn: DELTA ``N ~=~ SUM from i=1 to 4 DELTA ``N_i ~=~ { A_t `` f_yv } over s ``2(x_0 + y_0 )``cot^2 theta ``=``{ A_t `` f_yv ``p_h } over s ``cot^2 theta`]                (6.40)

여기서 [eqn: rm p_h ~=~ 2(x_0 +y_0 )] : 폐쇄스터럽 중심선의 둘레 길이

∙ [eqn: rm DELTA ``N]을 종방향철근이 지지 ⇒ [eqn: {rm A}_l {rm f}_yl ~=~ DELTA ``N]

[eqn: {A}_l {f}_yl ~=~ { A_t `` f_yv ``p_h } over s ``cot^2 theta`]     ∴

[eqn: {rm A}_l ~=~ {rm A_t over s ``p_h } {rm f_yv } over {rm f}_yl cot^2 theta]

(6.41)

여기서 Al = 비틀림에 저항하기 위한 종방향철근의 총 단면적

fyl = 종방향철근의 항복강도

∙ 균열이 발생한 후에 [eqn: rm A_0]는 [eqn: rm A_0h]보다 약간 작다고 알려져 있다. ([eqn: rm A_0 ~=~ 0.85 ``A_0h])

→ 식 (6.39)에서 [eqn: rm A_0h] 대신 [eqn: A_0 ~=~ 0.85 ``A_0h`] 사용

∙ 극한하중에 가까운 하중하에서 [eqn: t ~=~ A_0h over p_h`]

6.9.3 전단과 비틀림의 조합작용

∙ 철근콘크리트 보의 전단응력 [eqn: v_v ~=~ V over {b_w ``d}`]  ․․․  ①

∙ 비틀림 전단응력 식 (6.36) [eqn: tau_t ~=~ T over {2` A_0 `t}`]

if [eqn: rm A_0 ~=~ 0.85 ``A_0h], [eqn: rm t ~=~ A_0h over p_h]   ⇒   [eqn: rm tau_t ~=~ {T`` p_h } over {1.7`` {A_0h }^2 }]  ․․․  ②

그림 6-30 비틀림응력과 전단응력의 합산

• 속빈 단면 - 그림 6-32 (a) : 대수합

[eqn: tau ~=~ v_v ``+``tau_t ``=`` V over {b_w `d} ``+``{T`` p_h } over {1.7`` {A_0h }^2 }`]                                             (6.42)

• 속찬 단면 - 그림 6-32 (b) : 벡터합

[eqn: tau ~=~ sqrt { left ( V over {b_w `d} right )^2``+``left ( {T`` p_h } over {1.7`` {A_0h }^2 } right )^2 }`]                                                 (6.43)

6.9.4 비틀림 철근의 설계

[1] 설계의 원칙

[eqn: T_u ~ <= ~ phi ``T_n`]                                                                        (6.44)

여기서	Tu : 계수 비틀림 모멘트

Tn : 공칭 비틀림 강도(식 6.39 A0h → A0)   [eqn: T_n ~=~ {2``A_0 ``A_t `` f_yv } over s ``cot theta `]       (6.45)

φ : 비틀림 강도 감소계수(= 0.75)

• 비틀림에 대한 위험 단면

∙ 받침부 전면으로부터 지간쪽으로 유효깊이 d만큼 떨어진 단면

∙ 집중 비틀림모멘트가 d 이내에 작용할 때 - 받침부 전면을 위험단면으로 본다

[2] 최소 비틀림 모멘트

∙ Tu가 다음과 같을 때 비틀림 영향 무시 (cf: 식 6.46)

[eqn: T _{u} `<` phi `` LEFT ( {1} over {12} sqrt {f _{ck}} ` RIGHT ) `` {A _{cp} ^{2}} over {p _{cp}} `]                                                       (6.46)

여기서	Acp : 외측 둘레 길이로 둘러싸인 면적 = x0 y0

pcp : 단면의 외부 둘레 길이 = 2(x0+y0)

∙ Tu가 우변 값 이상이면 비틀림 설계

[3] 비틀림 모멘트 강도

• 사용하중하에서 전단과 비틀림으로 인한 경사균열 폭의 제한

[eqn: rm tau _{max} ` <= ` phi `` LEFT ( {V _{c}} over {b _{w} ``d} ``+`` {2} over {3} ` sqrt {f _{ck}} ` RIGHT )]                                                 (6.47)

∙ 속빈 단면 (식 6.42 참조)

[eqn: rm {V _{u}} over {b _{w} `d} ``+`` {T _{u} ``p _{h}} over {1.7``A _{0h ^{2}}} LEQ phi ( {V _{c}} over {b _{w} d} + {2} over {3} sqrt {f _{ck}} )]                                   (6.48)

∙ 속찬 단면 (식 6.43 참조)

[eqn: rm sqrt {LEFT ( {V _{u}} over {b _{w} `d} RIGHT ) ^{2} ``+``( {T _{u} p _{h}} over {1.7A _{0h} ^{2}} ) ^{2}} LEQ phi ( {V _{c}} over {b _{w} d} + {2} over {3} sqrt {f _{ck}} )]                            (6.49)

• 식 (6.48) 또는 (6.49)를 만족하지 않을 때 - 단면 치수를 늘리거나, fck를 증가

• 균열이 발생된 후의 비틀림 모멘트는 그림 6-31의 A0h에 의해 저항

그림 6-31 A0h의 정의

• 벽두께가 속빈 단면의 둘레 길이를 따라 변화할 경우 - 식 (6.48)는 좌변이 최대로 되는 위치에서 검토해야 한다.

• 벽두께가 식 (6.42)에서 사용한 [eqn: rm t ~=~ A_0h over p_h]보다 작을 경우 - 실제 t값 사용

이 경우 식 (6.48)의 좌변 제2항은 → [eqn: rm T_u over {1.7`` A_0h ``t }]

여기서 t는 응력을 검토하는 위치의 속빈 단면 벽두께

[4] 비틀림 철근

(1) 폐쇄스터럽

• 공칭 비틀림 강도 : 식 (6.45) [eqn: rm T_n ~=~ {2``A_0 ``A_t `` f_yv } over s ``cot theta]

여기서 [eqn: rm 30^o ~ <= ~theta ~ <= ~ 60^o] ; 일반적으로 [eqn: rm theta ~=~ 45^o]

[eqn: rm A_0 ~=~ 0.85``A_0h]로 보아도 좋다.

∙ 식 (6.45) → 식 (6.44)   ⇒   [eqn: rm A_t ~=~ {s``T_u } over {2``phi ``A_0 ``f_yv ``cot theta }]                                   (6.50)

여기서 [eqn: rm f _{yv} ` <= `400``MPa]

∙ 스터럽 전체 단면적 (비틀림 + 전단) [eqn: rm][eqn: rm {A_v+t } over s ~=~ A_v over s ``+``2`A_t over s]                            (6.51)

비틀림에 대한 폐쇄스터럽의 간격 ≤ ph/8, 300mm

(2) 종방향철근

∙ 식 (6.41) [eqn: {rm A}_l ~=~ {rm A_t over s ``p_h } {rm f_yv } over {rm f}_yl cot^2 theta]                                                  (6.41)

여기서, [eqn: rm theta]는 [eqn: rm A_t]를 계산할 때와 같은 값, At/s는 식 (6.50)으로 계산된 값 사용

종방향 철근은 단면 둘레에 분포시켜야 하며, 그 간격은 30mm이하

지름은 횡방향 철근 간격의 1/24 이상

(3) 최소 비틀림 철근

• 식 (6.46) → [eqn: rm T _{u} `>` phi `` LEFT ( {1} over {12} sqrt {f _{ck}} ` RIGHT ) `` {A _{cp} ^{2}} over {p _{cp}}]이면 최소 비틀림 철근 배치

∙ 최소 횡방향 철근량 :   [eqn: rm A _{v} ``+``2`A _{t} ` >= `0.063 sqrt {f _{ck}} {b _{w} `s} over {f _{yv}} GEQ 0.35 {b _{w} s} over {f _{yv}}]                           (6.52)

∙ 최소 종방향 철근량 : [eqn: rm A it _{l,min} `=` rm {0.42` sqrt {f _{ck}} `A _{cp}} over {f _{yl}} ``-`` LEFT ( {A _{t}} over {s} RIGHT ) `p _{h} ` {f _{yv}} over {f _{yl}}]                              (6.53)

여기서 [eqn: rm {A _{t}} over {s} ` >= `0.175 {b _{w}} over {f _{yv}}]이라야 한다.

비틀림 철근은 계산상 필요한 점을 지나 [eqn: rm (b_t ``+``d)]이상 연장 배치해야 한다.

여기서 [eqn: rm b_t]는 폐쇄스터럽이 배치된 단면의 폭이다.

예제 6.9) L=8m, 보의 중심선에서 1.8m 내민 슬래브지지. [eqn: rm w_l,보 ``=``1033`kgf/m], [eqn: rm w_l,슬래브 ``=``233`kgf/m^2]

d=54.6㎝, [eqn: rm f_ck ``=`` 350` kg/cm^2], [eqn: rm f_y ``=`` 4000`kg/cm^2], 전단철근 및 비틀림 철근 설계

그림 6-32

1. 설계하중

∙자중

슬래브 : 1.65×0.15×2500 = 618.75 kg/m

보   : 0.3×0.6×2500   = 450 kg/m

∙활하중

슬래브 : 233kg/m2×1.65m = 384.45 kg/m,     보   : 800 kg/m

∴  슬래브 : 1.4×618.75 + 1.7×384.45 = 1520 kg/m

보   : 1.4×450   + 1.7×64.5    = 2386 kg/m

∴ 설계하중 = 3906 kg/m

◎ 비틀림 모멘트 :

1520×0.975

= 1482 kgf․m/m

cf. 편심거리

[eqn: rm e~=~ 30 over 2 + 165 over 2 = 97.5 ㎝]

∙ 기둥의 전면에서

[eqn: rm cases { V_u ~=~ 1 over 2 times 3906 times 8 ~=~ 15,620``kgf ## T_u ~=~ 1 over 2 times 1482 times 8 ~=~ 5,930``kgf cdot m}]

∙ 위험단면에서

[eqn: rm cases { V_u ~=~ 15,620``-``3906 times 0.546 ~=~ 13,490``kgf ## T_u ~=~ 5,930``-`` 1482 times 0.546 ~=~ 5120``kgf cdot m }]

2. 비틀림 철근 필요 여부 : 식 (6.52) → [eqn: rm T_u ~> ~ phi ``left ( 0.26 ``sqrt f_ck ` right )`` A_cp ^2 over p_cp]

∙ 보가 한쪽으로 내민 슬래브와 일체로 된 경우,

슬래브 두께의 4배만큼 연장된 슬래브 부분을 보에 포함

(여기서는 슬래브 두께의 3배를 취하기로 함)

[eqn: rm A_cp ~=~ 30 times 60 ``+`` 45 times 15 ~=~ 2475``cm^2]

[eqn: rm p_cp ~=~ 60 times 2 ``+`` (30``+``45) times 2 ~=~ 270``cm]

∴ [eqn: rm phi ``left ( 0.26 ``sqrt f_ck ` right )`` A_cp ^2 over p_cp ~=~ 0.8 ``times ``0.26 ``sqrt 350`` times `` 2475^2 over 270 ~=~88,300``kgf cdot cm ~<~ T_u]

→ 비틀림 철근으로 보강해야 한다.

3. 단면의 검사 : 식 (6.55) [eqn: rm sqrt { left ( V_u over {b_w `d} right )^2``+``left ( {T_u`` p_h } over {1.7`` {A_0h }^2 } right )^2 } ~ <= ~ phi ``left ( V_c over {b_w ``d} ``+`` 2.12 ``sqrt f_ck ` right )]

∙ 플랜지 부분을 무시하고 계산하기로 함(보의 표면에서 스터럽 중심까지 거리 = 4.5로 계산)

[eqn: rm x_0 ~=~ 30``-``4.5 times 2 ~=~ 21``cm]

[eqn: rm y_0 ~=~ 60``-``4.5 times 2 ~=~ 51``cm]

[eqn: rm A_0h ~=~ x_0 ``y_0 ~=~ 21 times 51 ~=~ 1071``cm^2]

[eqn: rm A_0 ~=~ 0.85`A_0h ~=~ 0.85 times 1071 ~=~ 910``cm^2]

[eqn: rm p_cp ~=~ 2(x_0 `+`y_0 )~=~ 2 `(21`+`51) ~=~ 144``cm]

⇒	[eqn: rm sqrt { left ( 13,490 over {30 times 54.6} right )^2``+``left ( {512,000 times 144 } over {1.7 times 1071^2 } right )^2 } ~ <= ~ 0.8`` ( 0.53 `sqrt 350 ``+`` 2.12 ``sqrt 350 )]

[eqn: rm 38.7``kgf/cm^2 ~<~ 39.7``kgf/cm^2]  → 단면 치수는 적당하다

그림 6-33

4. 횡방향 비틀림 철근의 설계

∙ 식 (6.56) → [eqn: rm theta ~=~ 45^o]로 간주

[eqn: rm A_t over s ~=~ T_u over {2``phi ``A_0 ``f_yv ``cot theta } ~=~ 593,000 over {2 times 0.8 times 910 times 4000 times cot ``45^o } ~=~ 0.1018``cm^2 `/`cm]

← 폐쇄스터럽 다리 하나에 대한 값

∙ 콘크리트가 부담하는 전단 강도 : 식 (6.14)

[eqn: rm phi ``V_c ~=~ phi ``(0.53` sqrt f_ck `b_w ` d)~=~ 0.8 times 0.53 times sqrt 350 times 30 times 54.6 ~=~ 12,990`kgf]

전단에 필요한 스터럽 단면적(지지부 전면에서)

[eqn: rm A_v over s ~=~ {V_u ``-``phi `V_c } over { phi `f_y `d} ~=~ {15,620``-``12,990} over {0.8 times 4000 times 54.6} ~=~ 0.0151`cm^2 `/`cm]

← 스터럽 다리 두개에 대한 값

∙ 전단과 비틀림 철근의 합 : 식 (6.57)

[eqn: rm {A_v+t } over s ~=~ A_v over s ``+``2`A_t over s ~=~ 0.0151 ``+``2 times 0.1018 ~=~ 0.219`cm^2`/`cm]

∙ 최소 횡방향 철근량 : 식 (6.58)

[eqn: rm A_v over s ``+``{2`A_t } over s ~ >= ~3.5 `b_w over f_yv ~left (=``3.5 times 30 over 4000 right )]

[eqn: rm 0.219`cm^2`/`cm ~>~ 0.0263`cm^2 `/`cm ~(OK)]

∙ D16 사용 ([eqn: rm A_s ``=``1.986 times 2 ``=``3.97`cm^2])

[eqn: rm s ``=`` 3.97 over 0.219 ``=``18.1`cm]

∙ 횡방향 비틀림 철근의 최대 간격(≤ ph/8, 30cm)

[eqn: rm p_h over 8 ``=``144 over 8 ``=``18`cm]    or    30cm

∙ 전단에 대한 스터럽의 최대 간격

0.5d = 0.5×54.6 = 27.3 cm   or   60cm

∙ 철근의 배치 구간

→ 전단에 대해서는 [eqn: rm V_u ~<~ 1 over 2 phi` V_c]인 구간, 즉 지간 중앙에서 지점쪽으로 1.66m 구간은 철근 불필요

→ 비틀림에 대해서는 [eqn: rm T_u ~< ~ phi ``left ( 0.26 ``sqrt f_ck ` right )`` A_cp ^2 over p_cp]인 점, 즉 지간 중앙에서 지점쪽으로 60cm 구간은 철근 필요 : [eqn: rm b_t ``+``d``=``30``+``54.6 ``=``85`cm]만큼 연장 배치

→ 전체 지간에 걸쳐 비틀림 스터럽 배치

∙ 철근의 배치

→ 위험단면에서는 15cm 간격, 기타 구간은 최대 간격인 18cm 간격

→ 18cm 간격으로 배치할 수 있는 구간(지간 중앙에서 x 거리), (위험단면에서 15cm 간격)

[eqn: rm 15 over 18 ~=~ x over {4``-``0.546}]  →  [eqn: rm x``=``2.9`m]

→ 지점에서 지간중앙쪽으로 1.1m까지는 15cm 간격, 나머지 구간은 18cm 간격으로

5. 종방향 비틀림 철근의 설계

∙ 식 (6.47) →

[eqn: {rm A}_l ~=~ rm {A_t over s ``p_h } f_yv over f_yl cot^2 theta ~=~ 0.1018 times 144 times 4000 over 4000 times (cot`45^o )^2 ``=``14.66`cm^2]

∙ 최소 종방향 철근량 : 식 (6.59)

[eqn: {rm A}_{l,min} ~ = ~ rm {1.33 `sqrt{f_ck} `A_cp } over f_yl ``-``left (A_t over s right )`p_h `f_yv over f_yl]

[eqn: rm = ~ {1.33 `sqrt 350 times 2475 } over 4000 ``-``0.1018 times 144 times 4000 over 4000 ``=``0.74`cm^2 ``<``14.66`cm^2 ~~~(OK)]

여기서 [eqn: rm A_t over s ~ >= ~ 1.75 b_w over f_yv]이라야 한다.

[eqn: rm left [ A_t over s ``=``0.1018`cm^2 `/`cm right ]~ > ~ left [ 1.75 b_w over f_yv ``=``1.75 30 over 4000 ``=``0.013`cm^2`/`cm right ] ~~~(OK)]

∙ D16 사용 (단면적 = 1.9986, 공칭 지름 = 15.9mm)

필요한 철근 수 = [eqn: rm 14.66 over 1.986 ``=`` 7.4]  ⇒  D16 철근 8개를 단면의 양쪽에 4개씩 사용

∙ 간격 검토

① 종방향 철근은 단면 둘레에 분포시켜야 하며, 그 간격은 30cm이하

간격 : [eqn: rm {54.6 ``-``4.5 } over 3 ``=``16.7`cm ``<``30`cm]

② 지름은 횡방향 철근 간격의 1/24 이상

[지름 15.9mm] > [철근 간격 150 mm / 24 = 6.25mm]   OK